高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7節(jié) 拋物線

1、1 / 21 第第 7 節(jié)節(jié) 拋物線拋物線 考試要求 1.了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 知 識(shí) 梳 理 1.拋物線的定義 (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) f 和一條定直線 l(fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn) f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線. (2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：m|mf|d(d為點(diǎn) m 到準(zhǔn)線 l 的距離). 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p的幾何意義：焦點(diǎn) f到準(zhǔn)線 l 的距離 性

2、 質(zhì) 頂點(diǎn) o(0，0) 對(duì)稱軸 y0 x0 焦點(diǎn) fp2，0 fp2，0 f0，p2 f0，p2 離心率 e1 準(zhǔn)線方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范圍 x0，yr x0，yr y0，xr y0，xr 開(kāi)口方向 向右 向左 向上 向下 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于 2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦. 2.拋物線 y22px(p0)上一點(diǎn) p(x0，y0)到焦點(diǎn) fp2，0 的距離|pf|x0p2，也稱為拋物線的焦半徑. 2 / 21 診 斷 自 測(cè) 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) f 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡

3、一定是拋物線.( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是a4，0 ，準(zhǔn)線方程是 xa4.( ) (3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.( ) (4)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切.( ) (5)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線 x22ay(a0)的通徑長(zhǎng)為 2a.( ) 解析 (1)當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡為過(guò)定點(diǎn) f 與定直線 l 垂直的一條直線，而非拋物線. (2)方程 yax2(a0)可化為 x21ay，是焦點(diǎn)在 y 軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是0，14a，準(zhǔn)線方

4、程是 y14a. (3)拋物線是只有一條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形. (4)一條直線平行拋物線的對(duì)稱軸，此時(shí)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切. 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.(老教材選修 21p72a1 改編)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn) p(2，3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_. 解析 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2kx 或 x2my，代入點(diǎn) p(2，3)，解得 k92，m43，所以 y292x 或 x243y. 答案 y292x 或 x243y 3. (老教材選修 21p67a3 改編)拋物線 y28x 上到其焦點(diǎn) f 距離為 5 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi). 解析 設(shè) p(x1，y1)，則|pf|x125，得

5、 x13，y1 2 6.故滿足條件的點(diǎn)的3 / 21 個(gè)數(shù)為 2. 答案 2 4.(2019 全國(guó)卷)若拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓x23py2p1 的一個(gè)焦點(diǎn)，則 p( ) a.2 b.3 c.4 d.8 解析 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2，0 ， 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為() 2p，0 ， 所以p2 2p，解得 p0(舍去)或 p8. 答案 d 5.(2020 山東名校聯(lián)考)已知 f 是拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，a，b 是拋物線上的兩點(diǎn)，且|af|bf|3，則線段 ab的中點(diǎn)到 y 軸的距離為( ) a.34 b.1 c.54 d.74 解析 如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 l，ab 的中

6、點(diǎn)為 m，作 aa1l 于點(diǎn) a1，bb1l 于點(diǎn) b1，mm1l 于點(diǎn) m1，由拋物線的方程知 p12，由拋物線定義知|aa1|bb1|af|bf|3，所以點(diǎn) m 到 y 軸的距離為|mm1|p212(|aa1|bb1|)p21231454，故選 c. 答案 c 6.(2019 昆明診斷)已知拋物線方程為 y28x，若過(guò)點(diǎn) q(2，0)的直線 l 與拋物線有公共點(diǎn)，則直線 l 的斜率的取值范圍是_. 解析 由題意知，直線 l 的斜率存在，設(shè)直線 l 的方程為 yk(x2)，代入拋物線方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20，當(dāng) k0 時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng) k0 時(shí)，(4k28)

7、24k2 4k264(1k2)0，解得1k0 或 0k1，4 / 21 因此 k 的取值范圍是1，1. 答案 1，1 考點(diǎn)一 拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 【例 1】 (1)已知拋物線 c 與雙曲線 x2y21 有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線 c的方程是( ) a.y2 2 2x b.y2 2x c.y2 4x d.y2 4 2x (2)(多選題)過(guò)拋物線 y24x 的焦點(diǎn) f 的直線交拋物線于 a，b 兩點(diǎn)，且|af|3|bf|，則直線 ab的斜率為( ) a. 2 b. 3 c. 2 d. 3 (3)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1，0)，且與直線 x1 相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi). 解析 (1

