高等數(shù)學課件：15-2一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

1、第二節(jié)第二節(jié)一般周期函數(shù) 的傅里葉級數(shù) 第十五十五章 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、周期為一、周期為2l 的函數(shù)展開成的函數(shù)展開成二、定義在二、定義在-l, l 和和0, l 區(qū)間上區(qū)間上 的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)一一、周期周期 T = 2l 的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)思路：思路：)(xflT 2 )()(ttfl ,llx T 2 , t展開展開 10sincos2)(nnnntbntaat natnttbndsin)(1 1tnttdcos)( ),2,1,0( n),2,1( ntxl )(xf)(lxt lxn lxn xllxnxflldcos)(1

2、xlxnxfllldcos)(1 ),2,1( ntnttbndsin)(1 xlxnxfllldsin)(1 xllxnxflldsin)(1 lxt 定理定理4 (展開定理展開定理)滿滿足足收收斂斂的的周周期期函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)周周期期為為)(2xfl)sincos(210lxnblxnaannn 的的間間斷斷點點時時，為為當當?shù)牡倪B連續(xù)續(xù)點點時時；為為當當)(,2)()()(),(xfxxfxfxfxxf為為其中系數(shù)其中系數(shù)nnba ,里里葉葉級級數(shù)數(shù)處處處處收收斂斂，且且定定理理的的條條件件，則則它它的的傅傅 naxlxnxflbllndsin)(1 l1xlxnxflldcos)( ),2

3、,1,0( n),2,1( n結(jié)論結(jié)論 1)(nnbxf(連續(xù)點處連續(xù)點處)lxnsin(1)若以若以2l 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) f (x) 在在(-l , l ) 上為上為奇函數(shù)奇函數(shù)，則，則 ),2,1(dsin)( nxlxnxfbn其中其中l(wèi)20l(2) 若以若以2l 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) f (x) 在在(-l , l ) 上為上為偶函數(shù)偶函數(shù)，則，則(連續(xù)點處連續(xù)點處) 2)(0axf),2,1,0(dcos)( nxlxnxfan其中其中 1nnalxncos注注 ).()(21 xfxf傅里葉級數(shù)總傅里葉級數(shù)總收斂于收斂于l20l(在在 f (x) 的間

4、斷點的間斷點 x 處處)例例1時時，且且當當?shù)牡闹苤芷谄谠O(shè)設(shè)5510)( xTxf,:)(, 5奇函數(shù)奇函數(shù)xfl , 2 , 1 , 00 nan解解505sin55cos2 xnnxnxn ,2, 11011 nnn，xxf )( lnxlxnxflb0dsin2xxnxd5sin5250 55 yxo.)(展展開開成成傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)將將xf 滿滿足足狄狄利利克克雷雷條條件件，因因xf xf10 ,510時時當當 kx,( x 53sin3152sin215sinxxx）,2,1,0,510 kkx傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂到到:傅傅里里葉葉展展開開式式故故有有, 0 na nbn

5、n1011 55 yxo .0255)510( kS解解 上上表表達達式式為為周周期期設(shè)設(shè)2 ,2,4)( Txf例例2 ),0(20,02,0為為常常數(shù)數(shù)ExExxf .展展成成傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)試試將將xf.)(1滿滿足足收收斂斂定定理理條條件件xf), 2, 1, 0(2)( mmxxfm的間斷點：的間斷點：2)()()( mmmxfxfxS傅里葉級數(shù)之和函數(shù)：傅里葉級數(shù)之和函數(shù)：oyxE2 2.2E 連連續(xù)續(xù)時時，當當)(xfxxm 10)sincos(2)()(nnnlxnblxnaaxSxf ,2 l22), 2, 1, 0,2( mmxnnba ,2 確定傅里葉系數(shù)：確定傅里葉

6、系數(shù)： xxfad21220 20,02, 0 xExxfExEx dd0212002 xxnxfand2cos2122 2002d2cosd021xxnEx 022sin20 nxn),2,1( n 20,02, 0 xExxf xxnxfbnd2sin2122 xxnEd2sin2120 )1(1nnE ,4 ,2,0nxkkEEk 12)12(sin12122 ,3,1,2 nnExxnEd2sin2120 oyxE2 2), 2 , 1(0,0 naEannb)2sin2cos(2)(10 xnbxnaaxfnnn 3 所求函數(shù)的傅里葉展開式為：所求函數(shù)的傅里葉展開式為：), 2, 1

