第2章 2.1　坐標(biāo)法高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊講義

1、1 / 8 2.1 坐標(biāo)法坐標(biāo)法 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1理解平面直角坐標(biāo)系中的基本公式(重點) 2理解坐標(biāo)法的數(shù)學(xué)思想并能掌握坐標(biāo)法的應(yīng)用(重點、難點) 1通過學(xué)習(xí)實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng) 2借助距離公式和坐標(biāo)法的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng) 小華以馬路上的電線桿為起點，先向東走了 5 m，然后又向西走了 8 m，那么小華現(xiàn)在的位置離電線桿多遠(yuǎn)？對于這類問題，我們可以建立一個直線坐標(biāo)系，確定出正、負(fù)方向，利用數(shù)軸上兩點間的距離公式來求解 1平面直角坐標(biāo)系中的基本公式 (1)數(shù)軸上兩點間的距離公式 如果數(shù)軸上點 a對應(yīng)的數(shù)為 x1(即 a的坐標(biāo)為

2、x1，記作 a(x1)，且 b(x2)，則向量ab的坐標(biāo)為 x2x1，數(shù)軸上兩點之間的距離公式|ab|ab|x2x1|如果m(x)是線段 ab的中點，則ammb數(shù)軸上的中點坐標(biāo)公式 xx1x22 思考：數(shù)軸的概念是什么？數(shù)軸上的點與實數(shù)有怎樣的關(guān)系？ 提示 給定了原點、單位長度和正方向的直線是數(shù)軸，數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的 (2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點之間的距離公式 a(x1， y1) ， b(x2， y2) ， ab (x2 x1， y2 y1) ， |ab| | ab| 2 / 8 (x2x1)2(y2y1)2，若 m(x，y)是線段 ab 的中點，則ammb，則直角坐標(biāo)系內(nèi)的中點坐標(biāo)公

3、式 xx1x22，yy1y22 2坐標(biāo)法 通過建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運(yùn)算等解決問題的方法稱為坐標(biāo)法 1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與實數(shù)一一對應(yīng) ( ) (2)數(shù)軸上起點相同的向量方向相同 ( ) (3)點 m(x)位于點 n(2x)的左側(cè) ( ) (4)數(shù)軸上等長的向量是相等的向量 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 提示 (1) 與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng) (2) 終點不一定相同 (3) x與 2x的大小無法確定 (4) 方向不一定相同 2(教材 p69習(xí)題 21a改編)已知數(shù)軸上 a(3)，b(8)，則 a，b

4、 兩點間的距離為( ) a3 b8 c11 d5 c |ab|8(3)|11 3已知 a(1,2)，b(2,6)，則 ab的中點坐標(biāo)為_ 32，4 設(shè) ab 的中點為 m(x，y)，則 x12232，y2624，中點坐標(biāo)為32，4 4已知 a(2,4)，b(1,3)，則 a，b兩點間的距離為_ 10 |ab|(21)2(43)2 10 3 / 8 數(shù)軸上的點與實數(shù)間的關(guān)系 【例 1】 (1)若點 p(x)位于點 m(2)，n(3)之間，求 x的取值范圍； (2)試確定點 a(a)，b(b)的位置關(guān)系 解 (1)由題意可知，點 m(2)位于點 n(3)的左側(cè)，且點 p(x)位于點 m(2)，n(

5、3)之間，所以2xb 時，點a(a)位于點 b(b)的右側(cè)；當(dāng) a32，所以 a(32)位于 b(23)的左側(cè) (2)因為 m21mm12234340， 所以 m21m，所以 b(m21)位于 a(m)的右側(cè) (3)當(dāng) a0時，|a|a，則 a(|a|)和 b(a)為同一個點 當(dāng) aa，則 a(|a|)位于 b(a)的右側(cè) 數(shù)軸上兩點間的距離 探究問題 1如果兩點的位置不確定，如何求其距離？ 提示 分類討論 2向量的長度及數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系 提示 |ab|d(a，b)|xbxa|， 4 / 8 abxbxa 【例 2】 已知數(shù)軸上點 a，b，p的坐標(biāo)分別為1,3，x 當(dāng)點 p與點 b 的距離是點

6、 p與點 a的距離的 3倍時，求點 p的坐標(biāo) x 思路探究 數(shù)軸上兩點間的距離點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系數(shù)軸上的基本公式 解 由題意知 |pb|3|pa|，即|x3|3|x1|， 則 3(x1)x3， 或 3(x1)(x3) 解得 x3；解得 x0 所以點 p的坐標(biāo)為3或 0 1本例中若點 p 到點 a 和點 b 的距離都是 2，求點 p 的坐標(biāo) x，此時點 p與線段 ab有著怎樣的關(guān)系？ 解 由題意知|pa|pb|2， 即 |x1|2，|x3|2，解得 x1 此時點 p的坐標(biāo)為 1，顯然此時 p為線段 ab 的中點 2本例中在線段 ab上是否存在點 p(x)，使得點 p到點 a和點 b的距離都是 3

