高考數(shù)學一輪復習課時過關檢測（五十四）最值、范圍問題

1、1 / 4 課時過關檢測（五十四）課時過關檢測（五十四） 最值、范圍問題最值、范圍問題 1(2021 湖北八校第一次聯(lián)考湖北八校第一次聯(lián)考)已知點已知點 m 2 33，33在橢圓在橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)上，且點上，且點 m 到橢圓到橢圓 c 的左、右焦點的距離之和為的左、右焦點的距離之和為 2 2. (1)求橢圓求橢圓 c 的方程；的方程； (2)設設 o 為坐標原點，若橢圓為坐標原點，若橢圓 c 的弦的弦 ab 的中點在線段的中點在線段 om(不含端點不含端點 o，m)上，求上，求oa ob的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)由條件知由條件知43a213b21,2a2 2，所

2、以，所以 a 2，b1，所以橢圓，所以橢圓 c 的方程為的方程為x22y21. (2)設設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則 ab 的中點的中點 x1x22，y1y22在線段在線段 om 上上 kom12，x1x22(y1y2) x212y211，x222y221，兩式相減得，兩式相減得( (x1x2) )( (x1x2) )2(y1y2)(y1y2)0， 易知易知 x1x20，y1y20，所以，所以y1y2x1x2x1x22( (y1y2) )1，即，即 kab1. 設直線設直線 ab 的方程為的方程為 yxm，代入，代入x22y21 并整理得并整理得 3x24mx2m220. 由

3、由 8(3m2)0 得得 m23.由根與系數(shù)的關系得由根與系數(shù)的關系得 x1x24m3，x1x22( (m21) )3，又，又x1x22 0，2 33，所以，所以2m3 0，2 33，所以，所以 0m 3. oaobx1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m24( (m21) )34m23m2m243， 而而 0m 3，所以，所以 oa ob的取值范圍是的取值范圍是 43，53. 2(2021 開封市第一次模擬考試開封市第一次模擬考試)在平面直角坐標系在平面直角坐標系 xoy 中，已知點中，已知點 f(1,0)，直線，直線 l：x1，點，點 p 在直線在直線 l 上

4、移動，上移動，r 是線段是線段 pf 與與 y 軸的交點，動點軸的交點，動點 q 滿足：滿足：rqpf，pql. (1)求動點求動點 q的軌跡的軌跡 e 的方程；的方程； (2)若直線若直線 pf 與曲線與曲線 e 交于交于 a，b 兩點，過點兩點，過點 f 作直線作直線 pf 的垂線與曲線的垂線與曲線 e 相交于相交于c，d 兩點，求兩點，求 fafb fc fd的最大值的最大值 解：解：(1)由題意可知由題意可知 r 是線段是線段 pf 的中點，因為的中點，因為 rqpf，所以，所以 rq 所在直線為線段所在直線為線段 pf2 / 4 的垂直平分線，的垂直平分線， 連接連接 qf，所以，所

5、以|qp|qf|，又，又 pql，所以點，所以點 q 到點到點 f 的距離和到直線的距離和到直線 l 的距離相的距離相等，等， 設設 q(x，y)，則，則|x1|( (x1) )2y2， 化簡得化簡得 y24x， 所以動點所以動點 q的軌跡的軌跡 e 的方程為的方程為 y24x. (2)由題可知直線由題可知直線 pf 的斜率存在且不為的斜率存在且不為 0， 設直線設直線 pf：yk(x1)(k0)，則，則 cd：y1k(x1)， 聯(lián)立方程，得聯(lián)立方程，得 yk( (x1) )，y24x，消去消去 y，得，得 k2x2(2k24)xk20， 設設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則 x1