8、)由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為( 2，0)，( 2，0). 設(shè)拋物線方程為 y2 2px(p0)，則p2 2， 所以 p2 2， 所以拋物線方程為 y2 4 2x.故選 d. (2)如圖所示，當(dāng)點(diǎn) a 在第一象限時(shí)，過(guò) a，b 分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為 d，e，過(guò) a 作 x 軸的垂線，與eb 交于點(diǎn) c，則四邊形 adec 為矩形.由拋物線定義可知|ad|af|，|be|bf|，設(shè)|af|3|bf|3m，所以|ad|ce|3m，|ab|4m，在 rtabc 中，|bc|2m，所以abc60 ，所以直線 l 的斜率為 3；當(dāng)點(diǎn) b在第一象限時(shí)，同理可知直線 l 的斜率為 3. (3)設(shè)

9、動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線 x1 的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為 y24x. 答案 (1)d (2)bd (3)y24x 規(guī)律方法 1.應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化.(2)拋物線焦5 / 21 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p. 2.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù) p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，

10、特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此. 【訓(xùn)練 1】 (1)設(shè)拋物線 y22px 的焦點(diǎn)在直線 2x3y80 上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( ) a.x4 b.x3 c.x2 d.x1 (2)(2020 佛山模擬)已知拋物線 x22py(p0)的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l，點(diǎn) p(4，y0)在拋物線上，k為 l 與 y 軸的交點(diǎn)，且|pk| 2|pf|，則 y0_. 解析 (1)直線 2x3y80 與 x 軸的交點(diǎn)為(4，0)，拋物線 y22px 的焦點(diǎn)為(4，0)，準(zhǔn)線方程為 x4. (2)作 pml，垂足為 m，由拋物線定義知|pm|pf|，又知|pk| 2|pf|，在直角三角形 pkm 中

11、，sinpkm|pm|pk|pf|pk|22，pkm45 ，pmk為等腰直角三角形，|pm|mk|4，又知點(diǎn) p 在拋物線 x22py(p0)上，py08，y0p24，解得p4，y02. 答案 (1)a (2)2 考點(diǎn)二 與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題 多維探究 角度 1 到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離之和(差)最值問(wèn)題 【例 21】 點(diǎn) p 為拋物線 y24x 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) a(2，1)為平面內(nèi)定點(diǎn)，f 為拋物線焦點(diǎn)，則： (1)|pa|pf|的最小值為_(kāi)； (2)(多填題)|pa|pf|的最小值為_(kāi)，最大值為_(kāi). 解析 (1)如圖 1，由拋物線定義可知，|pf|ph|，|pa|pf|pa|ph|，從而最小值為

12、a到準(zhǔn)線的距離為 3. 6 / 21 (2)如圖 2，當(dāng) p，a，f 三點(diǎn)共線，且 p 在 fa 延長(zhǎng)線上時(shí)，|pa|pf|有最小值為|af| 2.當(dāng) p，a，f 三點(diǎn)共線，且 p 在 af 延長(zhǎng)線上時(shí)，|pa|pf|有最大值為|af| 2.故|pa|pf|最小值為 2，最大值為 2. 答案 (1)3 (2) 2 2 規(guī)律方法 1.解決到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離之和最小問(wèn)題，先將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合圖形解決問(wèn)題. 2.到兩定點(diǎn)距離之差的最值問(wèn)題，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最值. 角度 2 到點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離之和最值問(wèn)題 【例 22】 設(shè) p是拋物線 y24x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) p

13、到點(diǎn) a(1，1)的距離與點(diǎn) p到直線 x1的距離之和的最小值為_(kāi). 解析 如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為 f(1，0)，準(zhǔn)線是 x1，由拋物線的定義知點(diǎn) p 到直線 x1 的距離等于點(diǎn) p 到f 的距離.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn) p，使點(diǎn) p 到點(diǎn) a(1，1)的距離與點(diǎn) p到 f(1，0)的距離之和最小，顯然，連接 af與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為 1（1）2（01）2 5. 答案 5 規(guī)律方法 解決到點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離之和最值問(wèn)題，先將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，再構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解. 角度 3 動(dòng)弦中點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離最短問(wèn)題 【例 23

