高考大題專項練六　高考中的概率與統(tǒng)計

1、1 / 6 高考大題專項練六高考大題專項練六 高考中的概率與統(tǒng)計高考中的概率與統(tǒng)計 高考大題專項練第高考大題專項練第 12 頁頁 一一、非選擇題、非選擇題 1.(2020 山東,19)為加強環(huán)境保護,治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研,隨機抽查了 100天空氣中的 pm2.5 和 so2濃度(單位:g/m3),得下表: pm2.5 so2 0,50 (50,150 (150,475 0,35 32 18 4 (35,75 6 8 12 (75,115 3 7 10 (1)估計事件“該市一天空氣中 pm2.5濃度不超過 75,且 so2濃度不超過 150”的概率; (2)根據所給數(shù)

2、據,完成下面的 22列聯(lián)表: pm2.5 so2 0,150 (150,475 0,75 (75,115 (3)根據(2)中的列聯(lián)表,判斷能否在犯錯誤的概率不超過 0.01的前提下認為該市一天空氣中 pm2.5濃度與 so2濃度有關? 附:k2=(-)2(+)(+)(+)(+), p(k2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解:(1)根據抽查數(shù)據,該市 100天空氣中 pm2.5濃度不超過 75,且 so2濃度不超過 150的天數(shù)為 32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中 pm2.5濃度不超過 75,且 so2濃度不超過150 的概率的估

3、計值為64100=0.64. (2)根據抽查數(shù)據,可得 22列聯(lián)表: pm2.5 so2 0,150 (150,475 0,75 64 16 (75,115 10 10 (3)根據(2)的列聯(lián)表得 k2的觀測值 k=100(6410-1610)2802074267.484. 由于 7.4846.635,故在犯錯誤的概率不超過 0.01的前提下認為該市一天空氣中 pm2.5濃度與 so2濃度有關. 2.(2020 全國,理 18)某沙漠地區(qū)經過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數(shù)量有所增加,為調查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量,將其分成面積相近的 200個地塊,從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取

4、20個作為樣區(qū),調查得到樣本數(shù)據(xi,yi)(i=1,2,20),其中2 / 6 xi和 yi分別表示第 i 個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動物的數(shù)量,并計算得 =120 xi=60, i=120yi=1 200, =120(xi-)2=80,=120(yi-)2=9 000, =120(xi-)(yi-)=800. (1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)); (2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,20)的相關系數(shù)(精確到 0.01); (3)根據現(xiàn)有統(tǒng)計資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性

5、以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計,請給出一種你認為更合理的抽樣方法.并說明理由. 附:相關系數(shù) r=1(-)(-) =1(-)2=1(-)2,21.414. 解:(1)由已知得樣本平均數(shù) =120=120yi=60, 從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為 60200=12 000. (2)樣本(xi,yi)(i=1,2,20)的相關系數(shù) r=i=120(-)(-) =120(-)2=120(-)2=800809 000=2230.94. (3)分層抽樣:根據植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對 200 個地塊進行分層抽樣. 理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強

6、的正相關.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計. 3.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為 24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人,進行睡眠時間的調查. (1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人? (2)若抽出的 7人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,現(xiàn)從這 7人中隨機抽取 3人做進一步的身體檢查. 用 x表示抽取的 3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量 x的分布列與數(shù)學期望; 設 a為事件“抽取

7、的 3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件 a發(fā)生的概率. 解:(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為 322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取 7人,因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取 3人、2人、2 人. (2)隨機變量 x的所有可能取值為 0,1,2,3. p(x=k)=c4c33-c73(k=0,1,2,3). 所以,隨機變量 x的分布列為 x 0 1 2 3 3 / 6 p 135 1235 1835 435 隨機變量 x的數(shù)學期望 e(x)=0135+11235+21835+3435=127. 設事件 b為“抽取的 3人中,睡眠充足的員工有 1人,

8、睡眠不足的員工有 2人”;事件 c為“抽取的 3人中,睡眠充足的員工有 2人,睡眠不足的員工有 1人”,則 a=bc,且 b與 c互斥.由知,p(b)=p(x=2),p(c)=p(x=1),故 p(a)=p(bc)=p(x=2)+p(x=1)=67. 所以,事件 a發(fā)生的概率為67. 4.為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多 4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更

