高考數(shù)學一輪復習作業(yè)60

1、1 / 9 題組層級快練題組層級快練(六十六十) 一、單項選擇題 1(2020 東北三省四市一模)已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，過 f 且傾斜角為120的直線與拋物線 c 交于 a，b 兩點，若 af，bf 的中點在 y 軸上的射影分別為 m，n，且|mn|4 3，則拋物線 c 的準線方程為( ) ax1 bx2 cx32 dx3 答案 d 解析 設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由拋物線 c 的焦點為p2，0 ，知 af，bf 的中點的縱坐標分別為y12，y22，則|mn|y22y1212|y2y1|4 3，所以|y2y1|8 3.由題意知直線 ab的方程為 y 3x

2、p2，與拋物線方程 y22px 聯(lián)立消去 x，得 y 3y22pp2，即3y22py 3p20，所以 y1y22p3，y1y2p2，于是由|y2y1|8 3，得(y2y1)24y1y2192，所以2p324p2192，解得 p6，p23，所以拋物線 c 的準線方程為 x3.故選 d. 2已知拋物線 c：x22py(p0)的焦點為 f，拋物線 c 的準線與 y 軸交于點 a，點 m(1，y0)在拋物線 c 上，|mf|5y04，則 tanfam( ) a.25 b.52 c.54 d.45 答案 d 解析 過點 m 向拋物線的準線作垂線，垂足為 n，則|mn|y0p25y04，故 y02p.又

3、m(1，y0)在拋物線上，故 y012p，于是 2p12p，解得 p12， 2 / 9 |mn|54，tanfamtanamn|an|mn|45.故選 d. 3(2021 山東省高三新高考測試卷)已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，點 ap4，a(a0)在 c 上，|af|3.若直線 af 與 c 交于另一點 b，則|ab|的值是( ) a12 b10 c9 d4.5 答案 c 解析 結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得p4p23，解得 p4，所以拋物線方程為 y28x，所以點 a的坐標為(1，2 2)，所以直線 ab 的方程為 y2 2(x2)，代入拋物線方程，計算 b 的坐標為(4，4 2)，

4、所以|ab|（x1x2）2（y1y2）29.故選 c. 4若拋物線 y4x2上一點到直線 y4x5 的距離最短，則該點的坐標是( ) a.12，1 b(0，0) c(1，2) d(1，4) 答案 a 解析 設與直線 y4x5 平行的直線為 y4xm，由平面幾何的性質(zhì)可知，拋物線 y4x2上到直線 y4x5 的距離最短的點即為直線 y4xm 與拋物線相切的點而對 y4x2求導得 y8x，又直線 y4xm的斜率為 4，所以 8x4，得 x12，此時 y41221，即切點為12，1 ，故選 a. 5(2021 安徽蕪湖模擬)已知拋物線 y22px(p0)的焦點弦 ab 的兩端點坐標分別為 a(x1，

5、y1)，b(x2，y2)，則y1y2x1x2的值一定等于( ) a4 b4 cp2 dp2 答案 a 解析 若焦點弦 abx 軸，則 x1x2p2，則 x1x2p24，y1y2p2，則y1y2x1x24.若焦點弦 ab 不垂直于 x 軸，可設直線 ab：ykxp2，聯(lián)立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp2k240，則 x1x2p24.y122px1，y222px2，y12y224p2x1x2p4.又y1y20，y20，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得 x1x25，x1x24.易知 f(1，0)，所以fm(x11，y1)，fn(x21，y2)，所以fmfn(x11) (x21)y1y2x1x2(

6、x1x2)14 x1x245188.故選 d. 8(2021 石家莊市質(zhì)檢)已知拋物線 y24x 的焦點為 f，過點 f 和拋物線上一點 m(2，2 2)的直線 l 交拋物線于另一點 n，則|nf|fm|等于( ) a12 b13 c1 2 d1 3 答案 a 解析 方法一：拋物線 y24x 的焦點 f 的坐標為(1，0)，m(2，2 2)，直線 l 的方程為 y2 2(x1)由y24x，y2 2（x1），得 2x25x20，解得 x2 或 x12，點 n 的橫坐標為12.拋物線 y24x 的準線方程為 x1，|nf|32，|mf|3，|nf|mf|12.故選 a. 方法二：拋物線 y24x