14、】 已知拋物線 x24y 上有一條長(zhǎng)為 6 的動(dòng)弦 ab，則 ab 的中點(diǎn)到 x軸的最短距離為( ) a.34 b.32 c.1 d.2 解析 由題意知，拋物線的準(zhǔn)線 l：y1，過(guò)點(diǎn) a 作 aa1l 交 l 于點(diǎn) a1，過(guò)點(diǎn) b 作 bb1l 交 l 于點(diǎn) b1，設(shè)弦 ab 的中點(diǎn)為 m，過(guò)點(diǎn) m 作 mm1l 交 l 于點(diǎn)7 / 21 m1，則|mm1|aa1|bb1|2.因?yàn)閨ab|af|bf|(f 為拋物線的焦點(diǎn))，即|af|bf|6，所以|aa1|bb1|6，2|mm1|6，|mm1|3，故點(diǎn) m 到 x 軸的距離d2，故選 d. 答案 d 規(guī)律方法 解決動(dòng)弦中點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離最短問(wèn)題

15、 將定長(zhǎng)線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為線段端點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一半，再根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊得出不等式求解. 角度 4 焦點(diǎn)弦中距離之和最小問(wèn)題 【例 24】 已知拋物線 y24x，過(guò)焦點(diǎn) f 的直線與拋物線交于 a，b 兩點(diǎn)，過(guò)a，b 分別作 y 軸的垂線，垂足分別為 c，d，則|ac|bd|的最小值為_(kāi). 解析 由題意知 f(1，0)，|ac|bd|af|fb|2|ab|2，即|ac|bd|取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|ab|取得最小值.依拋物線定義知，當(dāng)|ab|為通徑，即|ab|2p4 時(shí)為最小值，所以|ac|bd|的最小值為 2. 答案 2 規(guī)律方法 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線的對(duì)稱軸垂直

16、的弦稱為拋物線的通徑，通徑是拋物線所有過(guò)焦點(diǎn)的弦中最短的，若能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與通徑有關(guān)的問(wèn)題，則可以用通徑最短求最值. 角度 5 到定直線的距離最小問(wèn)題 【例 25】 (一題多解)拋物線 yx2上的點(diǎn)到直線 4x3y80 距離的最小值是_. 解析 法一 如圖，設(shè)與直線 4x3y80 平行且與拋物線 yx2相切的直線為 4x3yb0，切線方程與拋物線方程聯(lián)立得yx2，4x3yb0消去 y 整理得 3x24xb0，則 1612b0，解得 b43，故切線方程為 4x3y430，拋物線 yx2上的點(diǎn)到直線 4x3y80 距離的最小值是這兩條平行線間的距離 d843543. 法二 對(duì) yx2，有 y2x，

17、如圖，設(shè)與直線 4x3y80 平行且與拋物8 / 21 線 yx2相切的直線與拋物線的切點(diǎn)是 t(m，m2)，則切線斜率 ky|xm2m43，所以 m23，即切點(diǎn) t23，49，點(diǎn) t 到直線 4x3y80 的距離d8343816943，由圖知拋物線 yx2上的點(diǎn)到直線 4x3y80 距離的最小值是43. 答案 43 規(guī)律方法 拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，可以轉(zhuǎn)化為平行線間的距離，也可以利用單變量設(shè)點(diǎn)利用函數(shù)思想求最值. 【訓(xùn)練 2】 (1)若在拋物線 y24x 上存在一點(diǎn) p，使其到焦點(diǎn) f的距離與到 a(2，1)的距離之和最小，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) a.14，1 b.14，1 c.(2，

18、2 2) d.(2，2 2) (2)已知 p 為拋物線 y24x 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，q 為圓 c：x2(y4)21 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn) p 到點(diǎn) q 的距離與點(diǎn) p 到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是_. 解析 (1)如圖，y24x，p2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).依題意可知當(dāng) a，p 及 p 到準(zhǔn)線的垂足三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn) p 與點(diǎn) f、點(diǎn) p 與點(diǎn) a 的距離之和最小，故點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)為 1.將y1 代入拋物線方程求得 x14，則點(diǎn) p的坐標(biāo)為14，1 .故選 a. (2)由題意知，圓 c：x2(y4)21 的圓心為 c(0，4)，半徑為 1，拋物線的焦點(diǎn)為 f(1，0).根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn) p 到點(diǎn)

