北京理工大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、.實(shí)驗(yàn)1 信號(hào)的時(shí)域描述與運(yùn)算一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、 掌握信號(hào)的MATLAB表示及其可視化方法。2、 掌握信號(hào)基本時(shí)域運(yùn)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)方法。3、 利用MATLAB分析常用信號(hào)，加深對(duì)信號(hào)時(shí)域的理解。二、 實(shí)驗(yàn)原理1、 連續(xù)時(shí)間的MATLAB表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)指的是在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)有定義的信號(hào)，即除若干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)外，在任何信號(hào)都有意義。在MATLAB中，連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以用兩種方法來表示，即向量表示法和符號(hào)對(duì)象表示法。向量表示法：嚴(yán)格意義上來說，MATLAB并不能處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，都必須是用信號(hào)等時(shí)間間隔采樣后的采樣值來近似表示的，采樣時(shí)間間隔足夠小的時(shí)候，這些采樣值就可以近似地表示出連續(xù)時(shí)間信號(hào)

2、。例如：>>t=0:0.01:10;>>x=sin(t);此時(shí)利用plot(t,x)命令即可繪制上述信號(hào)的時(shí)域波形。符號(hào)對(duì)象表示法：連續(xù)時(shí)間信號(hào)先用表達(dá)式表示出來，然后采用符號(hào)表達(dá)式來表示信號(hào)。例如：>>sym t;>>x=xin(t);此時(shí)利用ezplot(x)命令即可繪制上述信號(hào)的時(shí)域波形。常用的信號(hào)產(chǎn)生函數(shù)：函數(shù)名功能heaviside單位階躍響應(yīng)sin正弦函數(shù)cos余弦函數(shù)sincsinc函數(shù)exp指數(shù)函數(shù)函數(shù)名功能Rectpuls門函數(shù)Tripuls三角脈沖函數(shù)Square周期方波Sawtooth周期鋸齒波或三角函數(shù)2、 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的

3、時(shí)域運(yùn)算對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算包括量信號(hào)想家、相乘、微分、積分以及位移反轉(zhuǎn)、尺度變換（尺度伸縮）等1） 相加和相乘信號(hào)的相加和相乘指兩個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的值相加和相乘，對(duì)于兩個(gè)采用向量表示的可以直接使用算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算符“+”和“”來計(jì)算，此時(shí)要求表示兩信號(hào)的向量時(shí)間范圍和采樣間隔相同，采用符號(hào)對(duì)象表示的兩個(gè)信號(hào)，可以直接根據(jù)符號(hào)對(duì)象的運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算。2） 微分和積分對(duì)于向量表示發(fā)表示的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，可以用過數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算信號(hào)的微分和積分。這里由時(shí)間向量t1,t2,tN和采樣值向量x1,x2,xN表示的連續(xù)信號(hào)的微分是利用差分來近似求取的。MATLAB里用diff來計(jì)算差分x(k+1)-x(k)。連

4、續(xù)信號(hào)的定積分可以由MATLAB的quad函數(shù)實(shí)現(xiàn)，調(diào)用格式為 quad（functions_name,a,b）其中，functions_name為被積函數(shù)名，a、b為積分區(qū)間。對(duì)于符號(hào)對(duì)象表示的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，MATLAB提供了diff函數(shù)和quad函數(shù)分別用于求微分和積分3） 位移、反轉(zhuǎn)、尺度變換符號(hào)的位移：信號(hào)x(t)的自變量t更換為（t-t0），表示x(t)波形在t軸上整體移動(dòng)，當(dāng)t0>0整體右移，當(dāng)t0<0整體左移。信號(hào)的反轉(zhuǎn)：信號(hào)x(t)的自變量t更換為-t，x(t)的波形相當(dāng)于以t=0為軸反轉(zhuǎn)過來。信號(hào)的尺度變換：信號(hào)x(t)的自變量t更換為at，x(at)表示信號(hào)壓縮

5、（a>1）或拉伸（a<1）。3、 離散時(shí)間信號(hào)的MATLAB表示離散時(shí)間信號(hào)僅在一些離散時(shí)刻有定義。在MATLAB中離散時(shí)間信號(hào)需要使用兩個(gè)向量來表示，其中一個(gè)向量用于表示離散的時(shí)間點(diǎn)，另一個(gè)向量用來表示這些時(shí)間點(diǎn)上的值。stem函數(shù)用于滬指離散時(shí)間信號(hào)波形，為了與我們表示離散時(shí)間信號(hào)的習(xí)慣相同，在繪圖時(shí)一般需要添加“filled”選項(xiàng)，以繪制實(shí)心的桿狀圖形。4、 離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)的相加相乘是將兩個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)間上的值相加或相乘，可以直接使用算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算符“+”或“”來計(jì)算。離散時(shí)間信號(hào)的位移，則可看作是將表示時(shí)間的向量平移，而表示對(duì)應(yīng)時(shí)間點(diǎn)上的值的向量不變。離

6、散時(shí)間信號(hào)的反轉(zhuǎn)，則可看作是將表示時(shí)間的向量和表示對(duì)應(yīng)時(shí)間點(diǎn)桑的值的向量以零為基準(zhǔn)點(diǎn)，一縱軸為對(duì)稱軸反折，向量的反折可以利用MATLAB的fliplr函數(shù)實(shí)現(xiàn)。三、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)中遇到的一些問題與解決（1） 利用MATLAB繪制下列連續(xù)時(shí)間信號(hào)波形：X(t)=(1-e-0.5t) u(t)X(t)=cost u(t)-u(t-2)X(t)=|t|2cost u(t+2)-u(t-2)X(t)=e-tsin2t u(t)-u(t-3)第一題的總代碼如下：syms t x1=(1-exp(-0.5*t)*heaviside(t); %函數(shù)sub

