高中數(shù)學選修一3.1綜合拔高練

1、1 / 25 3.1 綜合拔高練 五年高考練 考點 1 橢圓的定義及其標準方程 1.(2019 課標全國,10,5分,)已知橢圓 c 的焦點為 f1(-1,0),f2(1,0),過 f2的直線與 c 交于 a,b 兩點.若|af2|=2|f2b|,|ab|=|bf1|,則 c 的方程為( ) a.22+y2=1 b.23+22=1 c.24+23=1 d.25+24=1 2.(2019 課標全國,15,5分,)設(shè) f1,f2為橢圓 c:236+220=1 的兩個焦點,m 為 c 上一點且在第一象限.若mf1f2為等腰三角形,則 m 的坐標為 . 3.(2019 浙江,15,4 分,)已知橢圓2

2、9+25=1 的左焦點為 f,點 p 在橢圓上且在 x 軸的上方.若線段 pf 的中點在以原點 o 為圓心,|of|為半徑的圓上,則直線 pf 的斜率是 .深度解析 考點 2 橢圓的幾何性質(zhì) 4.(2019 北京,4,5 分,)已知橢圓22+22=1(ab0)的離心率為12,則( ) a.a2=2b2 b.3a2=4b2 c.a=2b d.3a=4b 2 / 25 5.(2017 課標全國,10,5分,)已知橢圓 c:22+22=1(ab0)的左、右頂點分別為a1,a2,且以線段 a1a2為直徑的圓與直線 bx-ay+2ab=0 相切,則 c 的離心率為( ) a.63 b.33 c.23 d

3、.13 6.(2018 浙江,17,4 分,)已知點 p(0,1),橢圓24+y2=m(m1)上兩點 a,b 滿足 =2 ,則當 m= 時,點 b 橫坐標的絕對值最大. 考點 3 直線與橢圓的位置關(guān)系 7.(2018 課標全國,12,5分,)已知 f1,f2是橢圓 c:22+22=1(ab0)的左、右焦點,a 是 c 的左頂點,點 p 在過 a 且斜率為36的直線上,pf1f2為等腰三角形,f1f2p=120,則 c 的離心率為( ) a.23 b.12 c.13 d.14 8.(2019 天津,18,13 分,)設(shè)橢圓22+22=1(ab0)的左焦點為 f,上頂點為 b.已知橢圓的短軸長為

4、4,離心率為55. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)點 p 在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點 m 為直線 pb 與 x 軸的交點,點 n在 y 軸的負半軸上.若|on|=|of|(o 為原點),且 opmn,求直線 pb 的斜率. 3 / 25 9.(2019 課標全國,21,12 分,)已知點 a(-2,0),b(2,0),動點 m(x,y)滿足直線am 與 bm 的斜率之積為-12.記 m 的軌跡為曲線 c. (1)求 c 的方程,并說明 c 是什么曲線; (2)過坐標原點的直線交 c 于 p,q 兩點,點 p 在第一象限,pex 軸,垂足為 e,連接qe 并延長交 c 于點 g. (i

5、)證明:pqg 是直角三角形; (ii)求pqg 面積的最大值. 4 / 25 5 / 25 三年模擬練 應用實踐 1.(2020 北京西城高二上期末,)已知橢圓 c:22+24=1(a0)的一個焦點為(2,0),則 a 的值為( ) a.22 b.6 c.6 d.8 2.(2020 山東煙臺高二上期末,)已知橢圓 m:22+22=1(ab0),過 m 的右焦點f(3,0)作直線交橢圓于 a,b 兩點,若 ab 的中點坐標為(2,1),則橢圓 m 的方程為( ) a.29+26=1 b.24+y2=1 c.212+23=1 d.218+29=1 3.(2020 天津耀華中學高二上期末,)已知橢

