高中數(shù)學必修二第六章 6.2.2

1、1 / 12 6.2.2 向量的減法運算向量的減法運算 學習目標 1.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.2.掌握向量減法的幾何意義.3.能熟練地進行向量的加、減綜合運算. 知識點一 相反向量 1.定義：與向量 a 長度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，記作a. 2.性質(zhì) (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)對于相反向量有：a(a)(a)a0. (3)若 a，b 互為相反向量，則 ab，ba，ab0. 知識點二 向量的減法 1.定義：向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a與 b 的差，即 aba(b)，因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運

2、算，叫做向量的減法. 2.幾何意義：在平面內(nèi)任取一點 o，作oaa，obb，則向量 abba，如圖所示. 3.文字敘述：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量. 思考 若 a，b是不共線向量，|ab|與|ab|的幾何意義分別是什么？ 答案 如圖所示，設oaa，obb.根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的幾何意義，有ocab，baab.因為四邊形 oacb是平行四邊形，所以|ab|oc|，|ab|ba|，分別是以 oa，ob為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長. 2 / 12 1.相反向量就是方向相反的向量.( ) 提示 相反向量的方

3、向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小沒有關系. 2.向量ab與ba是相反向量.( ) 提示 ab與ba大小相等、方向相反. 3.abba.( ) 提示 向量減法不滿足交換律. 4.兩個相等向量之差等于 0.( ) 提示 兩個相等向量之差等于 0. 一、向量的減法運算 例 1 如圖，已知向量 a，b，c 不共線，求作向量 abc. 解 方法一 如圖，在平面內(nèi)任取一點 o，作oaa，abb，則obab，再作occ，則cbabc. 3 / 12 方法二 如圖，在平面內(nèi)任取一點 o，作oaa，abb，則obab，再作cbc，連接 oc，則ocabc. 反思感悟 求作兩個向量的差向量的兩種

4、思路 (1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如 ab，可以先作b，然后作 a(b)即可. (2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量. 跟蹤訓練 1 如圖所示，o為abc內(nèi)一點，oaa，obb，occ.求作：bca. 解 方法一 以ob，oc為鄰邊作obdc，連接 od，ad， 則odobocbc，adodoabca. 方法二 作cdobb， 4 / 12 連接 ad，則acocoaca， adaccdcabbca. 二、向量減法法則的應用 例 2 (1)化簡：(adbm)(bcmc)_. 答案 ad 解析 原式admbbcm

5、cadmcmcad. (2)如圖，p，q 是abc 的邊 bc 上的兩點，且bpqc，則化簡abacapaq的結(jié)果為( ) a.0 b.bp c.pq d.pc 答案 a 解析 abacapaq(abap)(acaq)pbqcqcbp0. 反思感悟 (1)向量減法運算的常用方法 5 / 12 (2)向量加減法化簡的兩種形式 首尾相連且為和. 起點相同且為差. 解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用. 跟蹤訓練 2 如圖，已知 o 為平行四邊形 abcd 內(nèi)一點，oaa，obb，occ，則od_. 答案 acb 解析 由已知adbc， 則odoaadoabcoaocobacb. 1.

6、在abc中，若baa，bcb，則ca等于( ) a.a b.ab c.ba d.ab 答案 d 解析 cababcab. 2.化簡opqppssp等于( ) a.qp b.oq c.sp d.sq 答案 b 解析 原式(oppq)(pssp)oq0oq. 6 / 12 3.已知在四邊形 abcd 中，dbdaacad，則四邊形 abcd一定是( ) a.平行四邊形 b.菱形 c.矩形 d.正方形 答案 a 解析 由dbdaacad，可得abdc， 所以四邊形 abcd一定是平行四邊形. 4.下列等式成立的個數(shù)是( ) abba； abba； 0aa； (a)a； a(a)0. a.5 b.4

7、c.3 d.2 答案 b 解析 由題意知，成立. 5.(多選)下列各向量運算的結(jié)果與ac相等的有( ) a.aooc b.aooc c.oaoc d.ocoa 答案 ad 解析 由題意知，ad 正確. 1.知識清單： 7 / 12 (1)向量的減法運算. (2)向量減法的幾何意義. 2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合. 3.常見誤區(qū)：忽視向量共起點，才可用減法法則. 1.如圖所示，在abcd 中，aba，adb，則用 a，b表示向量ac和bd分別是( ) a.ab和 ab b.ab 和 ba c.ab 和 ba d.ba和 ba 答案 b 解析 由向量的加法、減法法則， 得acabadab， bdadab

8、ba. 2.abcbdcde等于( ) a.ab b.ae c.be d.cd 答案 b 3.下列各式中，恒成立的是( ) 8 / 12 a.abba b.aa0 c.abacbc d.abcbca0 答案 d 解析 選項 d 中，abcbcaabbccaacca0. 4.(多選)下列四個式子中可以化簡為ab的是( ) a.accdbd b.accb c.oaob d.oboa 答案 ad 5.如圖，在四邊形 abcd 中，設aba，adb，bcc，則dc等于( ) a.abc b.b(ac) c.abc d.bac 答案 a 解析 dcacadabbcadacbabc. 6.oboaocco

9、_. 答案 ab 解析 oboaocco(oboa)(occo) ab0ab. 9 / 12 7.若菱形 abcd 的邊長為 2，則|abcbcd|_. 答案 2 解析 |abcbcd|abbccd|ad|2. 8.在邊長為 1的正三角形 abc 中，|abbc|的值為_. 答案 3 解析 如圖，作菱形 abcd， 則|abbc|abad| |db| 3. 9.如圖，已知 a，b，求作 ab. 解 如圖，ba即為所求作的 ab. 10.如圖所示，已知正方形 abcd 的邊長為 1，aba，bcb，acc，試求：|abc|. 10 / 12 解 作bfac，連接 cf(圖略)，則dbbfdf，

10、而dbabadabbcab， abcdbbfdf且|df|2. |abc|2. 11.若|ab|5，|ac|8，則|bc|的取值范圍是( ) a.3,8 b.(3,8) c.3,13 d.(3,13) 答案 c 解析 |bc|acab|且|ac|ab|acab|ac|ab|， 3|acab|13，3|bc|13. 12.平面上有三點 a，b，c，設 mabbc，nabbc，若 m，n 的長度恰好相等，則( ) a.a，b，c三點必在同一直線上 b.abc必為等腰三角形且abc為頂角 c.abc必為直角三角形且abc90 d.abc 必為等腰直角三角形 答案 c 解析 如圖所示，作abcd， 1

11、1 / 12 則abbcac， abbcabaddb. |m|n|，|ac|db|. abcd為矩形， abc為直角三角形，abc90 . 13.已知oaa，obb，若|oa|12，|ob|5，且aob90 ，則|ab|_. 答案 13 解析 |oa|12，|ob|5，aob90 ， |oa|2|ob|2|ab|2，|ab|13. oaa，obb， aboaobba，|ab|ba|13. 14.如圖所示，o 是平行四邊形 abcd 的對角線 ac，bd 的交點，設aba，dab，occ.證明：bcaoa. 證明 bcadaocabcbocabobabobbaoa. 15.設點 m 是線段 bc 的中點，點 a 在直線 bc 外，且|bc|4，|abac|abac|，則|am|_. 12 / 12 答案 2 解析 以 ab，ac為鄰邊作平行四邊形 acdb， 由向量加減法的幾何意義可知， adabac，cbabac， |abac|abac|， |ad|cb|，