高考數(shù)學二輪復習專題34 不等式（知識梳理）（文）（原卷版）

1、1 / 11 專題專題 34 不等式不等式（知識梳理知識梳理） 一、不等式的有關概念一、不等式的有關概念 1、不等式的定義：用數(shù)學符號“、”連接的兩個數(shù)或代數(shù)式表示不等關系的式子叫不等式。 不等式的定義所含的兩個要點：(1)不等符號、或； (2)所表示的關系是不等關系。 2、不等式ba 的含義：不等式ba 應讀作“a大于或者等于b”，其含義是指“或者ba ，或者ba =”，等價于“a不小于b，即若ba 或ba =之中有一個正確，則ba 正確。 不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換： 大于 大于等于 小于 小于等于 至少 至多 不少于 不多于 例 1-1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”) (1

2、)某隧道入口豎立著“限高5 . 4米”的警示牌，是指示司機要安全通過隧道，應使車的整體高度h滿足關系為5 . 4h。 ( ) (2)用不等式表示“a與b的差是非負數(shù)”為0ba。 ( ) (3)不等式2x的含義是指x不小于2。 ( ) (4)若ba 或ba =之中有一個正確，則ba 正確。 ( ) 二、實數(shù)比較大小的依據(jù)與方法二、實數(shù)比較大小的依據(jù)與方法 1、實數(shù)的兩個特征 (1)任意實數(shù)的平方不小于0，即ra02a。 (2)任意兩個實數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的兩個數(shù)一定是實數(shù)。 2、實數(shù)比較大小的依據(jù) (1)如果ba 是正數(shù)，那么ba ；如果ba 等于零，那么ba =；如果ba 是

3、負數(shù)，那么ba 。 反之也成立，即0baba ；0=baba =；0baba 。 (2)比較兩個實數(shù)a與b的大小，需歸結為判斷它們的差ba 的符號，至于差的值是什么無關緊要。 3、比較兩數(shù)(式)大小的方法 作差比較法 作商比較法 乘方比較法 2 / 11 依據(jù) 0baba 0=baba = 0baba 0a，0b 1baba 1=baba = 1baba 0a，0b 1baba 1=baba = 1baba 0a，0b 若22ba ，則ba 0a，0b 若22ba ，則ba 應用 范圍 數(shù)(式)符號不明顯，作差后可通過配方、因式分解等恒等變形手段將差化積或商的形式。 同號兩數(shù)比較大小或只是式之

4、間比較大小。 要比較的兩數(shù)(式)中有根號。 步驟 作差變形定號下結論 作商變形判斷商值與1的大小下結論 乘方用作差比較法或作商比較法 例 2-1比較)5)(3(+aa與)4)(2(+aa的大小。 變式 2-1比較32+x與x3的大小，其中rx。 三、常用不等式的重要性質(zhì)三、常用不等式的重要性質(zhì) 名稱 式子表達 性質(zhì) 1(對稱性) ba ab 性質(zhì) 2(傳遞性) ba ，cb ca 性質(zhì) 3(可加性) ba cbca+ 推論 1：cba+bca 推論 2：ba ，dc dbca+ 性質(zhì) 4(可乘性) ba ，0cbcac ba ，0cbcac 推論 1：0 ba，0 dcbdac 推論 2：0

5、bannba (+nn) 推論 3：0 bannba (+nn) 例 3-1用不等號填空： (1)若ba ，則2ac 2bc； (2)若0+ba，0b，則b a； (3)若ba ，dc ，則ca db； (4)已知1x，則22+x x3。 四四、解一元二次不等式解一元二次不等式 1、按2x項的系數(shù)a的符號分類，即0a，0=a，0a。 例 4-1解不等式：01)2(2+xaax。 3 / 11 2、按判別式的符號分類，即0，0=，0。 例 4-2解不等式042+ axx。 3、按方程02=+cbxax的根1x、2x的大小來分類，即21xx ，21xx =，21xx 。 例 4-3解不等式0652

6、2+aaxx(0a)。 五五、二元一次不等式表示的平面區(qū)域及確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域及確定 1、直線、直線l：0=+cbyax把直角坐標平面分成了三個部分：把直角坐標平面分成了三個部分： (1)直線l上的點),(yx的坐標滿足0=+cbyax； (2)直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點),(yx的坐標滿足0+cbyax， (3)直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點),(yx的坐標滿足0+cbyax。 2、二元一次不等式、二元一次不等式0+cbyax表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分。 (1)在直角坐標平面內(nèi)，把直線l：0=+cbyax畫成實