7、plot(221);ezplot(x1); %分塊畫圖xlabel('t');title('1(1) x(t)'); %標(biāo)記x2=cos(pi*t)*heaviside(t)-heaviside(t-2);subplot(222);ezplot(x2);xlabel('t');title('1(2) x(t)');x3=abs(t)/2*cos(pi*t)*heaviside(t+2)-heaviside(t-2);subplot(223);ezplot(x3);xlabel('t');title('1(3

8、) x(t)');x4=exp(-t)*sin(2*pi*t)*heaviside(t)-heaviside(t-3);subplot(224);ezplot(x4);xlabel('t');title('1(4) x(t)');第一題程序運(yùn)行結(jié)果如下：X(t)=u(n-3)（2） 利用MATLAB繪制下列連續(xù)時(shí)間信號(hào)波形：X(t)=(-12)nu(n) X(t)=nu(n)-u(n-5) X(t)=sin(n2 )u(n) 第二題的總代碼如下：n=0:10;x1=heaviside(n-3);subplot(221);stem(n,x1,&#

9、39;filled');xlabel('n');title('2(1) x(n)');x2=(-1/2).(n).*heaviside(n);subplot(222);stem(n,x2,'filled');xlabel('n');title('2(2) x(n)');x3=n.*heaviside(n)-heaviside(n-5);subplot(223);stem(n,x3,'filled');xlabel('n');title('2(3) x(n)')

10、;x4=sin(n*pi/2).*heaviside(n);subplot(224);stem(n,x4,'filled');xlabel('n');title('2(4) x(n)');第二題程序運(yùn)行結(jié)果如下：注：第一個(gè)圖中我將單位階躍函數(shù)的定義給改了。在課前我就著手這次的實(shí)驗(yàn)，我一直百思不得其解的是單位階躍信號(hào)在這題中n=3時(shí)應(yīng)該為1，而右圖是我第一次做這道題的圖，在n=3時(shí)卻是0.5。于是在實(shí)驗(yàn)課上就這個(gè)問題我請(qǐng)教了老師，就是這個(gè)heaviside函數(shù)的定義可以通過在C盤搜索heaviside文件找到它的定義：function Y = he

11、aviside(X)%HEAVISIDE Step function.% HEAVISIDE(X) is 0 for X < 0, 1 for X > 0, and .5 for X = 0.% HEAVISIDE(X) is not a function in the strict sense.% See also DIRAC.% Copyright 1993-2012 The MathWorks, Inc.Y = zeros(size(X),'like',X);Y(X > 0) = 1;Y(X = 0) = .5;Y(isnan(X) = NaN;看到這個(gè)

12、函數(shù)的定義后，老師建議如果要改進(jìn)要么將這個(gè)定義函數(shù)修改，要么就自己新定義一個(gè)函數(shù)保存在源文件中。經(jīng)過思考，我決定暫時(shí)修改這個(gè)函數(shù)，借用與我這次實(shí)驗(yàn)。于是我修改了上面這段代碼的下劃線處，結(jié)果如下：Y = zeros(size(X),'like',X);Y(X > 0) = 1;Y(X = 0) = 1;Y(isnan(X) = NaN;于是，我得到的圖就是上文已經(jīng)給出的“第二題的圖”。這個(gè)小小的問題當(dāng)然不妨礙實(shí)驗(yàn)，但是從中我得到了定義一個(gè)函數(shù)的方法，也是一個(gè)小小的收獲。（3） 利用MATLAB生成并繪制連續(xù)周期矩形波信號(hào)，要求周期為2，峰值為3，顯示3個(gè)周期的波形。第三題代

13、碼如下：t=linspace(0,2*pi); %取間隔y=3*square(pi*t); %方波plot(t,y);axis(0 2*pi -3.5 3.5); %設(shè)置坐標(biāo)范圍grid on; %網(wǎng)絡(luò)線xlabel('t');title('y');第三題程序運(yùn)行結(jié)果如下：在課前編這道題時(shí)我是沒有什么思路的，首先是周期方波怎么表示？我細(xì)細(xì)再看了書上實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的參考后，明白了用square函數(shù)來表示，卻不懂得周期方波的函數(shù)怎么使用。此時(shí)我不得不上網(wǎng)去查周期方波函數(shù)square的使用方法，這才明白了函數(shù)括號(hào)里直接加上2*pi*t即是周期為1的方波。網(wǎng)上有道例題，給出了

14、linspace這個(gè)函數(shù)的定義，于是我就用這個(gè)函數(shù)取了間隔。這樣第一次畫出的圖形乍一看是幾條豎線，我才回想起來緒論的時(shí)候老師曾經(jīng)講過用axis函數(shù)來調(diào)整坐標(biāo)系。當(dāng)然在最后，為了使用新學(xué)的知識(shí)，我加上了個(gè)grid on來修飾整個(gè)圖形。（4） 已知信號(hào)x1(t)，以及信號(hào) x2(t)=sin(2t)，用MATLAB繪出下列信號(hào)的波形： X3(t)= x1(t)+x2(t) X4(t)= x1(t)×x2(t) X5(t)= x1(t)+x1(t) X6(t)= x2(t)×x3(t-1)第四題的總代碼如下：syms tx1=(4-t)*heaviside(t)-heavisid

