高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)(十七)　導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立 (2)

1、1 / 4 課時作業(yè)(十七) 導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立 1已知函數(shù) f(x)ax2xln x。 (1)若函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，求實數(shù) a 的取值范圍； (2)若 ae(e為自然對數(shù)的底數(shù))，證明：當(dāng) x0 時，f(x)0 時， f(x)0，即 2aln x1x恒成立。 令 g(x)ln x1x(x0)，則 g(x)ln xx2， 易知 g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增， 在(1，)上單調(diào)遞減， 則 g(x)maxg(1)1， 所以 2a1，即 a12。 故實數(shù) a 的取值范圍是12， 。 (2)證明：若 ae，要證 f(x)xex1e， 只需證 exln xex1ex， 即 exex0)

2、，則 h(x)ex1ex2， 易知 h(x)在0，1e上單調(diào)遞減，在1e， 上單調(diào)遞增，則 h(x)minh1e0， 所以 ln x1ex0。 再令 (x)exex，則 (x)eex， 易知 (x)在(0,1)上單調(diào)遞增， 在(1，)上單調(diào)遞減， 則 (x)max(1)0， 所以 exex0。 因為 h(x)與 (x)不同時為 0， 所以 exex0(e為自然對數(shù)的底數(shù))恒成立。 解 (1)f(x)1xa1axx(x0)。 當(dāng) a0 時，f(x)0恒成立， 所以 f(x)在(0，)上單調(diào)遞增。 當(dāng) a0時，令 f(x)0，得 x1a， 所以當(dāng) x0，1a時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)

3、x1a， 時，f(x)0時，f(x)在0，1a上單調(diào)遞增， 在1a， 上單調(diào)遞減。 (2)證明：由(1)可知，當(dāng) a0 時， f(x)ln xaxln1a1， 2 / 4 特別地，取 a1e，有 ln xxe0，即 ln xxe， 所以 e2ln xex(當(dāng)且僅當(dāng) xe 時等號成立)， 因此，要證 exe2ln x0 恒成立， 只要證明 exex(等號成立時 xe) 在(0，)上恒成立即可。 設(shè) g(x)exx(x0)，則 g(x)ex(x1)x2， 所以當(dāng) x(0,1)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增。 所以當(dāng) x1 時，g(x)取得最小值， 即 g(x)ming(1)e， 即 exex 在

4、(0，)上恒成立。 因此 exexe2ln x，又因為兩個等號不能同時成立，所以 exe2ln x0 恒成立。 3(2021 江西五校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)exbx(e為自然對數(shù)的底數(shù))。 (1)討論 f(x)的單調(diào)性； (2)若 b1，當(dāng) x2x10時，f(x1)f(x2)0， 即 f(x)exbx 在(，)上是增函數(shù)； 若 b0 得 xln(b)， 令 f(x)0 得 xln(b)， 即 f(x)exbx 在(，ln(b)上是減函數(shù)， 在(ln(b)，)上是增函數(shù)。 (2)由題意知 f(x)exx， f(x1)f(x2)(x1x2)(mx1mx21)， 即 f(x1)mx21x1x

5、10 知， 上式等價于函數(shù) (x)f(x)mx2xexmx2 在(0，)上為增函數(shù)， 所以 (x)ex2mx0(x0)， 即 2mexx(x0)。 令 h(x)exx(x0)，則 h(x)ex(x1)x2， 當(dāng) h(x)0 時，0 x0 時，x1； 當(dāng) h(x)0 時，x1。 所以 h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， 在(1，)上單調(diào)遞增， 所以 h(x)minh(1)e，則 2me，即 me2， 所以實數(shù) m 的取值范圍為，e2。 4(2020 新 高考卷)已知函數(shù) f(x)aex1ln xln a(e 為自然對數(shù)的底數(shù))。 (1)當(dāng) ae 時，求曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線與兩

6、坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積； (2)若 f(x)1，求 a 的取值范圍。 解 f(x)的定義域為(0，)， f(x)aex11x。 (1)當(dāng) ae 時，f(x)exln x1，f(1)e1， f(1)e1，曲線 yf(x)在點(1， f(1)處的切線方程為 y(e1)(e1)(x1)， 即 y(e1)x2。 直線 y(e1)x2 在 x軸， y 軸上的截距分別為2e1，2。 3 / 4 因此所求三角形的面積為2e1。 (2)當(dāng) 0a1時，f(1)aln a1。 當(dāng) a1 時，f(x)ex1ln x， f(x)ex11x。 當(dāng) x(0,1)時，f(x)0。 所以當(dāng) x1 時，f(x)取得最小值，最

7、小值為 f(1)1，從而 f(x)1。 當(dāng) a1時，f(x)aex1ln xln aex1ln x1。 綜上，a 的取值范圍是1，)。 5已知函數(shù) f(x)axx2xln a(a0，a1)。 (1)求函數(shù) f(x)的極小值； (2)若存在 x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e 是自然對數(shù)的底數(shù))，求實數(shù) a 的取值范圍。 解 (1)f(x)axln a2xln a2x(ax1) ln a。 因為當(dāng) a1時，ln a0， 函數(shù) y(ax1)ln a 在 r 上是增函數(shù)， 當(dāng) 0a1 時，ln a1或 0a0 的解集為(0，)， f(x)0)， 因為 g(a)11a22a11a2

8、0， 所以 g(a)a1a2ln a 在(0，)上是增函數(shù)。 而 g(1)0，故當(dāng) a1 時，g(a)0， 即 f(1)f(1)； 當(dāng) 0a1 時，g(a)0，即 f(1)1時，f(1)f(0)e1， 即 aln ae1。 由函數(shù) yaln a 在(1，)上是增函數(shù)， 解得 ae； 當(dāng) 0a1 時，f(1)f(0)e1， 即1aln ae1， 由函數(shù) y1aln a 在(0,1)上是減函數(shù)， 解得 0g(x)恒成立，求 a 的取值范圍。 解 (1)設(shè)切點的坐標(biāo)為(m，m1)，由題意得 f(x)(x1)ex，則 1(m1)em，顯然 m1，則 em1m1，所以 em1m10。 設(shè) f(m)em1m1(m1)， 當(dāng) m0恒成立。 當(dāng) m1 時，f(m)單調(diào)遞增， 又 f(0)e01010，所以 m0。 因為切點在函數(shù) f(x)的圖象上， 所以 m1mema，所以 a1。 (2)對于任意 x32， ，f(x)g(x)恒成立， 所以 a0，(x)單調(diào)遞增； x(1,0)時，(x)0