高考數(shù)學一輪復習課時作業(yè)(八)　函數(shù)的奇偶性及周期性

1、1 / 6 課時作業(yè)(八) 函數(shù)的奇偶性及周期性 1(多選)下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有( ) ayx21 by2x12x cy x1 1x dy|x1|x1| abd 根據(jù)題意，依次分析選項：對于 a，yx21 為二次函數(shù)，其對稱軸為 y 軸是偶函數(shù)，對于 b，y2x12x ，其定義域為 r，有 f(x)2x12x 2x12x f(x)是偶函數(shù)，對于 c，由x101x0 ，得 x1.即定義域為1，不關于原點對稱不是偶函數(shù)，對于d，y|x1|x1|，其定義域為 r，有：f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x).則 f(x)為偶函數(shù)，故選 abd. 2已知定義在m5，12m上的奇函數(shù) f(x)，滿足

2、 x0 時，f(x)2x1，則 f(m)的值為( ) a15 b7 c3 d15 a 由題意知，(m5)(12m)0，解得 m4.又當 x0 時，f(x)2x1，則 f(m)f(4)f(4)(241)15.故選 a. 3(2020 廣州市階段訓練)已知偶函數(shù) f(x)滿足 f(x)x2x (x0)，則x|f(x2)1( ) ax|x0 bx|x4 cx|x2 dx|x4 a 因為當 x0 時，f(x)12x2 0，所以函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增因為函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，所以 f(2)f(2)1，所以不等式 f(x2)1 等價于 f(|x2|)f(2)，即|x2|2，即 x22，得

3、 x0.所以x|f(x2)1x|x0，故選 a. 4定義在 r 上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(x3)f(x).若 f(2)1，f(7)a，則實數(shù) a 的取值范圍為( ) a(，3) b(3，) c(，1) d(1) d 因為 f(x3)f(x)，所以 f(x)是定義在 r 上的以 3 為周期的周期函數(shù)，所以 f(7)f(79)f(2).又因為函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，所以 f(2)f(2)，所以 f(7)f(2)1，所以 a1，2 / 6 即 a(1，).故選 d. 5若 f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，x1，x20，)(x1x2)，有f（x2）f（x1）x2x1 0，則( ) af(3)f(

4、1)f(2) bf(1)f(2)f(3) cf(2)f(1)f(3) df(3)f(2)f(1) d 因為x1，x20，)(x1x2)，有f（x2）f（x1）x2x1 0，所以當 x0 時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，因為 f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，所以 f(3)f(2)f(1)， 即 f(3)f(2)f(1). 6若函數(shù) f(x)x（x2）（xa） 為奇函數(shù)，則實數(shù) a 的值為_，且當 x4時，f(x)的最大值為_ 解析： 由 f(x)為奇函數(shù)易知 a2， 當 x4 時，f(x)1x4x 在4，)上單調(diào)遞減， 當 x4 時，f(x)max13 . 答案： 2；13 7已知定義在 r 上的偶

5、函數(shù) f(x)滿足 f(2x)f(x)0，f(0) 3 ，則 f(10)等于_ 解析： 由題意，函數(shù) f(x)滿足 f(2x)f(x)0，即 f(2x)f(x)，又因為函數(shù) f(x)是r 上的偶函數(shù)，所以 f(2x)f(x)，則 f(x)f(x2)，所以函數(shù) f(x)是以 2 為周期的周期函數(shù)，則 f(10)f(25)f(0) 3 . 答案： 3 8定義在 r 上的函數(shù) f(x)滿足 f(x1)f(x1)，且 f(x)xa，1x0，|2x|，0 x1， 其中ar，若 f(5)f(4.5)，則 a_ 解析： 由 f(x1)f(x1)， 得 f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)， 所以 f(

6、x)是周期為 2 的周期函數(shù) 又 f(5)f(4.5)，所以 f(1)f(0.5)， 即1a1.5，解得 a2.5. 答案： 2.5 3 / 6 9設函數(shù) f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù)，對任意實數(shù) x 有 f32x f32x 成立 (1)證明 yf(x)是周期函數(shù)，并指出其周期； (2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值 解析： (1)證明：由 f32x f32x ， 且 f(x)f(x)， 知 f(3x)f3232x f3232x f(x)f(x)， 所以 yf(x)是周期函數(shù)，且 t3 是其一個周期 (2)因為 f(x)為定義在 r 上的奇函數(shù)，所以 f(0)0， 且 f(1)f

7、(1)2， 又 t3 是 yf(x)的一個周期， 所以 f(2)f(3)f(1)f(0)202. 10設 f(x)是定義域為 r 的周期函數(shù)，最小正周期為 2，且 f(1x)f(1x)，當1x0 時，f(x)x. (1)判斷 f(x)的奇偶性； (2)試求出函數(shù) f(x)在區(qū)間1，2上的表達式 解析： (1)f(1x)f(1x)， f(x)f(2x). 又 f(x2)f(x)， f(x)f(x). 又 f(x)的定義域為 r， f(x)是偶函數(shù) (2)當 x0，1時，x1，0， 則 f(x)f(x)x； 從而當 1x2 時，1x20， f(x)f(x2)(x2)x2. 故 f(x)x，x1，0