15、e(t-4); %用階躍信號(hào)當(dāng)門函數(shù)x10=(t+4)*heaviside(t+4)-heaviside(t);x2=sin(2*pi*t);x3=x1+x2;subplot(221);ezplot(x3);xlabel('t');title('4(1) x(t)');x4=x1*x2;subplot(222);ezplot(x4);xlabel('t');title('4(2) x(t)');x5=x10+x1;subplot(223);ezplot(x5);xlabel('t');title('4(3)

16、 x(t)');x3=subs(x3,t,t-1); %變量替換x6=x2*x3;subplot(224);ezplot(x6);xlabel('t');title('4(4) x(t)');第四題程序運(yùn)行結(jié)果如下：這題在完成的過程中，主要是門函數(shù)的使用問題。我剛開始的思路是使用兩個(gè)單位階躍信號(hào)相減，還有一種方法是同學(xué)說的直接使用門函數(shù)rectpuls。相比之下我認(rèn)為同學(xué)的方法更加好，然而當(dāng)我使用rectpuls（0，4）定義一個(gè)在0-4的門函數(shù)后，編譯出來的圖形都十分的奇怪。于是我上網(wǎng)查找了有關(guān)rectpuls的用法，結(jié)果粗略的查找之下并沒有非常詳細(xì)的

17、解答，原因是這個(gè)函數(shù)好像是在前幾個(gè)版本新加進(jìn)去的函數(shù)，網(wǎng)上有的一般是以y軸為作為門函數(shù)的中心進(jìn)行定義，并沒有偏離y軸的線為中心作門函數(shù)的定義。一方面是我比較懶惰，沒能耐心接著尋找這個(gè)問題的答案，另一方面我就要試試我自己的想法是否能夠編譯出可能的圖形。因此我使用heaviside(0)-heaviside(4)、heaviside(-4)-heaviside(0)作門函數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)編出的前三個(gè)圖形經(jīng)過驗(yàn)證是正確的。最后一個(gè)圖形需要使用到變量替換的一個(gè)函數(shù)subs，其實(shí)就在書上的例題中，其用法就是在subs后先將要變量替換的函數(shù)x寫出，逗號(hào)后再加變量t，逗號(hào)后再加上替換后的變量。在編譯時(shí)我曾漏掉過

18、這一語句，結(jié)果檢查時(shí)確實(shí)是比較難發(fā)現(xiàn)。變量替換前后的圖如下： 變量替換前的圖形 變量替換后的圖形這說明對(duì)我來說要格外小心，因?yàn)槲液苋菀追哆@樣的毛病，因此對(duì)于這樣一個(gè)細(xì)小的誤差來說在寫代碼時(shí)就應(yīng)該嚴(yán)格注意。（5） 已知離散時(shí)間信號(hào)x(n)，用MATLAB繪出x(n)、x(-n)、x(n+2)和x(n-2)的波形。第五題的總代碼如下：n=-3:4;x=0 1 2 3 3 3 3 0;subplot(221);stem(n,x,'filled');xlabel('n');title('x(n)');n1=-n;subplot(222);stem(n1,

19、x,'filled');xlabel('n');title('x(n)');n2=n-2;subplot(223);stem(n2,x,'filled');xlabel('n');title('x(n)');n3=n+2;subplot(224);stem(n3,x,'filled');xlabel('n');title('x(n)');第五題程序運(yùn)行結(jié)果如下：（6） 用MATLAB編程繪制下列信號(hào)的時(shí)域波形，觀察信號(hào)是否為周期信號(hào)？若是周期信號(hào)，周期

20、是多少？若不是周期信號(hào)，請(qǐng)說明原因。X(t)=1+cost4-3+2cos(t2)+cos(2t)X(t)=sint+2sint X(t)=2+3sin2n3-8 X(t)=cosn6+sinn3+cosn2 第六題的總代碼如下：syms t x1=1+cos(pi/4*t-pi/3)+2*cos(pi/2*t-pi/4)+cos(2*pi*t);subplot(221);ezplot(x1,-3*pi,3*pi);xlabel('t');title('x1');x2=sin(t)+2*sin(pi*t);subplot(222);ezplot(x2,-3*pi

21、,3*pi); %非周期xlabel('t');title('x2');n=-3*pi:3*pi;x3=2+3*sin(2*n*pi/3-pi/8);subplot(223);stem(x3,'filled');xlabel('n');title('x3');n=-4*pi:4*pi;x4=cos(n*pi/6)+sin(n*pi/6)+cos(n*pi/2);subplot(224);stem(x4,'filled');xlabel('t');title('x4')

22、;第六題程序運(yùn)行結(jié)果如下：圖一為周期函數(shù)，周期為8；圖二為非周期函數(shù)；圖三為周期函數(shù)，周期為3；圖四為周期函數(shù)，周期為12；四、 實(shí)驗(yàn)收獲與總結(jié)通過此次的實(shí)驗(yàn)，我學(xué)會(huì)了MATLAB的一些基本編譯的方法，包括掌握信號(hào)的MATLAB表示及其可視化方法。掌握信號(hào)基本時(shí)域運(yùn)算離散函數(shù)、連續(xù)函數(shù)的MATLAB實(shí)現(xiàn)方法。課前的編譯使得我實(shí)驗(yàn)課上更加地輕松，能夠提前發(fā)現(xiàn)問題、尋求同學(xué)的幫助或者是上網(wǎng)查找一些相關(guān)的問題，也能夠把不會(huì)的問題在課堂上進(jìn)行解決。此次實(shí)驗(yàn)我遇到的問題主要集中在2、3、4題上，其余的題我都比較輕松的完成，對(duì)于實(shí)驗(yàn)中的困難與解決在上述“實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)遇到的困難與解決”中已經(jīng)將

