高中數(shù)學(xué)必修一 第3章 3.2 3.2.1 第1課時(shí)　函數(shù)的單調(diào)性

1、1 / 9 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大單調(diào)性與最大(小小)值值 第第 1 課時(shí)課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，能運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 2會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性(難點(diǎn)) 3會求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(重點(diǎn)) 1.借助單調(diào)性的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng) 2利用求單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用單調(diào)性解題，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 1增函數(shù)與減函數(shù)的定義 條件 一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?i，區(qū)間 di：如果x1，x2d，當(dāng) x1x2時(shí) 都有 f(x1)f

2、(x2) 都有 f(x1)f(x2) 結(jié)論 那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 d上是增函數(shù) 那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間d上是減函數(shù) 圖示 思考 1：增(減)函數(shù)定義中的 x1，x2有什么特征？ 提示：定義中的 x1，x2有以下 3 個(gè)特征： 2 / 9 (1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常規(guī)定 x1x2； (3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間 2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間 d上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù) yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間 d叫做 yf(x)的單調(diào)區(qū)間 思考 2：函數(shù) y1x在

3、定義域上是減函數(shù)嗎？ 提示：不是y1x在(，0)上遞減，在(0，)上也遞減，但不能說 y1x在(，0)(0，)上遞減 1函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示，其增區(qū)間是( ) a4,4 b4，31,4 c3,1 d3,4 c 由圖可知，函數(shù) yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3,1，選 c. 2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)的是( ) ay1x byx cyx2 dy1x d 函數(shù) y1x在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，其余函數(shù)在(0，)上均為增函數(shù)，故選 d. 3函數(shù) f(x)x22x3 的單調(diào)減區(qū)間是_ (，1 因?yàn)?f(x)x22x3是圖象開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為x1，所以函數(shù) f(x)的單調(diào)減

4、區(qū)間是(，1 3 / 9 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【例 1】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù) (1)f(x)1x；(2)f(x) 2x1，x1，5x，x1； (3)f(x)x22|x|3. 解 (1)函數(shù) f(x)1x的單調(diào)區(qū)間為(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函數(shù) (2)當(dāng) x1時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng) x1時(shí)，f(x)是減函數(shù)，所以 f(x)的單調(diào)區(qū)間為(，1)，1，)，并且函數(shù) f(x)在(，1)上是減函數(shù)，在1，)上是增函數(shù) (3)因?yàn)?f(x)x22|x|3 x22x3，x0，x22x3，x0. 根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖

5、象可知， 函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間為(，1，(1,0)，0,1)，1，) f(x)在(，1，0,1)上是增函數(shù)，在(1,0)，1，)上是減函數(shù) 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法 (1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，如本例(1)和(2)，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解； (2)利用函數(shù)的圖象，如本例(3) 提醒：若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，”隔開，如本例(3) 1(1)根據(jù)如圖所示，寫出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)； 4 / 9 (2)寫出 y|x22x3|的單調(diào)區(qū)間 解 (1)函數(shù)在1,0，2,4上是減函數(shù)，在0,2，4,5上

6、是增函數(shù) (2)先畫出 f(x) x22x3，x3，(x22x3)，1x3的圖象，如圖 所以 y|x22x3|的單調(diào)減區(qū)間為(，1，1,3；單調(diào)增區(qū)間為1,1，3，) 函數(shù)單調(diào)性的判定與證明 【例 2】 證明函數(shù) f(x)x1x在(0,1)上是減函數(shù) 思路點(diǎn)撥 設(shè)元0 x1x2f(x2) 結(jié)論減函數(shù) 證明 設(shè) x1，x2是區(qū)間(0,1)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 x1x2，則 f(x1)f(x2)x11x1x21x2(x1x2)1x11x2(x1x2)x2x1x1x2(x1x2)11x1x2(x1x2)(1x1x2)x1x2 0 x1x21， x1x20,0 x1x21，則1x1x20，即 f(x1

7、)f(x2)， f(x)x1x在(0,1)上是減函數(shù) 利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 (1)取值：設(shè) x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且 x1x21， 則 f(x1)f(x2)2x112x212(x2x1)(x11)(x21)， 因?yàn)?x1x21， 所以 x2x10，x210， 所以 f(x1)f(b)，則 a，b滿足什么關(guān)系如果函數(shù) f(x)是減函數(shù)呢？ 提示：若函數(shù) f(x)是其定義域上的增函數(shù)，那么當(dāng) f(a)f(b)時(shí)，ab；若函6 / 9 數(shù) f(x)是其定義域上的減函數(shù)，那么當(dāng) f(a)f(b)時(shí)，af(5x6)，則實(shí)數(shù) x的取值范圍為_ 思路點(diǎn)撥 (1) 分析f(x)的對稱軸與區(qū)

8、間的關(guān)系數(shù)形結(jié)合建立關(guān)于a的不等式 求a的范圍 (2) f(2x3)f(5x6) f(x)在(，)上是增函數(shù)建立關(guān)于x的不等式 求x的范圍 (1)(，4 (2)(，1) (1)f(x)x22(a1)x3的開口向下，要使 f(x)在(，3上是增函數(shù)， 只需(a1)3，即 a4. 實(shí)數(shù) a的取值范圍為(，4 (2)f(x)在(，)上是增函數(shù)，且 f(2x3)f(5x6)， 2x35x6，即 x0，5x60，2x332. x的取值范圍為32， . 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍. (2)若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的. 1定義單調(diào)性時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào) x1，x2在其定義域內(nèi)的任意性，其本質(zhì)是把區(qū)間上無限多個(gè)函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為兩個(gè)任意值的大小比較 2證明函數(shù)的單調(diào)性(利用定義)一定要嚴(yán)格遵循設(shè)元、作差、變形、 定號、結(jié)論的步驟，特別在變形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的運(yùn)用，直到符號判定水到渠成才可 3. 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍時(shí)，要樹立兩種意識：一是等價(jià)轉(zhuǎn)化意識， 如 f(x)在 d上遞增，則 f(x1)f(x2)x1f