高考數(shù)學一輪復習1 第1講　相等關系與不等關系

1、1 / 15 第 1講 相等關系與不等關系 最新考綱 考向預測 1通過具體情境，感受生活中大量的不等關系，了解不等式(組)的實際背景 2理解不等式的概念，掌握不等式的性質 命題 趨勢 以考查不等式的性質為重點，同時考查不等關系，常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、實際問題等相結合進行綜合命題. 核心 素養(yǎng) 邏輯推理 1實數(shù)大小與運算性質之間的關系 ab0ab；ab0ab；ab0ac. (3)可加性：abacbc； ab，cdacbd. 2 / 15 (4)可乘性：ab，c0acbc； ab，c0acbn(nn，n1) (6)可開方性：ab0nanb(nn，n2) 常用結論 1倒數(shù)性質 (1)ab，ab0

2、1a1b； (2)a0b1ab0，dc0acbd. 2有關分數(shù)的性質 若 ab0，m0，則 (1)babmam(bm0)； (2)abambm；ab0) 常見誤區(qū) 1在不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號方向不變；同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變； 2求范圍亂用不等式的加法原理致錯 1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)兩個實數(shù) a，b 之間，有且只有 ab，ab，a1，則 ab.( ) 3 / 15 (3)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變( ) (4)一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小( ) (5)ab0，cd0adbc.( ) (6)若 ab0，則 ab1a1b.

3、( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2設 a，b0，)，a a b，b ab，則 a，b 的大小關系是( ) aab bab cab 解析：選 b.由題意得，b2a22 ab0，且 a0，b0，可得 ab. 3(易錯題)若 ab0，cd0 b.acbdbc d.adbc 解析：選 d.因為 cd0，所以 0dc， 又 0ba， 所以bdac， 又因為 cd0，所以bdcdaccd，即bcad. 4已知 1a4，2b8，則ab的取值范圍為_ 解析：因為 1a4，2b8， 又因為181b12， 所以18ab422，即18ab2. 答案：18，2 4 / 15 比較兩個數(shù)(

4、式)的大小 題組練透 1若 a0，b0，則 pb2aa2b與 qab的大小關系為( ) apq dpq 解析：選 b.(作差法)pqb2aa2bab b2a2aa2b2b(b2a2)1a1b （b2a2）（ba）ab（ba）2（ba）ab， 因為 a0，b0， 所以 ab0. 若 ab，則 pq0，故 pq； 若 ab，則 pq0，故 pb0，m0，則( ) a.babmam b.babmam c.bab0，m0. 5 / 15 所以 ba0， 所以m（ba）a（am）0. 即babmam0. 所以bab0，則 ac2bc2 b若 ababb2 c若 ab0 且 ccb2 d若 ab且1a1b

5、，則 ab0 【解析】 (1)a中，只有 b0時正確，故 a錯誤； b中，當 c0時，ab，故 b錯誤； c中，若 a3b3，ab0，則 a0b，所以1a1b，故 c正確； d中，當 a0，b0 時，1a1b不成立，故 d錯誤 綜上所述，故選 c. (2)當 c0 時，不等式不成立，所以 a 命題是假命題；ab，aab，ab，bb2，所以 a2abb2，所以 b 命題是真命題；ab0a2b2001a21b2，因為 ccb2，所以 c 命題是真命題；1a1b1a1b0baab0，因為 ab，所以 ba0，ab0b，則下列不等式一定成立的是( ) aa2ab b|a|1b d.12a12b 解析：

6、選 c.通解：當 a1，b1時，滿足 a0b，此時 a2ab，|a|b|，12a0b，所以 ba0，ab0，所以1a1b一定成立，故選 c. 優(yōu)解：因為 a0b，所以1a01b，所以1a1b一定成立故選 c. 2已知 abc 且 abc0，則下列不等式恒成立的是( ) aa2b2c2 ba|b|c|b| cbaca dcacb 解析：選 d.因為 abc 且 abc0，所以 a0，b的符號不確定，對于 ba，兩邊同時乘以正數(shù) c，不等號方向不變 不等式性質的應用 已知1x4，2y3，則 xy 的取值范圍是_，3x2y 的取值范圍是_ 【解析】 因為1x4，2y3， 所以3y2， 所以4xy2.

7、 由1x4，2y3，得33x12， 42y6， 所以 13x2y18. 8 / 15 【答案】 (4，2) (1，18) 【引申探究】 1(變條件)若將本例條件改為“1xy3”，求 xy 的取值范圍 解：因為1x3，1y3， 所以3y1，所以4xy4. 又因為 xy，所以 xy0， 所以4xy0， 故 xy 的取值范圍為(4，0) 2(變問法)若本例的條件不變，求 2x3y 的取值范圍 解：因為1x4，2y3. 所以22x8，93y6. 即112x3y2. 故 2x3y 的取值范圍為(11，2) 利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍 已知 m1f1(a，b)n1，m2f2(a，b)n2，求 g(a