7、？若存在，求出點 p的坐標(biāo) x；若不存在，請說明理由 解 不存在這樣的點 p(x) 因為 d(a，b)|31|4，要使點 p 在線段 ab 上，且 d(p，a)d(p，b)3，則 d(a，b)d(p，a)d(p，b)，這是不可能的 數(shù)軸上的基本公式應(yīng)用思路與方法 (1)已知向量ab，bc，ac中的兩個的坐標(biāo)，求另外一個的坐標(biāo)時，使用acabbc求解 (2)已知向量的起點和終點的坐標(biāo)，求向量坐標(biāo)，使用abxbxa求解 (3)已知數(shù)軸上兩點間的距離時，使用 d(a，b)|ab|xbxa|求解 5 / 8 兩點間距離公式的應(yīng)用 【例 3】 已知abc 的三個頂點坐標(biāo)是 a(3,1)，b(3，3)，c

8、(1,7) (1)判斷abc 的形狀； (2)求abc 的面積 思路探究 (1)先根據(jù)已知條件，畫出草圖，判斷abc 的大致形狀，然后從邊著手或從角著手確定其形狀 (2)結(jié)合三角形形狀求解 解 (1)|ab| (33)2(31)22 13， |ac|(13)2(71)22 13， 又|bc|(13)2(73)22 26， |ab|2|ac|2|bc|2且|ab|ac|， abc 是等腰直角三角形 (2)abc 的面積 sabc12|ac| |ab|122 132 1326 判斷三角形形狀的方法 (1)采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向 (2)利用兩點間的距離公式，分別計

9、算abc 三邊的長度，根據(jù)三角形邊的長度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理 跟進(jìn)訓(xùn)練 2若等腰三角形 abc 的頂點 a 是(3,0)，底邊 bc 的長為 4，bc 邊的中點為 d(5,4)，求等腰abc 的腰長 解 因為|ad|(53)2(40)22 5，在等腰abd 中，由勾股定理得，|ab| |ad|2|bd|2 2042 6所以等腰abc 的腰長為 2 6 坐標(biāo)法的應(yīng)用 【例 4】 如圖所示，四邊形 abcd 為等腰梯形，利用坐標(biāo)法證明梯形6 / 8 abcd的對角線|ac|bd| 證明 建立如圖坐標(biāo)系，設(shè) a(0，0)，b(a,0)，c(b，c)，則點 d 的坐標(biāo)是(ab，c

10、) |ac|(b0)2(c0)2 b2c2， |bd| (aba)2(c0)2 b2c2， 故|ac|bd| 利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟 (1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上； (2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量； (3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算； (4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系 跟進(jìn)訓(xùn)練 3已知abc 是直角三角形，斜邊 bc 的中點為 m，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明：|am|12|bc| 證明 以 rtabc 的直角邊 ab，ac 所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè) b，c 兩點的坐標(biāo)分別為(b,0)，(0，c)，斜邊 bc 的中點為 m， 所以點 m的坐

11、標(biāo)為0b2，0c2，即b2，c2 7 / 8 由兩點間的距離公式得 |bc|(0b)2(c0)2 b2c2， |am|0b220c2212b2c2， 故|am|12|bc| 1坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間的距離公式，是解析幾何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意兩個已知點間的距離反過來，已知兩點間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個點的坐標(biāo) 2平面幾何中與線段長有關(guān)的定理和重要結(jié)論，可以用坐標(biāo)法來證明用坐標(biāo)法解題時，由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依賴于平面直角坐標(biāo)系的建立而改變的，但不同的平面直角坐標(biāo)系會使計算有繁簡之分，因此在建立直角坐標(biāo)系時必須“避繁就簡” 3本節(jié)課要掌握的規(guī)律方法 (1)數(shù)軸上的

12、點與實數(shù)之間的關(guān)系 (2)數(shù)軸上兩點間的距離及平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點間的距離公式 4本節(jié)課的易錯點是坐標(biāo)法的應(yīng)用，容易將坐標(biāo)寫錯 1下列各組點中，點 c 位于點 d的右側(cè)的是( ) ac(3)和 d(4) bc(3)和 d(4) cc(4)和 d(3) dc(4)和 d(3) a 由數(shù)軸上點的坐標(biāo)可知 a正確 2已知 a(8，3)，b(5，3)，則線段 ab 的中點坐標(biāo)為( ) a32，2 b32，3 c32，3 d32，3 b 由中點坐標(biāo)公式可以求得 8 / 8 3已知 m(2,1)，n(1,5)，則|mn|等于_ 5 |mn| (21)2(15)25 4已知矩形相鄰兩個頂點是 a(1,3)，b(2,4