6、圓 c:22+22=1(ab0)的左、右焦點分別為 f1,f2,如果 c 上存在一點 q,使f1qf2=120,則橢圓的離心率 e 的取值范圍為( ) a.(0,12 b.12,1) c.(0,32 d.32,1) 4.(2020 安徽合肥高二上期末,)已知點 o 為坐標原點,點 f 是橢圓c:22+22=1(ab0)的左焦點,點 a(-2,0),b(2,0)分別為 c 的左、右頂點,點 p 為橢6 / 25 圓 c 上一點,且 pfx 軸,過點 a 的直線 l 交線段 pf 于點 m,與 y 軸交于點 e.若直線 bm 經(jīng)過 oe 上靠近 o 點的三等分點,則|pf|=( ) a.4 b.3

7、2 c.2 d.3 5.(2020 四川成都高二上期末,)設(shè)橢圓 c:249+22=1(0bb0)的焦點為 f1(-1,0),f2(1,0).過 f2作 x 軸的垂線 l,在 x 軸的上方,l 與圓 f2:(x-1)2+y2=4a2交于點a,與橢圓 c 交于點 d.連接 af1并延長交圓 f2于點 b,連接 bf2交橢圓 c 于點 e,連接df1.已知 df1=52. (1)求橢圓 c 的標準方程; (2)求點 e 的坐標. 8 / 25 9 / 25 11.(2020 福建三明高二上普通高中期末,)阿基米德(公元前 287 年公元前212 年)不僅是著名的物理學家,也是著名的數(shù)學家,他利用“

8、逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率 等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知平面直角坐標系oxy 中,橢圓 c:22+22=1(ab0)的面積為 23,兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等邊三角形. (1)求橢圓 c 的標準方程; (2)過點 p(1,0)的直線 l 與 c 交于不同的兩點 a,b,求oab 面積的最大值. 10 / 25 遷移創(chuàng)新 12.()如圖,已知橢圓22+22=1(ab0)過點(1,22),離心率為22,左、右焦點分別為f1、f2.點 p 為直線 l:x+y=2 上且不在 x 軸上的任意一點,直線 pf1和 pf2與橢圓的交點分別為 a、b 和 c、d,o 為坐標原點. (1)求

9、橢圓的標準方程; (2)設(shè)直線 pf1、pf2的斜率分別為 k1、k2. 證明:11-32=2; 問直線 l 上是否存在點 p,使得直線 oa、ob、oc、od 的斜率 koa、kob、koc、kod滿足 koa+kob+koc+kod=0?若存在,求出所有滿足條件的點 p 的坐標;若不存在,說明理由. 11 / 25 12 / 25 答案全解全析答案全解全析 五年高考練 1.b 設(shè)|f2b|=x(x0),則|af2|=2x,|ab|=3x,|bf1|=3x,|af1|=4a-(|ab|+|bf1|)=4a-6x, 由橢圓的定義知|bf1|+|bf2|=2a=4x, 所以|af1|=2x. 在

10、bf1f2中,由余弦定理得|bf1|2=|f2b|2+|f1f2|2-2|f2b|f1f2|cosbf2f1, 即 9x2=x2+22-4xcosbf2f1, 在af1f2中,由余弦定理得|af1|2=|af2|2+|f1f2|2-2|af2|f1f2|cosaf2f1, 即 4x2=4x2+22-8xcosaf2f1, 由,得 x=32, 所以 2a=4x=23,a=3, 所以 b2=a2-c2=2. 故橢圓的方程為23+22=1.故選 b. 2.答案 (3,15) 解析 不妨設(shè) f1,f2分別是橢圓 c 的左、右焦點,由 m 點在第一象限,mf1f2是等腰三角形,知|f1m|=|f1f2|

11、,又由橢圓方程236+220=1,知|f1f2|=8,|f1m|+|f2m|=26=12, 13 / 25 所以|f1m|=|f1f2|=8,|f2m|=4. 設(shè) m(x0,y0)(x00,y00), 則(0+ 4)2+ 02= 64,(0-4)2+ 02= 16, 解得 x0=3,y0=15,即 m(3,15). 3.答案 15 解析 如圖,記橢圓的右焦點為 f,取 pf 中點 m, 由題知 a=3,b=5,c=2, 連接 om,pf,則|om|=|of|=2, 又m為 pf 的中點, |pf|=2|om|,pfom,|pf|=4, 又p在橢圓上,|pf|+|pf|=6, |pf|=2, 在