8、，x，x（0，1），x2，x1，2. 11(多選)已知 f(x)是定義域為 r 的函數(shù)，滿足 f(x1)f(x3)，f(1x)f(3x)，當4 / 6 0 x2 時，f(x)x2x，則下列說法正確的是( ) af(x)的最小正周期為 4 bf(x)的圖象關于直線 x2 對稱 c當 0 x4 時，函數(shù) f(x)的最大值為 2 d當 6x8 時，函數(shù) f(x)的最小值為12 abd 由 f(x1)f(x3)得，f(x)f(x1)1f(x1)3f(x4)，故函數(shù) f(x)的周期為 4，a 正確；由 f(1x)f(3x)可得 f(2x)f(2x)，所以函數(shù) f(x)的圖象關于直線 x2 對稱，b正確；

9、作出函數(shù) f(x)在0，8上的大致圖象如圖所示，由圖可知，當0 x4 時，函數(shù) f(x)的最大值為 f(2)2，c 正確；當 6x8 時，函數(shù) f(x)的最小值為f152 f12 14 ，d 錯誤 12(創(chuàng)新型)對于函數(shù) yf(x)，若存在 x0，使 f(x0)f(x0)0，則稱點(x0，f(x0)是曲線 f(x)的“優(yōu)美點”已知 f(x)x22x，x0，kx2，x0， 若曲線 f(x)存在“優(yōu)美點”，則實數(shù) k 的取值范圍為_ 解析： 由“優(yōu)美點”的定義，可知若點(x0，f(x0)是曲線 yf(x)的“優(yōu)美點”，則點(x0，f(x0)也在曲線 yf(x)上如圖所示作出函數(shù) yx22x(x0)

10、. 由圖可知，若曲線 yf(x)存在“優(yōu)美點”，則直線 ykx2 與函數(shù) yx22x(x0)的圖象有交點，即 kx2x22x，x2(k2)x20，0且 k0，解得 k22 2 . 答案： (，22 2 13(開放型)給出關于函數(shù) f(x)的一些限制條件：在(0，)上單調(diào)遞減；在(，0)上單調(diào)遞增；是奇函數(shù)；是偶函數(shù)；f(0)0.在這些條件中，選擇必需的條件，補充在下面問題中，并解決這個問題定義在 r 上的函數(shù) f(x)，_(填寫你選定條件的序號)，且 f(1)0.求不等式 f(x1)0 的解集 解析： 由題意易知條件和最好只選擇一個，否則可能產(chǎn)生矛盾；條件和最好也只選擇一個，否則 f(x)就變

11、成恒等于 0 的常數(shù)函數(shù)，失去研究價值 如果選擇條件.由 f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù)，可知 f(0)0，且 f(x)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性一致，且 f(1)f(1)0，因為 f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以，5 / 6 當 0 x1 或 x0，當 x1 或1x0 時，f(x)0，f(x1)00 x11 或 x11，即 1x2 或 x0 的解集為(，0)(1，2). 如果選擇條件.因為 f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，且 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，注意到 f(1)0，所以 f(x1)0f(x1)f(1)f(|x1|)f(|1|)|x1|10 x0 的解集

12、為(0，1)(1，2). 選擇其他條件組合的解法類似 如果同時選擇條件.易知 f(x)0恒成立，不等式 f(x1)0 的解集為空集 14(創(chuàng)新型)已知命題 p：“函數(shù) yf(x)的圖象關于點 p(a，b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù) yf(xa)b 是奇函數(shù)” (1)試判斷命題 p 的真假？并說明理由； (2)設函數(shù) g(x)x33x2，求函數(shù) g(x)圖象對稱中心的坐標； (3)試判斷“存在實數(shù) a 和 b，使得函數(shù) yf(xa)b 是偶函數(shù)”是“函數(shù) yf(x)的圖象關于某直線成軸對稱圖象”成立的什么條件？請說明理由 解析： (1)命題 p 為真命題； 充分性：若 yf(xa)b 為

13、奇函數(shù)，則 f(ax)bf(ax)b，即 f(ax)f(ax)2b. 設 m(x，y)為 f(x)圖象上任一點，則 m 關于(a，b)的對稱點為 n(2ax，2by)， f(2ax)f(a(ax)2bf(a(ax)， n 在 yf(x)圖象上，即 f(x)的圖象上，即 f(x)的圖象關于(a，b)對稱 必要性：若 yf(x)的圖象關于(a，b)成中心對稱圖形，設 m(x，y)為 f(x)圖象上任一點， 則由上述可知 f(2ax)2bf(x). 令 x 取 xa，則 f(ax)f(ax)2b， 即 f(xa)bf(ax)b， yf(xa)b 為奇函數(shù)， 綜上命題為真 (2)設函數(shù) f(x)g(xa)b 為奇函數(shù)， 則 f(x)(xa)33(xa)2bx3(3a3)x2(3a26a)xa33a2b， f(x)g(xa)b 為奇函數(shù)， 則3a30，a33a2b0， 即a1，b2. 由命題 p 為真命題，則函數(shù) g(x)x33x2的圖象對稱中心為(1，2). 6 / 6 (3)若存在實數(shù)