7、線，表示平面區(qū)域包括這一邊界直線；畫成虛線表示平面區(qū)域不包括這一邊界直線。 (2)對于直線0=+cbyax同一側(cè)的所有點，把它的坐標),(yx代入cbyax+所得的符號都相同。 (3)作二元一次不等式0+cbyax表示的平面區(qū)域的方法： 直線定界：畫直線0=+cbyax(注意實線和虛線之分)；特殊點定域：取特殊點),(000yxp (當0c時常取原點(0,0)作測試點；當0=c時，可取)0 , 1 (或) 1 , 0(作測試點)代入二元一次不等式4 / 11 0+cbyax，如果滿足0+cbyax，則點0p所在的平面區(qū)域就是0+cbyax表示的平面區(qū)域，否則是點0p所在的平面區(qū)域的另一側(cè)的平面

8、區(qū)域。 簡記為：直線定界，特殊點定域。 例 5-1下列說法正確的是( )。 a、由于不等式012x不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一區(qū)域 b、點)2 , 1 (在不等式012+ yx表示的平面區(qū)域內(nèi) c、不等式0+cbyax與0+cbyax表示的平面區(qū)域是相同的 d、第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式0 xy表示 變式 5-1已知點)0 , 1 (a，), 2(mb ，若a、b兩點在直線032=+yx的同側(cè)，則m的取值范圍是( )。 a、)0 , 1( b、),21(+ c、), 0( + d、), 1 ( + 例 5-2畫出不等式0623+yx表示的區(qū)域。 變式 5-2寫出下列表示

9、平面區(qū)域的二元一次不等式。 六六、簡單線性規(guī)劃、簡單線性規(guī)劃 1、線性規(guī)劃問題、線性規(guī)劃問題 求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式組 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 目標函數(shù) 欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的函數(shù)解析式 線性目標函數(shù) 關于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解),(yx 5 / 11 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標函數(shù)取得最大或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題 例 6-1判斷：(1)可行域

10、是一個封閉的區(qū)域。 ( ) (2)在線性約束條件下，最優(yōu)解是唯一的。 ( ) (3)最優(yōu)解一定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解。 ( ) (4)線性規(guī)劃問題一定存在最優(yōu)解。 ( ) 2、線性目標函數(shù)的最值、線性目標函數(shù)的最值 線性目標函數(shù)byaxz+=(0b)對應的斜截式直線方程是bzxbay+=，它表示斜率為ba，在y軸上的截距是bz的一條直線，當z變化時，方程表示一組互相平行的直線。 (1)當0b，截距最大時，z取得最大值，截距最小時，z取得最小值； (2)當0b，截距最大時，z取得最小值，截距最小時，z取得最大值。 線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下： (1)算：根據(jù)題意，設出變量x，

11、y；列出線性約束條件；確定線性目標函數(shù)),(yxfz =； (2)畫：畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域)和線性目標函數(shù)0=+byax； (3)移：利用線性目標函數(shù)作平行直線系)(xfy =(z為參數(shù))平行移動，找到直線)(xfy =(z為參數(shù))在可行域上使z取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案； (4)求：求出取得最大值或最小值的點的坐標(解方程組)及最大值和最小值； (5)答：給出正確答案。 例 6-2若目標函數(shù)yxz+=中變量x、y滿足約束條件+304082yxyx。 (1)試確定可行域的面積； (2)求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解。 變式 6-1設yxz+= 2，式中變

12、量x、y滿足條件+4264yxyx，求z的最大值和最小值。 6 / 11 變式 6-2設x、y滿足約束條件+3511535yxxyyx，求yxz53 +=的最大值和最小值。 3、非線性目標函數(shù)的最優(yōu)解問題、非線性目標函數(shù)的最優(yōu)解問題 (1)22)()(byaxz+=型的目標函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點),(yx與點),(ba距離的平方，特別地，22yxz+=型的目標函數(shù)表示可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方。 (2)axbyz=型的目標函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點),(yx與點),(ba連線的斜率。 (3)|cbyaxz+=可轉(zhuǎn)化為點),(yx到直線0=+cbyax的距離的22ba +倍。 例 6-3如果點p在平面區(qū)域+03