7、, 0,2( mmxRx，思思想想,)(llxxf 二、定義在二、定義在 -l , l 和和 0, l 區(qū)間上的區(qū)間上的函數(shù)函數(shù)周期延拓周期延拓lTxF2)( 傅傅里里葉展開葉展開展成傅里葉級數(shù)展成傅里葉級數(shù)1. 將將l , l 上的函數(shù)展成傅里葉級數(shù)上的函數(shù)展成傅里葉級數(shù)xyOl l)(xfy xOyll 3l l 3 )(xFy :)(1進進行行周周期期延延拓拓對對xf)(xFy 考慮考慮)2(lT ,(),()(llxxfxF 滿足：滿足：)()2(xFlxF 且且xyOl l)(xfy xOyll 3l l 3 )(xFy 的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)展展開開成成周周期期為為將將lxF2)

8、(2 10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxF )(),(的連續(xù)點的連續(xù)點為為，xFxx ,3llx 限限制制,(),()(llxxfxF 的的連連續(xù)續(xù)點點時時，為為，且且當當)(),(xfxllx )()(xSxF )(xf 10)sincos(2nnnlxnblxnaa 的的間間斷斷點點時時，為為，且且當當)(),(00 xfxllx )(0 xS2)()(00 xfxf2)()(00 xFxF時時，當當lx 0)(0 xS2)()( lflf2)()( lFlF llllnllllnxlxnxflnxlxnxFlbxlxnxflnxlxnxFla.dsin)(1), 2 ,

9、 1(,dsin)(1,dcos)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1 其中傅里葉系數(shù)其中傅里葉系數(shù)例例3解解 上上展展成成傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)在在將將exfx, ,)(上上連連續(xù)續(xù)，在在xf xxead10 xnxnxeadcos1 ,)1(12neen .且且滿滿足足狄狄利利克克雷雷條條件件, 1|1xeee xnxnxnne cossin112(周期延拓周期延拓傅傅里里葉展開葉展開限制限制) xnnxdxebsin1傅傅里里葉葉展展式式 1eexf .)1(121neenn 處處，在在x xnxnnxne cossin112 x )()(21 ff.21ee 注注傅傅立立葉葉級

10、級數(shù)數(shù)收收斂斂到到 12sincos1121nnnxnnxnxyo 2. 將將0,l 上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),0)(lxxf f (x)展成展成正正弦級數(shù)弦級數(shù)奇奇延拓延拓偶偶延拓延拓l xoly周期延拓周期延拓F (x)限制限制, 0lx (余余)(展開展開)oxyll )(xfy 1xyo例例4 將函數(shù)將函數(shù))0(1)(xxxf 分別展成分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù) . 解解 將將 f (x) 作作奇延拓奇延拓及及周期延拓周期延拓. xnxxf0dsin)(bn2 xnxx0dsin)1(2 02cossincos2nnxnnxnnxx

11、 nnncoscos12 12 knkn2 ),2,1( k,1222 k,1k (1)展成展成正弦級數(shù)正弦級數(shù). nb12,1222 knkknk2,1 ),2,1( k x21xsin)2( x2sin2 x3sin32 x4sin4)0(x 注注在端點在端點 x = 0, , 級數(shù)的和為級數(shù)的和為0 .1xyo故故 （與（與f (x) = x + 1 的對應值不同）的對應值不同） (2)展成余弦級數(shù)展成余弦級數(shù).x1y將將)(xfo 0a xx0d)1(2 na xnxx0dcos)1(20222xx 2 02sincossin2nnxnnxnnxx 1cos22 nn12,)12(42

12、 knkkn2,0 ),2,1( k作作偶周期延拓偶周期延拓.121 x xcos x3cos312)0(x x5cos512注注 令令 x = 0 可得可得851311222 8)12(1212kn 即即 412 12)12(14kkxk)12cos( 1yox*3.將將a,b上的函數(shù)展成上的函數(shù)展成傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù),bax )()2(tFabtf 2,2ababt 2abxt 代入代入)(xf在在,ba上的傅里葉級數(shù)上的傅里葉級數(shù) (周期周期T=b-a)(xf傅傅里里葉展開葉展開2abtx )(zFz55*例例5 將將)155(10)( xxxf展成傅里葉級數(shù)展成傅里葉級數(shù).解解 令令

13、,10 xzttfxftF )10()()(延拓延拓奇函數(shù)奇函數(shù)F(t) (周期周期T= 10 ). ),2,1,0(0 nan 5052tbnttnd5sinnn10)1( 5sin)1(10)(1tnntFnn )55( t5sin)1(10101xnnxnn 故故)155( x),55( t為正弦為正弦 級數(shù)級數(shù)) 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. f(x)(周期周期:2l )的傅里葉展開式的傅里葉展開式 )(xf20a lxnblxnannnsincos1 (x :連續(xù)連續(xù)點點)其中其中 naxlxnxfllldcos)(1 nbxlxnxfllldsin)(1 ),1,0( n),2,1( n(