7、的焦點 f 的坐標為(1，0)，m(2，2 2)，直線 l 的方程為 y2 2(x1)由y24x，y2 2（x1），得 y2 2y40，解得 y2 2或 y 2，點 n 的縱4 / 9 坐標為 2.過點 m 作 mmx 軸，垂足為 m，過點 n 作 nnx 軸，垂足為 n，則mmfnnf，|nf|mf|nn|mm| 2|2 212.故選 a. 方法三：m(2，2 2)是拋物線上的點，且拋物線 y24x 的準線方程為 x1，|mf|3.又1|mf|1|nf|2p1，|nf|32，|nf|mf|12.故選 a. 9(2021 衡水中學調(diào)研)已知拋物線 y24x，過點 p(4，0)的直線與拋物線相交

8、于 a(x1，y1)，b(x2，y2)兩個不同的點，則 y12y22的最小值為( ) a12 b24 c16 d32 答案 d 解析 當直線的斜率不存在時，方程為 x4， 由x4，y24x，得 y14，y24，y12y2232. 當直線的斜率存在時，設其方程為 yk(x4)， 由y24x，yk（x4），得 ky24y16k0，y1y24k，y1y216， y12y22(y1y2)22y1y216k23232. 綜上可知，y12y2232. y12y22的最小值為 32.故選 d. 10(2021 石家莊市模擬)過拋物線 y24x 的焦點的直線 l 與拋物線交于 a，b 兩點，設點m(3，0)若

9、mab 的面積為 4 2，則|ab|( ) a2 b4 c2 3 d8 答案 d 解析 拋物線 y24x 的焦點 f為(1，0)，可設直線 l 的方程為 xty1， 代入拋物線方程，可得 y24ty40， 設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，可得 y1y24t，y1y24， 則|ab| 1t2|y1y2|1t2（y1y2）24y1y2 1t216t216， mab 的面積為12|mf|y1y2|122|y1y2|4 2， 即16t2164 2，解得 t 1，則|ab| 11 16168.故選 d. 二、多項選擇題 11(2021 山東高考實戰(zhàn)演練仿真卷)已知拋物線 x24y 的焦點為 f，

10、經(jīng)過點 f 的直線交拋物線于 a(x1，y1)，b(x2，y2)，點 a，b 在拋物線準線上的射影分別為 a1，b1，以下四個結(jié)5 / 9 論中正確的是( ) ax1x24 b|ab|y1y21 ca1fb12 dab 的中點到拋物線的準線的距離的最小值為 2 答案 acd 解析 拋物線 x24y 的焦點為 f(0，1)，易知直線 ab 的斜率存在，設直線 ab 為 ykx1. 由ykx1，x24y，得 x24kx40，則 x1x24k，x1x24，a正確； |ab|af|bf|y11y21y1y22，b 不正確； fa1(x1，2)，fb1(x2，2)，fa1fb1x1x240，fa1fb1

11、，a1fb12，c 正確； ab 的中點到拋物線的準線的距離 d12(|aa1|bb1|)12(y1y22)12(kx11kx212)12(4k24)2. 當 k0 時取得最小值 2，d正確故選 acd. 12(2021 山東高考統(tǒng)一模擬)設 m，n 是拋物線 y2x 上的兩個不同的點，o 是坐標原點若直線 om 與 on的斜率之積為12，則( ) a|om|on|4 2 b以 mn為直徑的圓的面積大于 4 c直線 mn過定點(2，0) d點 o到直線 mn的距離不大于 2 答案 cd 解析 不妨設 m 為第一象限內(nèi)的點， 當直線 mnx 軸時，komkon，由 komkon12，得 kom2

12、2，kon22，所以直線 om，on的方程分別為：y22x 和 y22x. 與拋物線方程聯(lián)立，得 m(2， 2)，n(2， 2)， 所以直線 mn的方程為 x2，此時|om|on|2 6， 以 mn為直徑的圓的面積 s2，故 a、b 不正確 6 / 9 當直線 mn與 x 軸不垂直時，設直線 mn的方程為 ykxm， 與拋物線方程聯(lián)立消去 x，得 ky2ym0，則 14km0. 設 m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 y1y2mk，因為 komkon12，所以y1x1y2x212， 則 2y2y1x2x1y22y12，則 y1y22，所以mk2，即 m2k， 所以直線 mn的方程為 ykx