13、012022yxyxyx上，點q在曲線1)2(22=+ yx上，那么| pq的最小值為( )。 a、12 b、1554 c、15 d、122 例 6-4若x、y滿足約束條件+04001yxyxx，則xy的最大值為( )。 a、2 b、3 c、4 d、5 4、線性規(guī)劃中的參數(shù)問題、線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 當最值是已知時，目標函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關，解題時應充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化。 當目標函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時，因為平面區(qū)域是變動的，所以要抓住目標函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可。 平面區(qū)域的確定方法是“直線定

14、界、特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集。 (1)條件不等式組中含有參變量條件不等式組中含有參變量 7 / 11 例 6-5若實數(shù)x、y滿足+myxxyy121，目標函數(shù)yxz=的最小值為1，則實數(shù)=m( )。 a、1 b、3 c、4 d、5 (2)目標參數(shù)中設置參變量目標參數(shù)中設置參變量 例 6-6已知實數(shù)x、y滿足+3006xyxyx，若yaxz+=的最大值為93 +a，最小值為33 a，則實數(shù)a的取值范圍為( )。 a、2 ,( b、4 ,( c、 1 , 1 d、), 1+ 七七、基本不等式基本不等式 1、基本不等式原始形式： (1)若rba、

15、，則abba222+； (2)若rba、，則222baab+。 2、基本不等式一般形式(均值不等式)：若+rba、，則abba2+。 3、基本不等式的兩個重要變形： (1)若+rba、，則abba+2； (2)若+rba、，則2)2(baab+。 4、利用均值不等式求最值的條件：“一正，二定，三相等”。 (1)一正：各項均為正數(shù)，若各項均為負數(shù)，則可以提負號； (2)二定：如果兩個正數(shù)的積ba是定值p，則ba +有最小值p2。 如果兩個正數(shù)的和ba +是定值s，則ba有最大值241s。 (3)三相等：當且僅當ba =時取最值。 5、常用結論： (1)xxy1+=：若0 x，則2y (當且僅當1

16、=x時取“=”)； 若0 x，則2y (當且僅當1=x時取“=”)； (2)xbaxy+=(0a，0b)：若0 x，則aby2(當且僅當xbax =即abx =時取“=”)； 若0 x，則aby2(當且僅當xbax =即abx=時取“=”)； 8 / 11 (3)xbaxy+=(0a，0b)：若0 x，則aby2(當且僅當xbax =即abx=時取“=”)； 若0 x，則aby2(當且僅當xbax =即abx =時取“=”)； (4)若0ab，則2+abba(當且僅當ba =時取“=”)； (5)若rba、，則2)2(222babaab+(當且僅當ba =時取“=”)； (6)基本不等式鏈：若

17、+rba、，則2211222babaabba+(當且僅當ba =時取“=”)。 注：算術平均數(shù)：2ba +；幾何平均數(shù)：ab；調(diào)和平均數(shù)：baabba+=+2112；平方平均數(shù)：222ba +。 例 7-1設0a，0b，證明不等式：baab112+。 變式 7-1已知a、b、c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：acbcabcba+222。 例 7-2已知0a，0b，1=+ba，求證：411+ba。 變式 7-2已知+rcba、且1=+cba，求證：8) 11)(11)(11(cba。 9 / 11 例 7-3已知xxy4+=，則y的取值范圍為( )。 a、), 44,(+ b、2,( c、), 0 + d、),6+ 變式 7-3已知22213xxy+=，則y的取值范圍為( )。 a、), 44,(+ b、), 22,(+ c、), 0( + d、),6+ 例 7-4已知11072+=xxxy(1x)，則y的取值范圍為( )。 a、), 22,(+ b、), 3 1,(+ c、), 7 1,(+ d、), 9 1 ,(+ 變式 7-4已知12+=xxy，則y的取值范圍為( )。 a、), 22,(+ b、), 1 1,(+ c、),2121,(+ d、21,21 例 7-5已知133224+=xxxy，則y的最小值為( )。 a、1 b、2 c、2 d、3 變式 7-5已知正數(shù)a