12、pff中,|pf|=|ff|=4,|pf|=2, 連接 fm,fm=1,則 fmpf, |fm|=|2-|fm|2=16-1=15, kpf=tanpff=|=15, 即直線 pf 的斜率為15. 14 / 25 解后反思 試題中只出現(xiàn)了橢圓的一個焦點,需要作出另一個焦點.將橢圓定義作為隱含條件直接應用是求解本題的突破口;由條件中的中點 m 聯(lián)想到利用三角形中位線的性質(zhì)求出 pf的長度是解決本題的關(guān)鍵. 4.b 由題意知2-22=e2=14, 整理,得 3a2=4b2,故選 b. 5.a 以線段 a1a2為直徑的圓的方程為 x2+y2=a2,該圓與直線 bx-ay+2ab=0 相切,|0-0+

13、2|2+(-a)2=a,即 2b=2+ 2,a2=3b2,a2=b2+c2,22=23, e=63. 6.答案 5 解析 設(shè) b(t,u),由 =2 ,易得 a(-2t,3-2u). 點 a,b 都在橢圓上, 24+ 2= m,424+ (3-2u)2= m, 從而有324+3u2-12u+9=0,即24+u2=4u-3. 4u-3=mu=+34, 24+(+3)216=m, t2=-14m2+52m-94=-14(m-5)2+4. 當 m=5 時,(t2)max=4,即|t|max=2, 故當 m=5 時,點 b 橫坐標的絕對值最大. 7.d 由題意可得直線 ap 的方程為 y=36(x+a

14、), 直線 pf2的方程為 y=3(x-c). 15 / 25 聯(lián)立,得 y=35(a+c), 如圖,過 p 向 x 軸引垂線,垂足為 h,則 ph=35(a+c). 因為pf2h=60,pf2=f1f2=2c,ph=35(a+c), 所以 sin 60=2=35(a+c)2=32, 即 a+c=5c,即 a=4c, 所以 e=14.故選 d. 8.解析 (1)設(shè)橢圓的半焦距為 c,依題意,得 2b=4,=55, 又 a2=b2+c2, 所以 a=5,b=2,c=1. 所以橢圓的方程為25+24=1. (2)由題意,設(shè) p(xp,yp)(xp0),m(xm,0).設(shè)直線 pb 的斜率為 k(k

15、0),又 b(0,2),則直線 pb 的方程為 y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立,得 = + 2,25+24= 1,整理,得(4+5k2)x2+20kx=0,可得 xp=-204+52,代入 y=kx+2,得 yp=8-1024+52,進而直線 op 的斜率=4-52-10.在 y=kx+2 中,令 y=0,得 xm=-2.由題意得 n(0,-1),所以直線 mn 的斜率為-2.由 opmn,得4-52-10(-2)=-1,化簡,得 k2=245,從而 k=2305. 所以直線 pb 的斜率為2305或-2305. 16 / 25 9.解析 (1)由題設(shè)得+2-2=-12,化簡,得24+22=1(

16、|x|2),所以 c 為中心在坐標原點,焦點在 x 軸上的橢圓,不含左、右頂點. (2)(i)證明:設(shè)直線 pq 的斜率為 k,則其方程為 y=kx(k0). 由 = ,24+22= 1得 x=21+22. 記 u=21+22,則 p(u,uk),q(-u,-uk),e(u,0). 于是直線 qg 的斜率為2,方程為 y=2(x-u). 由 =2(x-u),24+22= 1得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0. 設(shè) g(xg,yg),則-u 和 xg是方程的解,故 xg=(32+2)2+2,由此得 yg=32+2. 從而直線 pg 的斜率為32+2-uk(32+2)2+2-u=-1