23、這部分進(jìn)行了詳細(xì)描述?？偠灾@樣自主的實(shí)驗(yàn)課能夠讓我們更加自主、主動(dòng)地學(xué)習(xí)，自己琢磨掌握一些核心的編譯方法，實(shí)驗(yàn)課上完不成的內(nèi)容可以課后再研究、討論，這門實(shí)驗(yàn)課提升了我的學(xué)習(xí)興趣，也激發(fā)了我學(xué)習(xí)的動(dòng)力。相信今后的實(shí)驗(yàn)我能夠越做越好。實(shí)驗(yàn)2 LIT系統(tǒng)的時(shí)域分析一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌握利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析的方法2、掌握連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的求解方法3、掌握求解離散時(shí)間系統(tǒng)響應(yīng)、單位抽樣響應(yīng)的方法4、加深對(duì)卷積積分和卷積和的理解，掌握利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行卷積積分和卷積和計(jì)算的方法二、 實(shí)驗(yàn)原理1、 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)1） 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的MATLA

24、B表示LIT連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)通?？梢杂上到y(tǒng)微分方程描述，設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為：則在MATLAB里可以建立系統(tǒng)模型如下：b=bM,b(M-1),b0；a=aN,a(N-1),a0；sys=tf（b,a）；其中，tf是用于創(chuàng)建系統(tǒng)模型的函數(shù)，向量a與b的元素是以微分方程求導(dǎo)的降次冪次序來排序的，如果有缺項(xiàng)，應(yīng)用0補(bǔ)齊。2） 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由輸入信號(hào)所引起的響應(yīng)。MATLAB提供了一個(gè)用于求解零狀態(tài)響應(yīng)的函數(shù)lism，其調(diào)用格式如下：lism(sys,x,t)繪出輸入信號(hào)及響應(yīng)的波形，x和t表示輸入信號(hào)數(shù)值向量及其時(shí)間向量。 y= lism(sys,x,t

25、)這種調(diào)用格式不會(huì)出波形，而是返回響應(yīng)的數(shù)值向量。3） 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)MATLAB提供函數(shù)impulse來求指定時(shí)間范圍內(nèi)，由模型sys描述的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。impulse函數(shù)的基本調(diào)用格式如下：impulse(sys)在默認(rèn)時(shí)間范圍內(nèi)繪出系統(tǒng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形。impulse(sys,T)繪出系統(tǒng)在0-T范圍內(nèi)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形。impulse(sys,ts:tp:te)繪出系統(tǒng)在ts-te范圍內(nèi)，以tp為時(shí)間間隔取樣的沖激響應(yīng)波形。y,t=impulse()該調(diào)用格式不會(huì)出沖激響應(yīng)波形，而是返回沖激響應(yīng)的數(shù)值向量及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間向量。函數(shù)step用于求解單位階躍

26、響應(yīng)，函數(shù)step同樣也有如下幾種調(diào)用格式：step(sys)step(sys,T)step(sys,ts:tp:te) y,t= step()各種調(diào)用格式參數(shù)所代表的意思可參考上述impulse函數(shù)。2、 離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)1） 離散時(shí)間系統(tǒng)的MATLAB表示LTI離散系統(tǒng)通常可以由系統(tǒng)差分方程描述，設(shè)描述系統(tǒng)的差分方程為：a0y(n)+a1y(n-1)+aNy(n-M)=b0x(n)+b1x(n-1)+bNx(n-N)則在MATLAB里，我們可以用如下兩個(gè)向量來表示這個(gè)系統(tǒng)：b=b0,b1,bN；a=a0,a1,aN；2） 離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)MATLAB提供了

27、求LIT離散系統(tǒng)響應(yīng)的專用函數(shù)filter，該函數(shù)用于求取由差分方程所描述的離散時(shí)間系統(tǒng)在指定時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)輸入序列所產(chǎn)生的響應(yīng)，該函數(shù)基本調(diào)用格式為：y=filter(b,a,x)其中，x為輸入序列，y為輸出序列，輸出系列y對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間相同。3） 離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)MATLAB提供了函數(shù)impz來求指定時(shí)間范圍內(nèi)，由向量b和a描述的離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，具體調(diào)用格式如下：impz(b,a)在默認(rèn)時(shí)間范圍內(nèi)繪出單位抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形。impz(b,a,N)繪出系統(tǒng)在0-N范圍系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形。impz(b,a,ns:te)繪出系統(tǒng)在ns-te范圍內(nèi)的單位抽樣響應(yīng)波形。y

28、,t=impz()該調(diào)用格式不會(huì)出單位抽樣響應(yīng)波形，而是返回單位抽樣響應(yīng)的數(shù)值向量及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間向量。3、 卷積和與卷積積分1） 離散時(shí)間序列的卷積和卷積和是離散系統(tǒng)時(shí)域分析的基本方法之一，離散時(shí)間序列x1(n)和x2(n)的卷積和x(n)定義如下：xn=x1n*x2n=k=-+x1kx2(n-k)對(duì)已離散LTI系統(tǒng)，設(shè)其輸入信號(hào)為x(n)，單位抽樣響應(yīng)為h(n)，則其零狀態(tài)響應(yīng)y(n)為y(n)=x(n)*h(n)即離散LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示成輸入信號(hào)x(n)和單位抽樣響應(yīng)h(n)的卷積，因此，離散時(shí)間序列的卷積和計(jì)算對(duì)我們近離散吸引時(shí)域分析具有重要的意義。MATLAB的conv函數(shù)