14、 f (x)為奇為奇 函數(shù)時函數(shù)時,(偶偶)(余弦余弦)2. -l, l或或0, l上函數(shù)的傅里葉展開上函數(shù)的傅里葉展開延拓延拓展開展開 限制限制幾點注記幾點注記1. 注意畫圖形注意畫圖形.(便于發(fā)現(xiàn)奇偶性及間斷點便于發(fā)現(xiàn)奇偶性及間斷點,寫收斂域?qū)懯諗坑? 2. 計算傅里葉系數(shù)時計算傅里葉系數(shù)時, a0 要單獨算要單獨算;3. 0 , l 上函數(shù)的傅里葉展式不唯一上函數(shù)的傅里葉展式不唯一.( 延拓方式不同級數(shù)也不同延拓方式不同級數(shù)也不同)關(guān)于函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開關(guān)于函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開例例1-1)11(2)( xxxf將將的傅立葉級數(shù)的傅立葉級數(shù), 并求級數(shù)并求級數(shù) 121nn(91 考研考研

15、) 解解y1ox12f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù),0 nb 100d)2(2xxa5 xxnxand)cos()2(210 1)1(222 nn因因 f (x) 周期延拓后在周期延拓后在,),(上上連連續(xù)續(xù) x225,)12cos()12(14122xkkk 展成周期為展成周期為21,1 x的和的和.周期延拓周期延拓,得得令令, 0)1( x 122)12(14252kk 故故8)12(1212kk 121)2(nn 12)12(1nn 12)2(1nn 121nn故故 12)12(134nn62 注注 12141nn x225xkkk )12cos()12(14122 1,1 x 且且滿滿足足狄

16、狄氏氏條條件件，、若若xx 例例2-1解解 .,1周周期期相相同同先先證證xx lx2周周期期為為設(shè)設(shè) lxlx22 ,xx .,的的關(guān)關(guān)系系及及nnnnbaba .2lx周周期期為為 )(2 xlx )()(xx 的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)與與求求xx tltntltxlldcos1 nllatltntldcos1 xlxnxlbllndsin1 tltntltxlldsin1 nllbtltntldsin1 nnnnbbaa xlxnxlallndcos1 ,2ll 取取基基本本周周期期 :的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)x lxnxlalncos120 02d2cos212lttllntlltlx

17、 nlatltntldcos120 xlxnxlblndsin120 ttllntlltlxld2sin21202 nlbtltntldsin120 l202，取取基基本本周周期期方法方法2)2(tl nnnnbbaa)()(tt )(tfto 0d)1sin()1sin(ttntn例例2-2 交流電壓交流電壓tEtEsin)( 經(jīng)經(jīng)半波整流半波整流后負后負壓消失壓消失, ,試求試求半波整流函數(shù)半波整流函數(shù)f( (t t) )的的解解 2 )(tf na故故 0dcossinttntE,sintE,0傅傅里里葉級數(shù)葉級數(shù). ., 上的表達式為上的表達式為0 tt 0E2 f(t)周期為周期為2

18、200 tt0d2sinEa21 E2cos212,1時時 n ttntn0d)1sin()1sin(Ean2 tnn)1cos()1(1 E20 tnn)1cos()1(1 111)1(111)1(21nnnnEnn nEn)1(1)1(21 32 ,0 kn,)41(22kE ),1,0( kkn2 tttEbdsinsin01 ttntnEd)1cos()1cos(20 ntnEbn)1()1sin(20)1()1sin(0 ntnttntEbndsinsin0 ttEd)2cos1(20 022sin2ttE 2E n 1 時時)(tfto22因半波整流函數(shù)因半波整流函數(shù) f ( t

19、),處處連續(xù)處處連續(xù) Etf)( tEsin2tkkEk2cos411212 )( t直流部分直流部分注注交流部分交流部分2 k 次諧波振幅：次諧波振幅：,14122 kEAk k 越大振幅越小越大振幅越小.(實際應用中取前幾項足以逼近實際應用中取前幾項足以逼近f (x)例例3-12)(xxxf )(x 數(shù)展式為數(shù)展式為, )sincos(210 nnnnxbnxaa則系數(shù)則系數(shù). 3 b解解xxxfbd3sin)(13 xxxxd3sin)(21 )3sin93cos3(2xxx 032 32(93 考研考研)的傅里葉級的傅里葉級xxxd3sin 利用奇偶性利用奇偶性例例3-2 寫出寫出 )(xf0,1 xx 0,1上上在在,