實變與泛函期末試題答案

1、1 0607 第二學(xué)期實變函數(shù)與泛函分析期末考試參考答案1. 設(shè)( )f x是),(上的實值連續(xù)函數(shù), 則對于任意常數(shù)a, )(|axfxe是一開集, 而)(|axfxe總是一閉集 . (15 分) 證明(1) 先證)(|axfxe為開集 . (8 分) 證 明 一設(shè)ex0,則axf)(0,由)(xf在),(上 連 續(xù) ,知0,使 得),(00 xxx時 ,axf)(, 即exu),(0, 故0 x為e的內(nèi)點 . 由0 x的任意性可知,)(|axfxe是一開集 . 證明二)(|axfxe可表為至多可數(shù)的開區(qū)間的并(由證明一前半部分), 由定理可知e為開集 . (2) 再證)(|axfxe是一閉

2、集 . (7 分) 證明一設(shè)0 xe, 則0 x是e的一個聚點 , 則e中互異點列,nx使得)(0nxxn. .2 分由exn知axfn)(, 因為f連續(xù) , 所以axfxfxfnnnn)(lim)lim()(0, 即ex0.6 分由0 x的任意性可知,)(|axfxe是一閉集 . 7 分證明二對)(|axfxe, |( )exf xae, 5 分知eeee,e為閉集 . 7 分證明三由(1)知,)(|axfxe為開集 , 同理)(|axfxe也為開集 , 所以)(|axfxce閉集 , 得證 . 2. 證明 egorov 定理 ： 設(shè), () nm ef x是e上一列.ea收斂于一個.ea有

3、限的函數(shù))(xf的 可 測 函 數(shù) , 則 對0, 存 在 子 集ee, 使)(xfn在e上 一 致 收 斂 , 且.)(eem(15 分) 證明任選一列自然數(shù)in,與此相應(yīng)作e的子集1111, |,iikiiiene neffknii則)(xfn必在ine上一致收斂于)(xf. 事實上 ,對0,選0,i使01,i則當(dāng)0inn時,對一切2 00101,oiikiixene neffkni都有01( )( )nfxf xi. 6 分所以 , 0, 若能適當(dāng)?shù)倪x取in, 使()im een, 則令ieen即可. 利用引理 , 0,( , )0()m ee nn. 故對任給的0, 對1,i1,2,3

4、,i, in,使得1(, )2iim ee ni, 取,inee所以)(xfn在e上一致收斂 .且 12 分1111()()(, )(, )iiiiiiim eem eenm ee nmee n111(, ),2iiiim ee ni. 15 分結(jié)論得證 . 3證明勒貝格控制收斂定理：設(shè)(1) )(xfn是可測集e上的可測函數(shù)列；(2) a.e.)()(xfxfn于e,n=1,2, ,)(xf在e上可積分；(3) )()(xfxfn, 則)(xf在e上可積分 , 且eenndxxfdxxf)()(lim. (15分) 證明證明一由于)()(xfxfn,根據(jù) rieze 定理 ,存在子列)(xf

5、in a.e.收斂于)(xf. 由于( )( ) a.e.nfxf x于e, 從而a.e.)()(xfxfin于e, 得a.e.)()(xfxf于e.因為)(xf可積 ,可得到)(xf在e上是可積的 ,且每個)(xfn在e上是可積的 . .2 分下證 lim( )( )neenfx dxf x dx .我們分兩步證明：(1) 先設(shè) me.對任何0,因為( )f x 在e上可積 ,由勒貝格積分的絕對連續(xù)性,知存在0,使當(dāng) ee 且 me時有( )4ef x dx. .4 分又因為)()(xfxfn,所以存在0n,使當(dāng) nn 時有nme ff, 其中02me.所以當(dāng) nn 時, ( )4nefff

6、 x dx, . .6 分因此eendxxfdxxf)()( )( )nefxf x dx3 ( )( )nefxf x dx=( )( )( )( )nnnneffefffxf x dxfxf x dx( )( ) )( )( )nnnneffefffxf xdxfxf x dx2( )nnefff x dxmeff24me=22. . .9 分這就證明了當(dāng)me時,成立lim( )( )neenfx dxf x dx.(2) 設(shè)me. 因( )f x在e上 可 積 , 由 非 負(fù) 可 測 函 數(shù)l積 分 的 定 義( lim( )( ),kkeekf xdxf x dx( )( ),kkee

7、f xdxf x dx知對任何0,存在,keekme,使得( )( )4kkeef x dxf xdx,所以dxxfkee)(=eedxxfdxxfk)()( )( )kkeef x dxf xdx4. .11分另一方面 ,在ke 上的可測函數(shù)列nff滿足：( )( )2( ). .nfxf xf x ae 于,1,2,ken, ( )( )0nfxf x（從)()(xfxfn） ,故 在ke 上 利 用 (1) 的 結(jié) 論 （ 從 (1) 有l(wèi)im( )( )neenfx dxf x dx, 所 以 由( )( )0nfxf x,得lim( )( )0nenfxf x dx）,知存在正整數(shù)n