29、可以用來求兩個(gè)離散序列的卷積和，調(diào)用格式為x=conv(x1,x2)。例如：>>x1=ones(1,3);>>x2=1,2,3,4;>>x=conv(x1,x2);x=1 3 6 9 7 4然而，我們不難發(fā)現(xiàn)，此例中序列x1、x2、x都沒有時(shí)間信息，而實(shí)際上我們還需根據(jù)序列x1、x2對(duì)應(yīng)時(shí)間序列確定卷積結(jié)果x對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列。設(shè)x1、x2為兩個(gè)在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)非零的離散時(shí)間序列，即序列x1在區(qū)間n1-n2內(nèi)非零，序列x2在區(qū)間m1-m2內(nèi)非零，則序列x1的時(shí)域?qū)挾葹長(zhǎng)1=n2-n1+1，序列x2的時(shí)域?qū)挾葹長(zhǎng)2=m2-m1+1。由卷積和的定義可知，卷積和序列x

30、的時(shí)域?qū)挾葹長(zhǎng)=L1+L2-1，且只在區(qū)間(n1+m1)-(n1+m1)+(L1+L2-2)非零。2） 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的卷積積分卷積積分是連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的有效方法和工具之一，連續(xù)時(shí)間信號(hào)x1(t)和x2(t)的卷積積分x(t)定義如下： 對(duì)已連續(xù)LTI系統(tǒng)，設(shè)其輸入信號(hào)為x(t)，單位沖激響應(yīng)為h(t)，其零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)，則有y(t)=x(t)*h(t)即連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示成輸入信號(hào)和單位沖激響應(yīng)的卷積。因此連續(xù)時(shí)間信號(hào)卷積積分對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析具有非常重要的意義。利用MATLAB可以采用數(shù)值計(jì)算的方法近似計(jì)算卷積積分。卷積積分可用求和運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)現(xiàn)在考慮只求t=n時(shí)x(

31、t)的值x(n)，則由上式可得當(dāng)足夠小，x(n)就是x(t)的數(shù)值近似。我們可以利用計(jì)算離散序列卷積和的conv函數(shù)來計(jì)算卷積積分，具體步驟如下： 將連續(xù)時(shí)間信號(hào)x1(t)和x2(t)以時(shí)間間隔進(jìn)行取樣，得到離散序列x1(n)和x2(n)； 構(gòu)造離散序列x1(t)和x2(t)對(duì)應(yīng)的時(shí)間向量t1和t2 ； 調(diào)用函數(shù)conv計(jì)算卷積積分在t= n時(shí)的近似采樣值x(n)； 構(gòu)造離散序列x(n)對(duì)應(yīng)的時(shí)間向量n。根據(jù)上述過程可以自定義一個(gè)用于計(jì)算卷積積分的通用函數(shù)sconv，函數(shù)源代碼如下：function x,t=sconv(x1,x2,t1,t2,dt)% 計(jì)算連續(xù)信號(hào)卷積積分x(t)=x1(t)

32、*x2(t)% 數(shù)值方法% x：卷積積分x(t)對(duì)應(yīng)的非零值向量% t：f(t)的對(duì)應(yīng)時(shí)間向量% x1：x1(t)的非零值向量% x2：x2(t)的非零值向量% t1：x1(t)的對(duì)應(yīng)時(shí)間向量% t2：x2(t)的對(duì)應(yīng)時(shí)間向量% dt：取樣時(shí)間間隔function x,t=sconv(x1,x2,t1,t2,dt)x = conv(x1,x2);x = x*dt;t0 = t1(1)+t2(1);l = length(x1)+length(x2) - 2;t = t0:dt:(t0+l*dt);三、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)中遇到的一些問題與解決（1） 采用MATLAB繪出各系統(tǒng)的單位沖激響

33、應(yīng)和單位階躍響應(yīng)波形。第一題總程序代碼如下：a=1 sqrt(2) 1;b=1;sys=tf(b,a);subplot(421);impulse(sys);subplot(422);step(sys);a=2 sqrt(2) 1;b=1 0 0;sys=tf(b,a);subplot(423);impulse(sys);subplot(424);step(sys); a=1 1 1;b=1 0 ;sys=tf(b,a);subplot(425);impulse(sys);subplot(426);step(sys); a=1 1 1;b=1 0 1;sys=tf(b,a);subplot(42

34、7);impulse(sys);subplot(428);step(sys);第一題總運(yùn)行結(jié)果：（2） 已知某系統(tǒng)可以由如下微分方程描述 利用MATLAB繪出該系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的時(shí)域波形。 根據(jù)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性觀察上面的波形，t趨于無窮時(shí)，y(t)均趨于0，所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如果系統(tǒng)的輸入為,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。第二題總程序代碼如下：b=0 0 1;a=1 1 6;sys=tf(b,a);subplot(311);impulse(sys);text(0.2,-0.3,'根據(jù)沖激相應(yīng)時(shí)域波形可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定');subplot(312);step(sy

35、s);t=0:0.01:10;x=exp(-t);subplot(313);lsim(sys,x,t);第二總運(yùn)行結(jié)果：（3） 已知描述離散系統(tǒng)的微分方程如下，用MATLAB繪出各系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，根據(jù)單位抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第三題總程序代碼如下：b1=1 ;a1=1 3 2;subplot(211);impz(b1,a1,0:10);text(1,2000,'根據(jù)單位抽樣響應(yīng)時(shí)域波形可知，該系統(tǒng)不穩(wěn)定');b2=1 -3 ;a2=1 -1/2 4/5;subplot(212);impz(b2,a2,0:40);text(10,2, '根據(jù)單位抽樣響應(yīng)