9、有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得 0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 和 ,一輪試驗中甲藥的得分記為 x. (1)求 x的分布列; (2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予 4分,pi(i=0,1,8)表示“甲藥的累計得分為 i 時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則 p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=p(x=-1),b=p(x=0),c=p(x=1).假設

10、=0.5,=0.8. ()證明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)為等比數(shù)列; ()求 p4,并根據 p4的值解釋這種試驗方案的合理性. 解:(1)x的所有可能取值為-1,0,1. p(x=-1)=(1-), p(x=0)=+(1-)(1-), p(x=1)=(1-). 所以 x的分布列為 x -1 0 1 p (1-) +(1-)(1-) (1-) (2)()由(1)得 a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此 pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1, 故 0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1), 即 pi+1-pi=4(pi-pi-1). 又因為 p1-p0=p1

11、0, 所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)為公比為 4,首項為 p1的等比數(shù)列. ()由()可得 p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0 =(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0) 4 / 6 =48-13p1. 由于 p8=1,故 p1=348-1, 所以 p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13p1=1257. p4表示最終認為甲藥更有效的概率.由計算結果可以看出,在甲藥治愈率為 0.5,乙藥治愈率為 0.8 時,認為甲藥更有效的概率為 p4=12570.003 9,此時得出錯誤結論的概率非常小,說明這種試驗方案合理. 5.某公司為

12、確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費 x(單位:千元)對年銷售量 y(單位:t)和年利潤 z(單位:千元)的影響.對近 8 年的年宣傳費 xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. x y w i=18(xi-x)2 i=18(wi-w)2 i=18(xi-x)(yi-y) i=18(wi-w)(yi-y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi=, =18=18wi. (1)根據散點圖判斷,y=a+bx 與 y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量 y 關于年宣傳費 x 的回歸方程類型?(給出判斷即

13、可,不必說明理由) (2)根據(1)的判斷結果及表中數(shù)據,建立 y 關于 x 的回歸方程; (3)已知這種產品的年利潤 z 與 x,y 的關系為 z=0.2y-x.根據(2)的結果回答下列問題: 當年宣傳費 x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少? 當年宣傳費 x 為何值時,年利潤的預報值最大? 附:對于一組數(shù)據(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線 v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=1(-)(-)=1(-)2,= . 解:(1)由散點圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量 y 關于年宣傳費 x 的回歸方程類型. (2)令 w=,先建立 y 關于 w的線性回歸方

14、程. 因為=18(wi-w)(yi-y)i=18(-)2=108.81.6=68, 5 / 6 = w=563-686.8=100.6, 所以 y 關于 w的線性回歸方程為y=100.6+68w, 因此 y 關于 x 的回歸方程為=100.6+68. (3)由(2)知,當 x=49 時,年銷售量 y 的預報值=100.6+6849=576.6, 年利潤 z 的預報值=576.60.2-49=66.32. 根據(2)的結果知,年利潤 z 的預報值 =0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12. 所以當 =13.62=6.8,即 x=46.24時,取得最大值. 故當年宣傳費為 46

15、.24千元時,年利潤的預報值最大. 6.為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取 16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布 n(,2). (1)假設生產狀態(tài)正常,記 x表示一天內抽取的 16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求 p(x1)及 x的數(shù)學期望; (2)一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查. ()試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性; ()下面是檢驗員在一天內抽取的 16

16、個零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經計算得 =116=116xi=9.97,s=116i=116(-)2= 116( =1162-162)0.212,其中 xi為抽取的第 i 個零件的尺寸,i=1,2,16. 用樣本平均數(shù)作為 的估計值,用樣本標準差 s 作為 的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查?剔除(-3,+3)之外的數(shù)據,用剩下的數(shù)據估計 和(精確到 0.01). 附:若隨機變量 z服從正態(tài)分布 n(,2), 則

17、p(-3z+3)0.997 3. 6 / 6 0.997 3160.957 7,0.0080.09. 解:(1)抽取的一個零件的尺寸在(-3,+3)之內的概率為 0.997 3,從而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率為 0.002 7, 故 xb(16,0.002 7). 因此 p(x1)=1-p(x=0)=1-0.997 3160.042 3. x的數(shù)學期望為 e(x)=160.002 7=0.043 2. (2)()如果生產狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有 0.002 7,一天內抽取的 16 個零件中,出現(xiàn)尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有 0.042 3,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的.