13、2k，即 yk(x2) 綜上可知，直線 mn為恒過定點 q(2，0)的動直線，故 c 正確； 易知當 oqmn時，原點 o到直線 mn的距離最大，最大距離為 2， 即原點 o到直線 mn的距離不大于 2.故 d正確故選 cd. 三、填空題與解答題 13(2021 山東高考統(tǒng)一模擬)已知拋物線 y22px(p0)與直線 l：4x3y2p0 在第一、四象限分別交于 a，b 兩點，f是拋物線的焦點，若|af|fb|，則 _ 答案 4 解析 直線 l：當 y0 時，xp2，直線 l 過拋物線的焦點，a，f，b 三點共線， 聯(lián)立直線與拋物線方程y22px，4x3y2p0，得 8x217px2p20， 解

14、得：xa2p，xbp8，|af|xap252p，|bf|xbp258p， |af|fb|4. 14(2020 鄭州質(zhì)檢)設拋物線 y216x 的焦點為 f，經(jīng)過點 p(1，0)的直線 l 與拋物線交于a，b 兩點，且 2bppa，則|af|2|bf|_ 答案 15 解析 設 a(x1，y1)，b(x2，y2)p(1，0)， bp(1x2，y2)，pa(x11，y1) 2bppa，2(1x2，y2)(x11，y1)， x12x23，2y2y1. 將 a(x1，y1)，b(x2，y2)代入拋物線方程 y216x，得 y1216x1，y2216x2. 又2y2y1，4x2x1.又x12x23，解得

15、x212，x12.|af|2|bf|x142(x24)242124 15. 15(2021 四川遂寧市高三三診)已知點 m(0，2)，過拋物線 y24x 的焦點 f 的直線 ab 交7 / 9 拋物線于 a，b 兩點，若amfm0，則點 b 的縱坐標為_ 答案 1 解析 因為點 m(0，2)，拋物線 y24x 的焦點為 f(1，0)，所以 kmf20012，由amfm0 可得 amfm，所以直線 am 的斜率 kam12， 所以直線 am 的方程為 y212x，即 y12x2， 由y12x2，y24x化簡得 x28x160，解得 x4，可得點 a(4，4)， 所以直線 af的斜率 kaf441

16、43，所以直線 af的方程為：y43(x1)， 聯(lián)立y24x，y43（x1），消去 x可得：y23y40，解得 y1 或 y4， 所以點 b 的縱坐標為1. 16(2021 廣西柳州模擬)已知拋物線 y24x 的焦點為 f，過點 f 的直線交拋物線于 a，b兩點 (1)若af3fb，求直線 ab 的斜率； (2)設點 m 在線段 ab 上運動，原點 o 關于點 m 的對稱點為點 c，求四邊形 oacb 面積的最小值 答案 (1) 3或 3 (2)4 解析 (1)依題意可得，拋物線的焦點為 f(1，0)，設直線 ab：xmy1，將直線 ab 與拋物線聯(lián)立xmy1，y24xy24my40.設 a(

17、x1，y1)，b(x2，y2)，則 y1y24m，y1y24. af3fby13y2m213，斜率為1m 3或 3. (2)s四邊形oacb2saob212|of|y1y2|y1y2|（y1y2）24y1y216m2164， 當 m0 時，四邊形 oacb 的面積最小，最小值為 4. 17(2021 八省聯(lián)考)已知拋物線 y22px 上三點 a(2，2)，b，c，直線 ab，ac 是圓(x2)2y21 的兩條切線，則直線 bc 的方程為( ) ax2y10 b3x6y40 8 / 9 c2x6y30 dx3y20 答案 b 解析 方法一(設而要求)：a(2，2)在拋物線 y22px 上，44p

18、，p1，y22x，過 a(2，2)作圓 c 的切線，設切線斜率為 k. 則切線方程為：y2k(x2)，即 kxy2k20. |2k02k2|k211，k 3. 當 k 3時，切線方程為：y2 3(x2)， 聯(lián)立y2 3（x2），y22x， 解得x2，y2或x84 33，y2 332，則 b84 33，2 363， 當 k 3時，切線方程為：y2 3(x2)， 聯(lián)立y2 3（x2），y22x， 解得x2，y2或x84 33，y2 332，則 c84 33，2 363， kbc12，y2 36312x84 33，即 3x6y40，故選 b. 方法二(設而不求)：a(2，2)在拋物線 y22px 上，44p.p1.y22x.設bb22，b ，cc22，c ，則 bc：2x(bc)ybc0，ac：2x(2c)y2c0，可得：|42c|4（2c）21，化簡，得：3c21