高中數(shù)學(xué)必修二第十章 10.1.3

1、1 / 13 10.1.3 古典概型古典概型 學(xué)習目標 1.理解古典概型的概念及特點.2.掌握利用古典概型概率公式解決簡單的概率計算問題. 知識點一 隨機事件的概率 對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件 a 的概率用 p(a)表示. 知識點二 古典概型 一般地，若試驗 e 具有以下特征： (1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個； (2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等. 稱試驗 e 為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型. 知識點三 古典概型的概率公式 一般地，設(shè)試驗 e 是古典概型，樣本空間 包含 n 個樣本點，事件 a 包含其中的 k 個樣本點

2、，則定義事件 a 的概率 p(a)knn(a)n(). 1.古典概型中每個事件發(fā)生的可能性相同.( ) 2.古典概型有兩個重要條件：樣本空間中樣本點總數(shù)是有限的，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果；各個樣本點的出現(xiàn)是等可能的.( ) 3.用古典概型的概率公式可求“在線段0,5上任取一點，此點小于 2”的概率.( ) 4.從甲地到乙地共 n 條線路，且這 n 條線路長短各不相同，求某人任選一條路線正好選中最短路線的概率是古典概型問題.( ) 2 / 13 一、古典概型的判斷 例 1 下列概率模型是古典概型嗎？為什么？ (1)從區(qū)間1,10內(nèi)任意取出一個實數(shù)，求取到實數(shù) 2的概率； (2)向上拋擲一枚不

3、均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率； (3)從 1,2,3，100這 100 個整數(shù)中任意取出一個整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率. 解 (1)不是古典概型，因為區(qū)間1,10中有無限多個實數(shù)，取出的實數(shù)有無限多種結(jié)果，與古典概型定義中“所有可能結(jié)果只有有限個”矛盾. (2)不是古典概型，因為硬幣不均勻?qū)е隆罢娉稀迸c“反面朝上”的概率不相等，與古典概型定義中“每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同”矛盾. (3)是古典概型，因為在試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，而且每個整數(shù)被抽到的可能性相等. 反思感悟 古典概型需滿足兩個條件 (1)樣本點總數(shù)有限. (2)各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等. 跟蹤訓(xùn)練 1 下列問題中

4、是古典概型的是( ) a.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率 b.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求擲出 1點的概率 c.在區(qū)間1,4上任取一數(shù)，求這個數(shù)大于 1.5 的概率 d.同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點數(shù)之和是 5的概率 答案 d 解析 a，b 兩項中的樣本點的出現(xiàn)不是等可能的；c 項中樣本點的個數(shù)是無限多個；d 項中樣本點的出現(xiàn)是等可能的，且是有限個.故選 d. 3 / 13 二、古典概型概率的計算 例 2 一個口袋內(nèi)裝有大小相等的 1 個白球和已編有不同號碼的 3 個黑球，從中摸出 2 個球.求： (1)樣本空間的樣本點的總數(shù) n； (2)事件“摸出 2個黑球”包含的樣本點的個數(shù)

5、； (3)摸出 2 個黑球的概率. 解 由于 4 個球的大小相等，摸出每個球的可能性是均等的，所以是古典概型. (1)將黑球編號為黑1，黑2，黑3，從裝有 4 個球的口袋內(nèi)摸出 2 個球， 樣本空間 (黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，其中共有 6 個樣本點. (2)事件“摸出 2個黑球”(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)，共 3個樣本點. (3)樣本點總數(shù) n6，事件“摸出兩個黑球”包含的樣本點個數(shù) m3，故 p3612，即摸出 2個黑球的概率為12. 反思感悟 求古典概型概率的步驟 (1)確定樣本空間的樣本點的總數(shù) n. (

6、2)確定所求事件 a包含的樣本點的個數(shù) m. (3)p(a)mn. 跟蹤訓(xùn)練 2 為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫 4 種顏色的花中任選 2 種花種在一個花壇中，余下的 2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是_. 答案 23 解析 從 4 種顏色的花中任選 2 種顏色的花種在一個花壇中，余下 2 種顏色的花種在另一花壇的種數(shù)有：紅黃白紫、紅白黃紫、紅紫白黃、黃白紅紫、黃紫紅白、白紫紅黃，共 6 種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有紅黃白紫、紅白黃紫、4 / 13 黃紫紅白、白紫紅黃，共 4 種，故所求概率為 p4623. 三、較復(fù)雜的古典概型的概率計算 例 3 先后拋擲

7、兩枚質(zhì)地均勻的骰子. (1)求點數(shù)之和為 7 的概率； (2)求擲出兩個 4點的概率； (3)求點數(shù)之和能被 3整除的概率. 解 如圖所示，從圖中容易看出樣本點與所描點一一對應(yīng)，共 36 種. (1)記“點數(shù)之和為 7”為事件 a，從圖中可以看出，事件 a 包含的樣本點共有 6 個：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6). 故 p(a)63616. (2)記“擲出兩個 4 點”為事件 b，從圖中可以看出，事件 b 包含的樣本點只有 1 個，即(4,4). 故 p(b)136. (3)記“點數(shù)之和能被 3 整除”為事件 c，則事件 c 包含的樣本點共 12 個：(