17、. 所以 pqpg,即pqg 是直角三角形. (ii)由(i)得|pq|=2u1 + 2,|pg|=22+12+2, 所以pqg 的面積 s=12|pq|pg|=8(1+2)(1+22)(2+2)=8(1+k)1+2(1+k)2. 設(shè) t=k+1,則由 k0 得 t2,當且僅當 k=1 時取等號. 因為 s=81+22在2,+)上單調(diào)遞減,所以當 t=2,即 k=1 時,s 取得最大值,最大值為169. 因此pqg 面積的最大值為169. 17 / 25 三年模擬練 1.a 由橢圓的焦點為(2,0)知,a2,因此,a2=4+22=8,從而 a=22,故選 a. 2.d 設(shè) a(x1,y1),b

18、(x2,y2),則122+122= 1,222+222= 1b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0. 又 x1+x2=4,y1+y2=2,1-21-2=1-02-3=-1, 4b2-2a2=0,即 a2=2b2. 又 c2=9,b2+9=2b2,解得 b2=9,從而 a2=18. 橢圓 m 的方程為218+29=1,故選 d. 3.d 設(shè)橢圓的上頂點為 b2(0,b). 如圖所示,f1qf2f1b2f2. 依題意得,f1b2f2120, ob2f260,因此=tanob2f23,即 c23b2=3a2-3c2, 2234,從而 e32, 又 0e1,32e1,故

19、選 d. 4.b 由題意知,a=2,因為 pfx 軸,所以設(shè) m(-c,t),作出圖形如圖, 18 / 25 則直線 am 的方程為 y-0=2-(x+2), 令 x=0,得 y=22-, 所以直線 am 與 y 軸的交點 e 的坐標為(0,22-), 又直線 bm 的方程為 y-0=-2+(x-2), 令 x=0,得 y=22+, 所以直線 bm 與 y 軸的交點 n 的坐標為(0,22+), 由題意知,點 n 為線段 oe 上靠近 o 的一個三等分點, 所以 322+=22-,解得 c=1, 在橢圓中,b2=a2-c2=4-1=3,所以|pf|=2=32.故選 b. 5.d 橢圓249+2

20、2=1(0b0), 由橢圓的定義可得|nf2|=14-|nf1|=14-3t,|mf2|+|mf1|=14, 即有 2c+4t=14,即 c+2t=7, 取 mf1的中點 k,連接 kf2,則 kf2mn, 由勾股定理可得|mf2|2-|mk|2=|nf2|2-|nk|2, 19 / 25 即(2c)2-(2t)2=(14-3t)2-(5t)2. 由,解得 = 1, = 5或 = 7, = 0(舍去), 又 c2=a2-b2, b2=72-52=24,b=26,2b=46,故選 d. 6.bc 易知 f1(-4,0),f2(4,0)分別為橢圓225+29=1 的兩個焦點,e1(0,-4),e2

21、(0,4)分別為橢圓225+29=1 的兩個焦點.若點 p 僅在橢圓 225+29=1 上,則 p 到 f1(-4,0)、f2(4,0)兩點的距離之和為定值,到 e1(0,-4)、e2(0,4)兩點的距離之和不為定值,故 a 錯誤;兩個橢圓關(guān)于直線 y=x、y=-x 均對稱,則曲線 c 關(guān)于直線 y=x、y=-x 均對稱,故 b正確;曲線 c 所圍區(qū)域在邊長為 6 的正方形內(nèi)部,所以面積必小于 36,故 c 正確;曲線 c 所圍區(qū)域在半徑為 3 的圓外部,所以曲線的總長度大于圓的周長 6,故 d 錯誤.故選 bc. 7.答案 60 解析 p是橢圓216+29=1 上一點,f1,f2分別是橢圓的

22、左、右焦點, |pf1|+|pf2|=8,|f1f2|=27. |pf1|pf2|=12,|pf1|=2,|pf2|=6 或|pf1|=6,|pf2|=2. 在f1pf2中,由余弦定理可知 cosf1pf2=4+36-28226=12,所以f1pf2=60. 8.答案 239 解析 由 pf1的中點在 y 軸上知 pf2x 軸. a2=16,b2=9,c2=7. 不妨設(shè) p(7,y0)(y00),則716+029=1, 20 / 25 解得02=8116.從而|pf2|=94, 又|pf1|+|pf2|=8,|pf1|=8-94=234. |1|2|=23494=239. 9.解析 (1)依題