19、 q 的距離與點(diǎn) p 到拋物線準(zhǔn)線的距離之和即點(diǎn) p 到點(diǎn) q 的距離與點(diǎn) p 到拋物線焦點(diǎn)的距離之和，因此|pq|pf|pc|pf|1|cf|1 171. 答案 (1)a (2) 171 考點(diǎn)三 直線與拋物線的綜合問(wèn)題 9 / 21 【例 3】 (2019 全國(guó)卷)已知拋物線 c：y23x 的焦點(diǎn)為 f，斜率為32的直線 l與 c的交點(diǎn)為 a，b，與 x 軸的交點(diǎn)為 p. (1)若|af|bf|4，求直線 l 的方程； (2)若ap3pb，求|ab|. 解 設(shè)直線 l 的方程為：y32xt，a(x1，y1)，b(x2，y2). (1)由題設(shè)得 f34，0 ，故|af|bf|x1x232. 又

20、|af|bf|4，所以 x1x252. 由y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20， 其中 144(12t)0， 則 x1x212（t1）9. 從而12（t1）952，得 t78(滿足 0). 所以 l 的方程為 y32x78. (2)由ap3pb可得 y13y2. 由y32xt，y23x可得 y22y2t0，其中 48t0， 所以 y1y22，從而3y2y22，故 y21，y13. 代入 c的方程得 x13，x213. 所以 a(3，3)，b13，1 ， 故|ab|4 133. 規(guī)律方法 1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.

21、2.有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線10 / 21 的焦點(diǎn)，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式. 3.涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法. 提醒 涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解. 【訓(xùn)練 3】 如圖所示，拋物線關(guān)于 x 軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) p(1，2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在拋物線上. (1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程； (2)當(dāng) pa 與 pb 的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求 y1y2的值及直線 ab的斜率. 解 (1)

22、由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為 y22px(p0). 點(diǎn) p(1，2)在拋物線上，222p1，解得 p2. 故所求拋物線的方程是 y24x，準(zhǔn)線方程是 x1. (2)設(shè)直線 pa的斜率為 kpa，直線 pb的斜率為 kpb， 則 kpay12x11(x11)，kpby22x21(x21)， pa與 pb 的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，kpakpb. 由 a(x1，y1)，b(x2，y2)均在拋物線上，得 y214x1， y224x2， y1214y211y2214y221，y12(y22). y1y24. 由得，y21y224(x1x2)， kaby1y2x1x24y1y21(x1x2). 數(shù)學(xué)抽象

23、活用拋物線焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論 1.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平表現(xiàn)為能夠在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上形成新命題，能夠針對(duì)具體的問(wèn)題運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題.本課時(shí)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題的四個(gè)常用11 / 21 結(jié)論即為具體表現(xiàn)之一. 2.設(shè) ab是過(guò)拋物線 y22px(p0)焦點(diǎn) f的弦，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 (1)x1 x2p24. (2)y1 y2p2. (3)|ab|x1x2p2psin2(是直線 ab的傾斜角). (4)1|af|1|bf|2p為定值(f是拋物線的焦點(diǎn)). 【例 1】 過(guò)拋物線 y24x 的焦點(diǎn) f的直線 l 與拋物線交于 a，b兩點(diǎn)，若|af|2|bf|，則|ab|等于(

24、 ) a.4 b.92 c.5 d.6 一般解法易知直線 l 的斜率存在，設(shè)為 k，則其方程為 yk(x1). 由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20， 得 xa xb1， 因?yàn)閨af|2|bf|，由拋物線的定義得 xa12(xb1)， 即 xa2xb1， 由解得 xa2，xb12， 所以|ab|af|bf|xaxbp92. 應(yīng)用結(jié)論法一 由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn) a在 x軸的上方，如圖設(shè) a，b在準(zhǔn)線上的射影分別為 d，c，作 bead于 e， 設(shè)|bf|m，直線 l 的傾斜角為 ， 則|ab|3m， 由拋物線的定義知 |ad|af|2m，|bc|bf|m， 所以 cos |ae|

25、ab|13，所以 tan 2 2.則 sin28cos2，sin289.又 y24x，12 / 21 知 2p4，故利用弦長(zhǎng)公式|ab|2psin292. 法二 因?yàn)閨af|2|bf|，所以1|af|1|bf|12|bf|1|bf|32|bf|2p1，解得|bf|32，|af|3， 故|ab|af|bf|92. 答案 b 【例 2】 設(shè) f 為拋物線 c：y23x 的焦點(diǎn)，過(guò) f 且傾斜角為 30 的直線交 c 于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oab的面積為( ) a.3 34 b.9 38 c.6332 d.94 一般解法由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為 f34，0 ，因此直線 ab的方程為 y33 x34