8、1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6). 故 p(c)123613. 反思感悟 在求概率時，若事件可以表示成有序數(shù)對的形式，則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示，即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數(shù).故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，更方便. 5 / 13 跟蹤訓(xùn)練 3 某旅游愛好者計劃從 3 個亞洲國家 a1，a2，a3和 3 個歐洲國家 b1，b2，b3中選擇 2 個國家去旅游. (1)若從這 6個國家中任選 2 個，求這 2 個國家都是亞洲國家的概率

9、； (2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選 1個，求這 2個國家包括 a1但不包括 b1的概率. 解 (1)由題意知，從 6 個國家中任選 2 個國家，其一切可能的結(jié)果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共 15個. 所選 2 個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共 3個， 則所求事件的概率為 p31515. (2)從亞洲國家和歐洲國家中各

10、任選 1 個，其一切可能的結(jié)果有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，共 9 個. 包括 a1但不包括 b1的事件所包含的基本事件有 (a1，b2)，(a1，b3)，共 2個， 則所求事件的概率為 p29. 1.下列不是古典概型的是( ) a.從 6名同學(xué)中，選出 4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小 b.同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)和為 7的概率 c.近三天中有一天降雨的概率 d.10 個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率 答案 c 6 / 13 解析 a，b，d 為古典概型，因為

11、都適合古典概型的兩個特征：有限性和等可能性，而 c不滿足等可能性，故不為古典概型. 2.甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是( ) a.16 b.12 c.13 d.23 答案 c 解析 樣本點有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六個.甲站在中間的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共 2 個，所以甲站在中間的概率 p2613. 3.已知 5 件產(chǎn)品中有 2 件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這 5 件產(chǎn)品中任取 2 件，恰有一件次品的概率為( ) a.0.4 b.0.6 c.0.8 d.1 答案 b 解析 記 3 件合格品分別為 a1，a2，a3,2 件次品分別為 b1，b2，從 5

12、 件產(chǎn)品中任取 2 件，有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共 10種可能，其中恰有一件次品有 6 種可能，由古典概型得所求事件概率為6100.6. 4.用 1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這些數(shù)能被 2整除的概率是( ) a.16 b.12 c.13 d.23 答案 c 解析 用 1,2,3 組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共 6 個，分別為 123,132,213,231,312,321，其中能被 2 整除的有 132,312這 2個數(shù)，故能被 2整除的概率為13. 5.

13、從 1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，則其和為 5 的概率是_. 7 / 13 答案 0.2 解析 兩數(shù)之和等于 5 有兩種情況(1,4)和(2,3)，總的樣本點有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10種，所以 p2100.2. 1.知識清單： (1)古典概型. (2)古典概型的概率公式. 2.方法歸納：常用列舉法(列表法、樹狀圖)求樣本點的總數(shù). 3.常見誤區(qū)：列舉樣本點的個數(shù)時，要按照一定順序，做到不重、不漏. 1.下列是古典概型的是( ) a.任意拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為樣本點 b.

14、求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是 1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點 c.在甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項目，求甲被選中的概率 d.拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止，拋擲的次數(shù)作為樣本點 答案 c 解析 a 項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故 a 不是；b 項中的樣本點的個數(shù)是無限的，故 b 不是；c 項中滿足古典概型的有限性和等可能性，故 c 是古典概型；d 項中樣本點既不是有限個也不具有等可能性，故 d 不是. 2.4 張卡片上分別寫有數(shù)字 1,2,3,4，從這 4 張卡片中隨機抽取 2 張，則取出的 2 張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為( ) 8 / 1

15、3 a.13 b.12 c.23 d.34 答案 c 解析 試驗的樣本空間 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，數(shù)字之和為奇數(shù)的有 4 個樣本點，所以所求概率為23. 3.從 1,2,3,4 中任取 2個不同的數(shù)，則取出的 2 個數(shù)之差的絕對值為 2的概率是( ) a.12 b.13 c.14 d.16 答案 b 解析 樣本點的總數(shù)為 6， 構(gòu)成“取出的 2 個數(shù)之差的絕對值為 2”這個事件的樣本點的個數(shù)為 2， 所以所求概率 p2613，故選 b. 4.小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是

16、 m，i，n 中的一個字母，第二位是 1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是( ) a.815 b.18 c.115 d.130 答案 c 解析 (m,1)，(m,2)，(m,3)，(m,4)，(m,5)，(i,1)，(i,2)，(i,3)，(i,4)，(i,5)，(n,1)，(n,2)，(n,3)，(n,4)，(n,5)，基本事件總數(shù)為 15. 正確的開機密碼只有 1種，p115. 5.從1,2,3,4,5中隨機選取一個數(shù)為 a，從1,2,3中隨機選取一個數(shù)為 b，則 ba 的概率是( ) a.45 b.35 c.25 d.15 答案 d 解析 設(shè)“所取的數(shù)中