6、x22k24k2，x1 x21. 因為向量因為向量 fa， fb方向相反，所以方向相反，所以 fafb| fa| fb|(x11)(x21)(x1x2x1x21) 4k24 . 同理，設同理，設 c(x3，y3)，d(x4，y4)，可得，可得 fc fd| fc| | fd|4k24， 所以所以 fafb fc fd4 k21k28， 因為因為 k21k22，當且僅當，當且僅當 k21，即，即 k 1 時取等號，時取等號， 所以所以 fafb fc fd的最大值為的最大值為16. 3已知拋物線已知拋物線 c：x22py(p0)和定點和定點 m(0,1)，設過點，設過點 m 的動直線交拋物線的動

7、直線交拋物線 c 于于 a，b 兩點，拋物線兩點，拋物線 c 在在 a，b 處的切線的交點為處的切線的交點為 n. (1)若若 n 在以在以 ab 為直徑的圓上，求為直徑的圓上，求 p 的值；的值； (2)若若abn的面積的最小值為的面積的最小值為 4，求拋物線，求拋物線 c 的方程的方程 解：解：設直線設直線 ab：ykx1，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 將直線將直線 ab 的方程代入拋物線的方程代入拋物線 c 的方程得的方程得 x22pkx2p0，則，則 x1x22pk，x1x22p. (1)由由 x22py 得得 yxp，則，則 a，b 處的切線斜率的乘積為處的切線斜率的乘積為x

8、1x2p22p， 點點 n 在以在以 ab 為直徑的圓上，為直徑的圓上， anbn，2p1，p2. (2)易得直線易得直線 an：yy1x1p(xx1)，直線，直線 bn：yy2x2p(xx2)，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得3 / 4 yy1x1p( (xx1) )，yy2x2p( (xx2) )，結合結合式，式， 解得解得 xpk，y1，即即 n(pk，1) |ab|1k2|x2x1|1k2 ( (x1x2) )24x1x21k2 4p2k28p， 點點 n 到直線到直線 ab 的距離的距離 d|kxn1yn|1k2|pk22|1k2， 則則abn 的面積的面積 sabn12 |ab| dp( (pk

9、22) )32 2p，當，當 k0 時，取等號，時，取等號， abn 的面積的最小值為的面積的最小值為 4， 2 2p4，p2，故拋物線，故拋物線 c 的方程為的方程為 x24y. 4(2021 山東濟寧一模山東濟寧一模)已知橢圓已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的離心率為的離心率為33，且橢圓，且橢圓 c 過過點點 32，22. (1)求橢圓求橢圓 c 的標準方程；的標準方程； (2)過橢圓過橢圓 c 的右焦點的直線的右焦點的直線 l 與橢圓與橢圓 c 分別相交于分別相交于 a，b 兩點，且與圓兩點，且與圓 o：x2y22相交于相交于 e，f 兩點，求兩點，求|ab| |ef|2的取

10、值范圍的取值范圍 解：解：(1)由題意得由題意得ca33，所以，所以 a232b2， 所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為x232b2y2b21， 將點將點 32，22代入方程得代入方程得 b22，即，即 a23， 所以橢圓所以橢圓 c 的標準方程為的標準方程為x23y221. (2)由由(1)可知，橢圓的右焦點為可知，橢圓的右焦點為(1,0)， 若直線若直線 l 的斜率不存在，直線的斜率不存在，直線 l 的方程為的方程為 x1， 則則 a 1，2 33，b 1，2 33，e(1,1)，f(1，1)， 所以所以|ab|4 33，|ef|24， |ab| |ef|216 33. 若直線若直線 l 的斜率存在，設直線的斜率存在，設直線 l 的方程為的方程為 yk(x1)，a(x1，y1)，b(x2，y2) 4 / 4 聯(lián)立聯(lián)立 x23y221，yk( (x1) )， 可得可得(23k2)x26k2x3k260， 則則 x1x26k223k2，x1x23k2623k2， 所以所以|ab|( (1k2) )( (x1x2) )2 ( (1k2) ) 6k223k2243k2623k24 3( (k21) )23k2. 因為圓心因為圓心 o(0,0)到直線到直線 l 的距離的距離 d|k|k21， 所以所以|ef|24 2k2k214( (k22) )k21