26、，即 4x4 3y30. 與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)得 4y212 3y90， 故|yayb| （yayb）24yayb6. 因此 soab12|of|yayb|1234694. 應(yīng)用結(jié)論由 2p3，及|ab|2psin2 得|ab|2psin23sin23012. 原點(diǎn)到直線 ab的距離 d|of| sin 30 38， 故 saob12|ab| d12123894. 答案 d 【例 3】 如圖，過(guò)拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn) f 的直線交拋物線于點(diǎn) a，b，交其準(zhǔn)線 l 于點(diǎn) c，若 f 是 ac 的中點(diǎn)，且|af|4，則線段 ab的長(zhǎng)為( ) a.5 b.6 c.163 d.203 13

27、 / 21 一般解法 如圖，設(shè) l 與 x 軸交于點(diǎn) m，過(guò)點(diǎn) a 作 adl交 l 于點(diǎn) d，由拋物線的定義知，|ad|af|4，由 f是 ac的中點(diǎn)，知|ad|2|mf|2p，所以 2p4，解得 p2，所以拋物線的方程為 y24x. 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|af|x1p2x114，所以 x13，可得 y12 3，所以 a(3，2 3)，又 f(1，0)，所以直線 af 的斜率 k2 331 3，所以直線 af的方程為 y 3(x1)，代入拋物線方程 y2 4x 得 3x210 x30，所以 x1x2103，|ab|x1x2p163.故選 c. 應(yīng)用結(jié)論法一 設(shè) a(x1

28、，y1)，b(x2，y2)，則|af|x1p2x114，所以 x13，又 x1x2p241，所以 x213，所以|ab|x1x2p3132163. 法二 因?yàn)?|af|1|bf|2p，|af|4，所以|bf|43，所以|ab|af|bf|443163. 答案 c a級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.拋物線 y4x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( ) a.2 b.1 c.14 d.18 解析 由 y4x2得 x214y，所以 2p14，p18，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為18. 答案 d 2.(2019 福州調(diào)研)設(shè)拋物線 y28x 上一點(diǎn) p 到 y 軸的距離是 4，則點(diǎn) p 到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( )

29、 a.4 b.6 c.8 d.12 14 / 21 解析 如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線 l 的方程為 x2，f 是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) p 作 pay 軸，垂足是 a，延長(zhǎng) pa 交直線 l于點(diǎn) b，則|ab|2.由于點(diǎn) p 到 y 軸的距離為 4，則點(diǎn) p 到準(zhǔn)線l 的距離|pb|426，所以點(diǎn) p到焦點(diǎn)的距離|pf|pb|6.故選 b. 答案 b 3.(2020 煙臺(tái)調(diào)研)已知拋物線 y22px(p0)，點(diǎn) c(4，0)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于 x 軸的直線，與拋物線交于 a，b 兩點(diǎn)，若cab 的面積為 24，則以直線 ab為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) a.y24x b.y24x c.y28

30、x d.y28x 解析 因?yàn)?abx 軸，且 ab 過(guò)焦點(diǎn) f，所以線段 ab 是焦點(diǎn)弦，且|ab|2p，所以 scab122pp24 24，解得 p4 或12(舍)，所以拋物線方程為 y28x，所以直線 ab的方程為 x2，所以以直線 ab為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y28x，故選 d. 答案 d 4.設(shè)拋物線 c：y23x 的焦點(diǎn)為 f，點(diǎn) a為 c上一點(diǎn)，若|fa|3，則直線 fa的傾斜角為( ) a.3 b.4 c.3或23 d.4或34 解析 如圖，作 ahl 于 h，則|ah|fa|3，作 feah于 e，則|ae|33232，在 rtaef 中，coseaf|ae|af|12，e