8、，b)的取值范圍 (1)設 g(a，b)pf1(a，b)qf2(a，b)； (2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù) p，q； (3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得 g(a，b)的取值范圍 1若 6a10，a2b2a，cab，則 c 的取值范圍是( ) a9，18 b(15，30) c9，30 d(9，30) 9 / 15 解析：選 d.因為a2b2a，所以3a2ab3a，即3a2c3a，因為6a10，所以 9c30.故選 d. 2若22，則 的取值范圍是_ 解析：由22，22， 得bc，則 abc”說法不正確的一組整數(shù) a，b，c 的值依次為_ 解析：因為 abc，所以 ac，bc，則 ab2c.2

9、c 與 c 的大小關系不確定，當 c0時，2cc；當 c0 時，2cc；當 c0時，2cc 不一定正確 答案：1，2，3(答案不唯一) a級 基礎練 1若 f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，則 f(x)，g(x)的大小關系是( ) af(x)g(x) bf(x)g(x) cf(x)0f(x)g(x) 2已知 a，br，若 ab，1a0 bab0 dab0 解析：選 a.因為1a1b，所以1a1bbaabb，所以 ba0. 3若 a，br，且 a|b|，則( ) aab ca21b 解析：選 b.由 a|b|可知，當 b0 時，ab；當 bb，則 a0b.綜上可知，當 a|b|時，ab恒成

10、立，故選 b. 4已知 a，b，c 滿足 cba，且 acac bc(ba)0 ccb20 解析：選 a.由 cba 且 ac0，知 c0. 由 bc，得 abac 一定成立 5已知 a，b，c，d 為實數(shù)，則“ab 且 cd”是“acbdbcad”的( ) a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分也不必要條件 解析：選 a.因為 cd，所以 cd0. 又 ab，所以兩邊同時乘(cd)，得 a(cd)b(cd)，即 acbdbcad. 若 acbdbcad，則 a(cd)b(cd)， 也可能 ab且 cb且 cd”是“acbdbcad”的充分不必要條件 6(多選)若 a，b，

11、cr，給出下列命題中，正確的有( ) a若 ab，cd，則 acbd b若 ab，cd，則 bcad c若 ab，cd，則 acbd d若 ab，c0，則 acbc 解析：選 ad.因為 ab，cd，由不等式的同向可加性得 acbd，故 a正確；由 a 正確，可知 b 不正確；取 42，13，則 4(1)b，c0，所以 acbc.故 d正確綜上可知，只有 ad正確故選 ad. 7(多選)下列命題中，不正確的是( ) 12 / 15 a若 ab，cd，則 acbd b若 acbc，則 ab c若1a1b0，則|a|bb，cd，則 acbd 解析：選 abd.取 a2，b1，c1，d2，可知 a

12、錯誤；當 cbcab，所以 b 錯誤；由1a1b0，可知 baa0，故b|a|，即|a|ba0，cr，則下列不等式中正確的是( ) aa121bc c.a2b2ab dac2bc2 解析：選 abc.因為 yx12在(0，)上是增函數(shù)，所以 a121bc.因為a2b2ab2（ba）（b2）b0，所以a2b2ab.當 c0時，ac2bc2，所以 d不成立故選 abc. 9若 a1a2，b1b2，則 a1b1a2b2與 a1b2a2b1的大小關系是_ 解析：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2) (b1b2)， 因為 a1a2，b10， 即 a1b1a2b2a1b2a2b1.

13、 答案：a1b1a2b2a1b2a2b1 10若 13，42，則 |的取值范圍是_ 解析：因為42，所以 0|4，所以4|0.所以3|b，有下列不等式：ac2bc2；1a|b|；a|c|b|c|，其中一定成立的有_(填序號) 解析：對于，1c20，故成立； 對于，a0，baab，則實數(shù) b的取值范圍是_ 解析：因為 ab2aab，所以 a0， 當 a0時，b21b， 即b21，b1，解得 b1； 當 a0時，b21b，即b21無解 綜上可得 b1. 答案：(，1) b級 綜合練 13已知 2ab5，0ab1，某同學得出了如下結論： 1a3；1b2；12b52；4a2b0.其中正確的結論是( )

14、 a b c d 解析：選 d.因為 a12(ab)12(ab)，且 2ab5，0ab1，則 112(ab)52，012(ab)12，所以 1a3，正確；因為 b12(ab)12(ab)，且14 / 15 1212(ab)0，所以12b52，錯誤，正確；因為 a2b12(ab)32(ab)，且5212(ab)1，032(ab)32，所以52a2b12，錯誤 14(多選)(2021 浙江溫州七校期中測試)十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在礪智石一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“”符號，這種符號逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠若 a，b，cr，則下列命題正確的是( ) a若 ab0且 a1b b若 0a1，則 a3b0，則b1a1ba d若 cba 且 ac0，則 cb21b不成立，故 a 項錯誤對于 b項，若 0a1，則 a3aa(a21)0，所以 a3b0，則 a(b1)b(a1)ab0，所以 a(b1)b(a1)，所以b1a1ba，故 c 項正確對于 d 項，若 cba 且 ac0，c0.而 b 可能為 0，因此 cb2b，abb，ab，a，ab.若 mn2，pq2，則( ) amn4 且 pq4 bmn4 且 pq4 cmn4 且 pq4 15 / 15 dmn4且 pq4 解析：選 a.結合定義及 mn2 可得m2，mn