17、 ba”為事件 a，如果把選出的數(shù) a，b 寫成數(shù)對(a，b)的形式，則9 / 13 樣本空間 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共 15個，事件 a 包含的樣本點有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共 3 個，因此所求的概率 p(a)31515. 6.從三男三女共 6 名學(xué)生中任選 2 名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則 2 名都是女同學(xué)的概率為_. 答案 15 解析 用 a，b，c 分別表示三名男同學(xué)，用 a，b，c 分別表示三名女同學(xué)，則從

18、 6 名同學(xué)中選出 2 人的所有選法為 ab，ac，aa，ab，ac，bc，ba，bb，bc，ca，cb，cc，ab，ac，bc，共 15種.其中 2 名都是女同學(xué)包括 ab，ac，bc，共 3 種.故所求的概率為31515. 7.在 1,2,3,4 四個數(shù)中，可重復(fù)地選取兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的 2 倍的概率是_. 答案 14 解析 用列舉法知，可重復(fù)地選取兩個數(shù)共有 16 種可能，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的 2 倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共 4種，故所求的概率為41614. 8.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個，其中標號為 0 的小球 1 個，標號為 1的小

19、球 1個，標號為 2 的小球 n 個.已知從袋子中隨機抽取 1 個小球，取到標號是 2 的小球的概率是12，則 n 的值為_. 答案 2 解析 由題意可知n11n12，解得 n2. 9.某學(xué)校有初級教師 21 人，中級教師 14 人，高級教師 7 人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從這些教師中抽取 6 人對績效工資情況進行調(diào)查. (1)求應(yīng)從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)； (2)若從分層隨機抽樣抽取的 6 名教師中隨機抽取 2 名教師做進一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的 2名教師均為初級教師的概率. 10 / 13 解 (1)共抽取 6 人，又 21147321，所以應(yīng)從初級教師、中級教師、高

20、級教師中抽取的人數(shù)分別為 3，2,1. (2)在分層隨機抽樣抽取的 6 名教師中，3 名初級教師分別記為 a1，a2，a3,2 名中級教師分別記為 a4，a5，高級教師記為 a6，則從中抽取 2 名教師的樣本空間為 (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a5，a6)，即樣本點的總數(shù)為 15.抽取的 2名教師均為初級教師(記為事件 b)包含的樣本點為(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共 3 個.

21、所以 p(b)31515. 10.某小組共有 a，b，c，d，e 五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(單位：千克/米2)如下表所示： a b c d e 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 體重指標 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)從該小組身高低于 1.80 米的同學(xué)中任選 2 人，求選到的 2 人身高都在 1.78 米以下的概率； (2)從該小組同學(xué)中任選 2 人，求選到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且體重指標都在18.5,23.9)中的概率. 解 (1)由題意知，從該小組身高低于 1.80 米的同學(xué)中任選 2 人這一試驗 e1的樣

22、本空間 1ab，ac，ad，bc，bd，cd，共 6 個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，故屬于古典概型.設(shè)事件 m 表示“選到的 2 人身高都在 1.78 米以下”，則 mab，ac，bc，共含有 3 個樣本點， 所以 p(m)3612. (2)從該小組同學(xué)中任選 2 人，這一試驗 e2的樣本空間 2ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 10 個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.設(shè)事件 n 表示“選到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且體重指標都在18.5,23.9)中”，則 ncd，ce，de，共含有 3 個樣本點，所以 p(n)310. 11 / 1

23、3 11.如果 3 個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這 3 個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取 3個不同的數(shù)，則這 3 個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為( ) a.110 b.15 c.310 d.120 答案 a 解析 從 1,2,3,4,5 中任取 3 個不同的數(shù)的樣本空間 (1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 10 個，其中勾股數(shù)有(3,4,5)，所以概率為110. 12.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數(shù) 1,2,3,4,5

24、,6)，骰子朝上的面的點數(shù)分別為 x，y，則 log2xy1的概率為( ) a.16 b.536 c.112 d.12 答案 c 解析 所有樣本點的個數(shù)為 36.由 log2xy1 得 2xy，其中 x，y1,2,3,4,5,6，所以 x1，y2或 x2，y4或 x3，y6滿足 log2xy1，故事件“l(fā)og2xy1”包含 3 個樣本點，所以所求的概率為 p336112. 13.一次擲兩枚均勻的骰子，得到的點數(shù)為 m 和 n，則關(guān)于 x 的方程 x2(mn)x40 無實數(shù)根的概率是_. 答案 112 解析 總的樣本點個數(shù)為 36.因為方程無實根，所以 (mn)2160.即 mn4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共 3個樣本點. 所以所求概率為336112. 14.從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都被選中的概率為_. 12 / 13 答案 310 解析 從五個人中選取三人，則試驗的樣本空間 (甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共 10 個樣本點，甲、乙都被選中的結(jié)果有 3 種，故所求的概率為310. 15.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