36、時(shí)域波形可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定');第三題總運(yùn)行結(jié)果：（4） 已知系統(tǒng)可以由如下差分方程描述 第四題總程序代碼如下：a=1 1 1/4;b=1;subplot(211);impz(b,a);subplot(212);t=0:1:20;x=heaviside(t);y=filter(b,a,x);stem(t,y,'filled');第四題總運(yùn)行結(jié)果：（5） 用MATLAB計(jì)算如下兩個(gè)序列的卷積，并繪出圖形。第五題總程序代碼如下：x1=1 2 1 1;n1=-1:2;x2=1 1 1 1 1;n2=-2:2;x3=conv(x1,x2);stem(x3,'filled&

37、#39;);xlabel('n');title('x1*x2');第五題總運(yùn)行結(jié)果：（6） 已知某LTI離散系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)，系統(tǒng)的輸入為，計(jì)算當(dāng)n=0,1,2，40時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(n),繪出x(n),h(n)和y(n)時(shí)域波形。第六題總程序代碼如下：n=0:40;x=sin(0.2.*n);subplot(311);stem(n,x,'filled');h=sin(0.5.*n);subplot(312);stem(n,h,'filled');y=conv(x,h);subplot(313);stem(y,'f

38、illed');第六題總運(yùn)行結(jié)果：（7） 已知兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，求兩個(gè)信號(hào)的卷積第六題總程序代碼如下：dt = 0.01;t1 = -1:dt:1; x1 = 2*(heaviside(t1+1)-heaviside(t1-1);t2 = -2:dt:2;x2 = heaviside(t2+2)-heaviside(t2-2);x,t=sconv(x1,x2,t1,t2,dt);plot(t,x);axis(-3 3 0 4.5);第六題總運(yùn)行結(jié)果：四、 實(shí)驗(yàn)收獲與總結(jié)在此次實(shí)驗(yàn)中我掌握了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的求解方法，加深了對(duì)卷積積分和卷積和的理解，掌握了利用計(jì)

39、算機(jī)進(jìn)行卷積積分和卷積和計(jì)算的方法。不過對(duì)于程序的使用方面仍有欠缺，需要在下次實(shí)驗(yàn)中繼續(xù)改進(jìn)和掌握。在本次實(shí)驗(yàn)中也遇到了一些問題：本次試驗(yàn)中我遇到的問題就是在對(duì)離散序列做卷積時(shí)沒有正確理解卷積后的時(shí)間序列的概念，在實(shí)驗(yàn)開始時(shí)，我并沒有意識(shí)到需要由我們自己去確定卷積后的時(shí)間序列，還有就是原先我將sconv的原函數(shù)放在源文件夾里，發(fā)現(xiàn)無法調(diào)用，后來發(fā)現(xiàn)兩個(gè)程序是要放在一個(gè)文件夾里才能成功調(diào)用，這個(gè)問題費(fèi)了我不少時(shí)間。 經(jīng)過這次實(shí)驗(yàn)后，對(duì)MATLAB有了初步的了解和應(yīng)用，并且加深了對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)這門課程的理解，感覺受益頗豐。實(shí)驗(yàn)3 信號(hào)的頻域分析一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、 深入理解信號(hào)頻譜的概念，掌握信號(hào)頻譜

40、的概念，掌握信號(hào)的頻域分析方法。2、 觀察典型周期信和非周期信號(hào)的頻譜，掌握其頻譜特性二、 實(shí)驗(yàn)原理1、 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析如果周期信號(hào)滿足狄里赫利條件，就可以展開為傅里葉級(jí)數(shù)的形式，即式中，T0表示基波周期，w0=2/T0為基波頻率，T0()表示任一個(gè)基波周期內(nèi)的積分。(1)式和(2)式定義為周期信號(hào)復(fù)制數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，系數(shù)ck稱為x(t)的傅里葉系數(shù)。周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)還可以由三角函數(shù)的線性組合來表示，即式中同頻率的正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)可以合并，從而得到三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，即可見，任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)都可以表示成一組諧波關(guān)系的復(fù)制數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的疊加。一般來說周期信號(hào)

41、表示為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)需要無限多項(xiàng)才能完全逼近原信號(hào)，但實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來代替，所選項(xiàng)越多就越逼近原信號(hào)。2、 連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜分析對(duì)于非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，信號(hào)的傅里葉變換和傅里葉逆變換定義為(7)式和(8)式把信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性聯(lián)系起來，確立了非周期信號(hào)x(t)和頻譜x(w)之間的關(guān)系。采用MATLAB可以方便地求取非周期連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換，這里采用了常用的幾種方法1） 符號(hào)法MATLAB的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱提供了直接求解傅里葉變換和反變換的函數(shù)，fourier和ifourier函數(shù)，基本調(diào)用格式為X=fourier(x)x=ifourier(X)默認(rèn)的時(shí)域變量為t，頻域變量

42、為w。例如求x(t)=e-2|t|的傅里葉變換，MATLAB代碼和運(yùn)行結(jié)果如下：>>syms t>>x=exp(-2*abs(t);>>X=fourier(x)X=4/(w2+4)Xw=44+w2因此，傅里葉變換的結(jié)果為也可以利用int函數(shù)直接根據(jù)求傅里葉變換。2） 數(shù)值積分法除了采用符號(hào)運(yùn)算的方法外，我們還可以利用MATLAB的quad函數(shù)，采用數(shù)值積分的方法來進(jìn)行連續(xù)信號(hào)的頻譜分析，quad函數(shù)是一個(gè)用來計(jì)算數(shù)值積分的函數(shù)。利用quad函數(shù)可以計(jì)算非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。Quad函數(shù)的一般調(diào)用格式為：y=quad(fun,a,b)y=quad(fun,