23、意,設(shè)橢圓 c 的方程為22+22=1(ab0), b=1,半焦距 c=3,a2=b2+c2=4, 橢圓 c 的方程為24+y2=1. (2)證明:依題意,設(shè) m(n,m),n(-n,m), d(x1,y1), 則24+m2=1,n2=4(1-m2). 由 a,n,d 三點共線,得 kan=kad,即 -1-=1-11,-1=1-11, 由 kbdkbm=-14,得1+11+1=-14, +1=-1411+1. 由,得2-12=-1411+11-11=1-14(1+1). 將代入,得1-11+1=-1,解得 y1=0, 故點 d 在 x 軸上. 10.解析 (1)設(shè)橢圓 c 的焦距為 2c.

24、因為 f1(-1,0),f2(1,0), 所以 f1f2=2,c=1. 21 / 25 又因為 df1=52,af2x 軸,所以 df2=12-122=(52)2-22=32. 因此 2a=df1+df2=4,從而 a=2. 由 b2=a2-c2,得 b2=3. 因此橢圓 c 的標準方程為24+23=1. (2)解法一:由(1)知,橢圓 c:24+23=1,a=2. 因為 af2x 軸,所以點 a 的橫坐標為 1. 將 x=1 代入圓 f2的方程(x-1)2+y2=16,解得 y=4. 因為點 a 在 x 軸上方,所以 a(1,4). 又 f1(-1,0),所以直線 af1:y=2x+2. 由

25、 = 2 + 2,(-1)2+ 2= 16,得 5x2+6x-11=0, 解得 x=1 或 x=-115. 將 x=-115代入 y=2x+2,得 y=-125. 因此 b(-115,-125). 又 f2(1,0),所以直線 bf2:y=34(x-1). 由 =34(x-1),24+23= 1,得 7x2-6x-13=0,解得 x=-1 或 x=137. 又因為 e 是線段 bf2與橢圓的交點, 所以 x=-1. 將 x=-1 代入 y=34(x-1),得 y=-32. 22 / 25 因此 e(-1,-32). 解法二:由(1)知,橢圓 c:24+23=1. 如圖,連接 ef1. 因為 b

26、f2=2a,ef1+ef2=2a, 所以 ef1=eb, 從而bf1e=b. 因為 f2a=f2b,所以a=b. 所以a=bf1e,從而 ef1f2a. 因為 af2x 軸,所以 ef1x 軸. 因為 f1(-1,0),由 = -1,24+23= 1, 解得 y=32. 又因為 e 是線段 bf2與橢圓的交點, 所以 y=-32. 因此 e(-1,-32). 11.解析 (1)依題意得 = 23, = 2,2= 2+ 2, 23 / 25 解得 = 2, = 3, = 1, 所以橢圓 c 的標準方程是24+23=1. (2)由題意得,直線 l 的斜率不能為 0,設(shè)直線 l 的方程為 x=my+

27、1, 由方程組 = + 1,24+23= 1,得(3m2+4)y2+6my-9=0, 設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2), 所以 y1+y2=-632+4,y1y2=-932+4, 所以|y1-y2|=(1+ 2)2-412=122+132+4, 所以 soab=12|op|y1-y2|=62+132+4, 令 t=2+ 1(t1),則 m2=t2-1, soab=632+1=63+1, 因為 y=3t+1在1,+)上單調(diào)遞增, 所以當 t=1,即 m=0 時,oab 的面積取得最大值32. 12.解析 (1)因為橢圓過點(1,22),離心率 e=22,所以12+122=1,=22. 又 a2=b2+c2,所以 a=2,b=1,c=1. 故所求橢圓的標準方程為22+y2=1. (2)證明:證法一:由于 f1(-1,0)、f2(1,0),直線