8、 ,使當(dāng) nn 時, ( )( )2knefxf xdx, . .13 分(注意 : 上一步若直接由(1)得到亦正確 ) 因此( )( )neefx dxf x dxendxxfxf)()( )( )( )( )kknneeefxf x dxfxf x dx2( )2keef x dx242 . .15 分證畢 . 證明二由)()(xfxfn及黎斯定理 , 存在子列)(xfin a.e.收斂于)(xf. 因為a.e.)()(xfxfn于e, 所以4 a.e.)()(xfxfin于e, 因此a.e.)()(xfxf于e. 由)(xf可積 , 得到每個)(xfn和)(xf都是l可積的 . .2 分

9、因為)(xf在e上可積 , 即eekkdxxfdxxfk)(lim)(, 所以0,存在0k, 使得eekdxxfdxxfk5)()(, 因此dxxfkee)(=eedxxfdxxfk)()()()()(xfxfxfkk( )( )5kkeef x dxfx dx. 6 分由絕對連續(xù)性 ,0, 使得ee,me時, 有edxxf5)(, 對此, 由)()(xfxfn（在e上, 從而在ke上） , 所以存在0n, 使得當(dāng)nn時,)1( 5knkmeffme, 10 分當(dāng)nn時, 記nh=) 1(5knkmeffe, 所以從nmh, 有nhdxxf5)(. 因為)()()(nkknnnheeehheh

10、e, 所以當(dāng)nn時eendxxfdxxf)()(=endxxfxf)()(endxxfxf)()(nkhendxxfxf)()(keendxxfxf)()(nhndxxfxf)()(5(1)knknkeheffme) kkmeme)1(52keedxxf)( 2nhdxxf)(52525. .15 分這證明了eenndxxfdxxf)()(lim. 5 4證明康托爾(cantor)集合的測度為零. (10 分) 證明證明一cantor 集)98,97()92,91()32,31(1 ,0p, .4 分所以322323231127492311 , 0mmp. 8 分.03211311323232

11、13113322. 10 分證明二去掉過程進行到第n步時，剩下2n個長度為3n的閉區(qū)間,ni這些區(qū)間的總長為22()033nnn(當(dāng)n時),. 4 分故, 0)32(*npm.8 分因此*0,mp即0.mp. .10 分5. 證明1(0,)lim11nnndtttn. (15分) 證明當(dāng))1 ,0(t時 , 2,11111nttntnn；.2 分當(dāng)),1t時, 1121111112nnnntttttnn222124,2112nttnnntn. .4 分6 ), 1,4),1 , 0(,1)(2tttttf令則當(dāng)2n時, 有,)(111tftntnn.6 分且),0(121064)(dtttdt

12、dttf,即)(tf在,0上lebesgue可積 . .8 分又因為tnnnetnt111, 所以由lebesgue控制收斂定理得 .12 分原式 =), 0(),0(111limdtetntdttnnn. .15 分6. 證明 banach 不動點定理：設(shè)x是完備的度量空間, t是x上的壓縮映射, 那么t有且只有一個不動點. (15 分) 證明設(shè)0 x為x中的任一點 ,令,01021201xttxxxttxxtxxnnn. .3 分下面證明點列1nnx是x中的柯西點列.因為11(,)(,)mmmmd xxd txtx112(,)(,)mmmmd xxd txtx21210(,)(,),mmm

13、d xxd x x所以當(dāng)mn時, 1121(,)(,)(,)(,)mnmmmmnnd xxd xxd xxd xx1101() (,)mmnd xx011(,),1n mmd xx又因為, 10所以, 11mn從而)(),(1),(10mnxxdxxdmnm，. ,0),(,nmxxdnm時所以當(dāng)即1nnx是x中的柯西點列 , .8 分由x的完備性知 ,存在xx,使xxm.因為 .10 分( ,)( ,)(,)mmd x txd x xd xtx1( ,)(, )0,mmmd x xd xx故( ,)0d x tx,即xtx,所以x為t的不動點 . .12 分7 下證其唯一性 .如果又有xx,使xxt,則),(),(),(xxdxttxdxxd, 因1,故0),(xxd,即xx,得證 . .15 分7. 設(shè)0me, 又設(shè)e上可積函數(shù)( ),( )f xg x滿足( )( )f xg x, 試證 : ( )d( )deef xxg xx. (5 分) 證明因為( )( )0g xf x, 所以( )( )d0eg xf xx3分若 ( )( )d0eg xf xx, 則( )( )0g xf x, a.e. .5 分與題設(shè)矛盾 , 故得( )d( )deef xxg xx. 8. 設(shè)( )f x在 ,a b上可導(dǎo) , 證明 : ( )f x的導(dǎo)函數(shù)( )fx在