43、a,b,TOL,TRACE,p1,p2,)其中fun指定被積函數(shù)，可以采用inline命令來創(chuàng)建，也可以通過傳遞函數(shù)句柄的形式來指定，a、b表示定積分的下限和上限，TOL表示允許的相對(duì)或絕對(duì)積分誤差，TRACE表示以被積函數(shù)的點(diǎn)繪圖形式來跟蹤該函數(shù)的返回值，如果TOL和TRACE為空矩陣，則使用缺省值，“p1,p2，”表示被積函數(shù)出時(shí)間t之外所需的其他額外輸入?yún)?shù)。3） 數(shù)值近似法我們還可以利用MATLAB的數(shù)值計(jì)算的方法近似計(jì)算連續(xù)時(shí)間傅里葉變換。傅里葉變換x(w)可以由式（9）近似計(jì)算當(dāng)x(t)為時(shí)限信號(hào)，且足夠小，式（9）可以演變?yōu)槎剑?0）中求和部分又可以表示成一個(gè)行向量和一個(gè)列向量

44、的乘積式（11）可以很方便地利用MATLAB實(shí)現(xiàn)。3、 離散周期時(shí)間信號(hào)的頻譜分析基波周期為N的周期序列x(n)可以用N個(gè)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和表示，即這里k=<N>表示求和僅需包括一個(gè)周期內(nèi)的N項(xiàng)，周期序列在一個(gè)周期內(nèi)的求和與起點(diǎn)無關(guān)。將周期序列表示成式（12）的形式，成為離散傅里葉級(jí)數(shù)，而系數(shù)ck則稱為離散傅里葉系數(shù)。離散傅里葉系數(shù)ck可以由式（13）確定。傅里葉系數(shù)ck也稱為x(n)的頻譜系數(shù)，而且可以證明ck是以N為周期的離散頻率序列。這說明了周期的離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于頻域?yàn)橹芷诘碾x散頻率。這里，我們用周期N與傅里葉系數(shù)ck的乘積來表示周期離散時(shí)間信號(hào)的頻譜，即x(k

45、)可以利用MATLAB提供的函數(shù)fft用來計(jì)算，調(diào)用格式為該函數(shù)返回x(k)一個(gè)周期內(nèi)的值，其中x表示x(n)一個(gè)周期內(nèi)的樣本值。4、 離散非周期時(shí)間信號(hào)的頻率分析非周期序列x(n)可以表示成一組復(fù)指數(shù)序列的連續(xù)和其中式（16）稱為x(n)的離散時(shí)間傅里葉變換，式（15）和式（16）確立了非周期離散時(shí)間信號(hào)x(n)及其離散時(shí)間傅里葉變換 之間的關(guān)系。是連續(xù)頻率的函數(shù)，稱為頻譜函數(shù)，且是周期的連續(xù)頻率函數(shù)，其周期為2?？梢?，非周期離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于頻域中是一個(gè)連續(xù)的周期的頻率函數(shù)。對(duì)于有限長(zhǎng)的時(shí)間序列，式（16）可以表示為式（17）可以方便地利用MATLAB實(shí)現(xiàn)。三、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)

46、中遇到的一些問題與解決（1） 已知x(t)是如圖所示的周期矩形脈沖信號(hào)。計(jì)算該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)；利用MATLAB會(huì)出由前N次諧波合成的信號(hào)波形，觀察隨著N的變化合成信號(hào)波形的變化規(guī)律；利用MATLAB繪出周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜，觀察參數(shù)T和變化時(shí)對(duì)頻譜波形的影響。 傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算為ft=ET1+2n=1+sinn2n2cosnt 程序：syms t;t=-2:0.01:2;T=input('T='); tt=input('tt=(tt<T)'); N=input('N='); A=input('A=');x=zeros(si

47、ze(t);for n=1:2:N,m=(n-1)/2 x=x+(-1)(m-1)*(2*A/(pi*n*tt/T)*cos(2*pi*n*t/T);endx=x+A*tt/Tsubplot(211);plot(t,x);xlabel('Time(sec)');title('N=' num2str(N);以下為T=1，tt=0.5，A=1，不同N下的運(yùn)行結(jié)果： 程序：N = 10;T = input('T=');tt = input('tt=');A = 1;w = 2*pi/T;n1 = -N:-1;c1 = (2*A*l/T)

48、*sin(n1*w*l/2)/w/l./n1*2;c0 = E*l/T;n2 = 1:N;c2 = (2*A*l/T)*sin(n1*w*l/2)/w/l./n1*2;cn = c1 c0 c2;n = -N:N;subplot(211);stem(n,abs(cn),'filled');xlabel('omega/omega_0');title('Magnitude of ck');subplot(212);stem(n,angle(cn),'filled');xlabel('omega/omega_0');ti

49、tle('Phase of ck');N = 10，A = 1，T=1，不同tt下的運(yùn)行結(jié)果：tt = 0.5tt = 0.3tt = 0.7思考題：Q1-1、什么是吉伯斯現(xiàn)象？產(chǎn)生吉伯斯現(xiàn)象的原因是什么？答：將具有不連續(xù)點(diǎn)的周期函數(shù)（如矩形脈沖）進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開后，選取有限項(xiàng)進(jìn)行合成。當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)越多，在所合成的波形中出現(xiàn)的峰起越靠近原信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，大約等于總跳變值的9%。這種現(xiàn)象稱為吉伯斯現(xiàn)象。原因是在不連續(xù)點(diǎn)附近所有的正弦信號(hào)均具有相同的變化趨勢(shì)，該趨勢(shì)在有限項(xiàng)內(nèi)無法被消除。Q1-2、以周期矩形脈沖信號(hào)為例，說明周期信號(hào)的頻譜