31、af3，即直線 fa 的傾斜角為3，同理點(diǎn) a 在 x 軸下方時(shí)，直線 fa的傾斜角為23. 答案 c 5.已知直線 l1：4x3y60 和直線 l2：x1，拋物線 y24x 上一動(dòng)點(diǎn) p 到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值是( ) 15 / 21 a.3 55 b.2 c.115 d.3 解析 由題可知 l2：x1 是拋物線 y24x 的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 f(1，0)，則動(dòng)點(diǎn) p到 l2的距離等于|pf|，則動(dòng)點(diǎn) p到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值，即焦點(diǎn) f到直線 l1：4x3y60的距離，所以最小值是|406|52. 答案 b 二、填空題 6.如圖是拋物線形拱橋，

32、當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面 2 米，水面寬 4 米.水位下降 1 米后，水面寬_米. 解析 建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為 x2 2py(p0). 由題意將點(diǎn) a(2，2)代入 x22py，得 p1，故 x22y.設(shè) b(x，3)，代入 x22y 中，得 x 6，故水面寬為2 6米. 答案 2 6 7.(2020 昆明診斷)設(shè) f 為拋物線 y22x 的焦點(diǎn)，a，b，c 為拋物線上三點(diǎn)，若f為abc 的重心，則|fa|fb|fc|的值為_(kāi). 解析 依題意，設(shè)點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，又焦點(diǎn) f12，0 ，所以 x1x2x331232，則|fa|fb|f

33、c|x112x212x312(x1x2x3)3232323. 答案 3 8.已知雙曲線 c1：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2.若拋物線 c2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線 c1的漸近線的距離為 2，則拋物線 c2的方程為_(kāi). 16 / 21 解析 因?yàn)殡p曲線 c1：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2，所以 2ca1b2a2，所以ba 3，所以漸近線方程為 3x y0，因?yàn)閽佄锞€ c2：x22py(p0)的焦點(diǎn)為 f0，p2，所以 f 到雙曲線 c1的漸近線的距離為p2312，由于 p0，所以 p8，所以拋物線 c2的方程為 x216y. 答案 x216y 三、解

34、答題 9.設(shè) a，b為曲線 c：yx24上兩點(diǎn)，a與 b的橫坐標(biāo)之和為 4. (1)求直線 ab的斜率； (2)設(shè) m 為曲線 c上一點(diǎn)，c 在 m 處的切線與直線 ab平行，且 ambm，求直線 ab的方程. 解 (1)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則 x1x2，y1x214，y2x224，x1x24. 于是直線 ab的斜率 ky1y2x1x2x1x241. (2)由 yx24，得 yx2. 設(shè) m(x3，y3)，由題設(shè)知x321，解得 x32，于是 m(2，1). 設(shè)直線 ab的方程為 yxm， 故線段 ab的中點(diǎn)為 n(2，2m)，|mn|m1|. 將 yxm代入 yx24得

35、 x24x4m0. 當(dāng) 16(m1)0，即 m1 時(shí)，x1，22 2 m1. 從而|ab| 2|x1x2|4 2（m1）. 由題設(shè)知|ab|2|mn|，即 4 2（m1）2(m1)， 解得 m7. 所以直線 ab的方程為 xy70. 17 / 21 10.已知過(guò)拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為 2 2的直線交拋物線于 a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10)的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l，且 l 過(guò)點(diǎn)(2，3)，m 在拋物線 c上，若點(diǎn) n(1，2)，則|mn|mf|的最小值為( ) a.2 b.3 c.4 d.5 解析 由題意知p22，即 p4.過(guò)點(diǎn) n 作準(zhǔn)線 l 的垂線，垂足為 n

36、，交拋物線于點(diǎn) m，則|mn|mf|，則有|mn|mf|mn|mt|mn|mn|nn|1(2)3. 答案 b 13.(2020 湖南名校大聯(lián)考)已知 p 為拋物線 c：yx2上一動(dòng)點(diǎn)，直線 l：y2x4 與 x 軸、 y 軸交于 m，n 兩點(diǎn)，點(diǎn) a(2，4)且apaman，則 的最小值為_(kāi). 解析 由題意得 m(2，0)，n(0，4)，設(shè) p(x，y)，由apaman得(x2，y4)(0，4)(2，0)， x22，y44.因此 y44x22x24x22x21227474，故 的最小值為74. 答案 74 14.(2019 全國(guó)卷)已知曲線 c：yx22，d 為直線 y12上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) d 作 c的兩條切線，切點(diǎn)分別為 a，b. (1)證明：直線 ab過(guò)定點(diǎn)； (