50、有什么特點(diǎn)。答：周期信號(hào)的頻譜是具有周期性的一系列的脈沖信號(hào)。Q1-3、周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度與信號(hào)的時(shí)域?qū)挾戎g有什么關(guān)系？答：時(shí)域?qū)挾仍酱螅行ьl帶寬度越小。Q1-4、隨著矩形脈沖信號(hào)參數(shù)的變化，其頻譜結(jié)構(gòu)如何變化？答：頻譜包絡(luò)形狀不變，過零點(diǎn)不變，普賢間隔隨著T變大而縮小。（2） 已知x(t)是如圖所示的矩形脈沖信號(hào)。求該信號(hào)的傅里葉變換；利用MATLAB繪出矩形脈沖信號(hào)的頻譜，觀察矩形脈沖信號(hào)寬度變化時(shí)對(duì)頻譜波形的影響；讓矩形脈沖信號(hào)的面積始終等于1，改變矩形脈沖寬度，觀察矩形脈沖信號(hào)時(shí)域波形和頻譜隨矩形脈沖寬度的變化趨勢(shì)。 X(w)= 程序：syms t A tt;tt=in

51、put('tt=');A=input('A=');x=A*( heaviside(t+ (tt/2) )-heaviside(t- (tt/2) );X=fourier(x)ezplot(abs(X),-20,20);A=1，tt=1的運(yùn)行結(jié)果：A=1，tt=2的運(yùn)行結(jié)果：A=1，tt=5的運(yùn)行結(jié)果： 程序：syms t A tt;tt=input('tt=');A=1/tt;x=A*( heaviside(t+ (tt/2) )-heaviside(t- (tt/2) );X=fourier(x)ezplot(abs(X),-20,20);tt

52、=1的運(yùn)行結(jié)果：tt=2的運(yùn)行結(jié)果：tt=5的運(yùn)行結(jié)果：思考題：Q2-1、比較矩形脈沖信號(hào)和周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜，兩者之間有何異同？答：矩形脈沖信號(hào)頻譜為連續(xù)函數(shù)，周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜為一系列的脈沖。Q2-2、根據(jù)矩形脈沖寬度變化時(shí)頻譜的變化規(guī)律，說明信號(hào)的有效頻帶寬度與其時(shí)域?qū)挾戎g有什么關(guān)系？答：信號(hào)有效頻帶寬度越大，時(shí)域?qū)挾仍叫?。?） 已知xn是如圖所示的周期方波序列。利用MATLAB繪制周期方波序列的頻譜波形，改變參數(shù)N和N1的大小，觀察頻譜波形的變化趨勢(shì)。第三題的總代碼如下：double N;double N1;N=input('N=');N1=input(&#

53、39;N1=');n=-N+1:N-1;x(n>=-N1 & n<= N1)=1;x(n>N1 & n<(N-N1)=0;x(n>-N+N1 & n<-N1)=0;x(n>=N-N1 & n<=N+N1)=1;subplot(211);stem(n,x,'filled');xlabel('n');title('x(n)');subplot(212);X=fft(x);stem(n,X,'filled');xlabel('k');

54、title('X(k)');N1=5,N=20的運(yùn)行結(jié)果N1=3,N=16的運(yùn)行結(jié)果思考題：Q3-1、以周期方波序列為例，說明周期序列與連續(xù)周期信號(hào)的頻譜有何異同。答：周期序列的頻譜向外越來越大，連續(xù)周期信號(hào)頻譜則是中間向兩邊越來越小。Q3-2、隨著周期方波序列占空比的變化，其頻譜如何隨之變化？答：隨著占空比越來越大，頻譜密度也越來越大。（4） 已知一矩形脈沖序列。利用MATLAB繪制周期方波序列的頻譜波形，改變矩形脈沖序列的寬度，觀察頻譜波形的變化趨勢(shì)。第四題的總代碼如下：double N1;%做完一次運(yùn)算后記著clearN1=input('N1=');w=-

55、pi:0.01*pi:pi;n=-N1:N1;x(n>=(-N1) & n<=N1)=1;X=x*exp(-j*(n'*w) );subplot(211);stem(n,x,'filled');xlabel('n');title('x(n)');subplot(212);plot(w/pi,abs(X);N=10N=5思考題：Q4-1、隨著矩形脈沖序列寬度的變化，其頻譜如何隨之變化？其寬度與頻譜的有效寬度有何關(guān)系？答：寬度越大，頻譜變化就越密集。矩形脈沖信號(hào)序列寬度越大，頻譜有效寬度越大。四、 實(shí)驗(yàn)收獲與總結(jié)此次實(shí)驗(yàn)難度與前兩次相比較有明顯的提升，花費(fèi)的時(shí)間也明顯增加。很多程序都是在與同學(xué)討論之后才寫出來的。本次實(shí)驗(yàn)中我遇到的問題就是容易誤把頻譜也做了累加，得到了錯(cuò)誤的波形和結(jié)果，在經(jīng)過和課本上的范例對(duì)比之后，我找出了錯(cuò)誤，得到了正確的波形和結(jié)果。這次實(shí)驗(yàn)不僅是對(duì)知識(shí)掌握程度的考驗(yàn)，也是對(duì)個(gè)人耐心和學(xué)習(xí)態(tài)度的考驗(yàn)，我的收獲收獲就是從實(shí)驗(yàn)的角度了解了吉伯斯現(xiàn)象，