高考數(shù)學二輪復習專題43 立體幾何大題解題模板（文）（解析版）

1、1 / 10 專題專題 43 立體幾何大題解題模板立體幾何大題解題模板 一、一、立體幾何大題解題模板立體幾何大題解題模板答題技巧：答題技巧： 1、證明面面垂直只能證明線面垂直。、證明面面垂直只能證明線面垂直。如證明平面，一般都是在兩個面中找其中一個面中的一條直線與另一個面垂直，這里有一個小技巧，一般都是在面中找直線。 小技巧：欲證平面平面，則只需在平面內(nèi)找一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線， 但一般需要倒過來證平面平面，具體思路是： (1)在平面中找到一條直線1l，在平面中找到兩條直線2l、3l； (2)21ll ，這一般題中直接給； (3)31ll ，這一般需要證：3l平面，1l，則13ll

2、 ； (4)all=32，即2l與3l有交點(這步必須寫)，2l、3l在平面上(這步可以寫可以不寫)； (5)1l平面，從而推出平面平面，最后證出平面平面。 2、等體積公式：、等體積公式：由于三棱錐是由4個三角形圍成的四面體，任何一個三角形都可以看成其底面。但在求體積時需要選擇合適的底和高，這就需要靈活換底面，但是三棱錐的體積保持不變。這種方法我們稱為“等積法”，它是三棱錐求體積的巧妙方法，也是其“專屬產(chǎn)品”。其他的，如四棱錐求體積就不能隨意換底，不能用等積法求體積。另外，等積法的優(yōu)越性還體現(xiàn)在求“點到平面的距離”中。 但注意：等積法求體積時，要謹記“先證后求”的原則，先作出或證明底面的高，再

3、計算三棱錐的體積。 3、注意一般立體幾何涉及到計算最好把各個需要計算的平面或圖形在草紙上畫出平面圖形，這樣就導成、注意一般立體幾何涉及到計算最好把各個需要計算的平面或圖形在草紙上畫出平面圖形，這樣就導成解簡單的平面解析幾何，也就解簡單的平面解析幾何，也就是解三角形，使計算和理解更容易。是解三角形，使計算和理解更容易。 二二、2021 年高考預測年高考預測 從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是1個解答題，個解答題，1至至2個填空或選擇題。個填空或選擇題。解答題一般與棱柱和棱錐相關，主要考查線線關系、線面關系和面面關系，其重點是考查空間想象能力和

4、推理運算能力。高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力。 高考對立體幾何的考查側(cè)重以下幾個方面：高考對立體幾何的考查側(cè)重以下幾個方面： 1、從命題形式來看：、從命題形式來看：涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變、除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設計成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關系，后面幾問考查面積、體積等度量關系，其解題思路也都是“作-證-求”，強調(diào)作圖、證明和計算相結(jié)合。 2、從內(nèi)容上來看，主要是：、

5、從內(nèi)容上來看，主要是： 考查直線和平面的各種位置關系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題； 計算角的問題，試題中常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角； 求距離，試題中常見的是點與點之間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，直線與直線的距離，2 / 10 直線到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉(zhuǎn)化方法； 簡單的幾何體的側(cè)面積和表面積問題，解此類問題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問題； 體積問題，要注意解題技巧，如等積變換、割補思想的應用。 3、從方法上

6、來看：、從方法上來看：著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導和計算相集合；考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如經(jīng)常要把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決；考查模型化方法和整體考慮問題、處理問題的方法，如有時把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙地把問題解決；考查割補法、等積變換法，以及變化運動的思想方法，極限方法等。 4、從能力上來看：著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是、從能力上來看：著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會四會”： 會畫圖-根據(jù)題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明； 會

7、識圖-根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系； 會析圖-對圖形進行必要的分解、組合； 會用圖-對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a術；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力。 模板模板 1、立體幾何中的基本關系與基本量問題、立體幾何中的基本關系與基本量問題 例 1-1（12 分）如圖所示的空間幾何體中，平面acd平面abc，2=bedcdacabcab，be和平面abc所成的角為60，且點e在平面abc上的射影落在abc的平分線上。 (1)求證：/de平面abc； (2)求多面體abcde的體積。 審題路線圖：在平面abc內(nèi)作輔助線of證明ofde /將多面體a

8、bcde分割分別求兩個三棱錐體積之和。 規(guī)范答題：規(guī)范答題： 【解析】(1)證明：由題意知，abc、acd都是邊長為2的等邊三角形， 取ac中點o，連接bo、do， 則acbo ，acdo ，平面acd平面abc，do平面abc， 2分 作ef平面abc，則doef /，根據(jù)題意點f落在bo上，60=ebf， 易求得3= doef，四邊形defo是平行四邊形，ofde /， 4分 de平面abc，of平面abc，/de平面abc； 5分 (2)解：平面acd平面abc，acob ，ob平面acd， 3 / 10 又obde /，de平面dac， 7分 三棱錐dace 體積333) 13(331

9、311=desvdac， 9分 又三棱錐abce 體積13331312=efsvabc， 11分 多面體abcde體積為33621=+=vvv。 12 分 構(gòu)建答題模板： 第一步：畫出必要的輔助線，根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化。 第二步：寫出推證平行或垂直所需條件，注意條件要充分；明確寫出所證結(jié)論。 第三步：對幾何體進行合理轉(zhuǎn)化(分割或拼補)。 第四步：分別計算幾何體的體積并求和。 第五步：反復回顧，查看證明是否合理或者是否有遺漏點，明確規(guī)范書寫答題。 練習 1-1（12 分）如圖所示，ab是圓o的直徑，點c是圓o上異于a、b的點，po垂直于圓o所在的平面，且1= obpo。 (1)若d為線段ac的中點，

10、求證：ac平面pdo； (2)求三棱錐abcp 體積的最大值； (3)若2=bc，點e在線段pb上，求oece +的最小值。 【解析】(1)證明：在aoc中，ocoa =，d為ac的中點，odac ， 1分 又po垂直于圓o所在的平面，acpo ， opodo=，ac平面pdo； 3分 (2)點c是圓o上，當abco 時，c到ab的距離最大，且最大值為半徑1，又2=ab， abc的面積的最大值為11221=， 5 分 又三棱錐abcp 的高1=po， 故三棱錐abcp 體積的最大值為311131=； 6分 (3)在pob中，1= obpo，90=pob，21122=+=pb， 同理2=pc，2

11、=bcpcpb， 8分 在三棱錐abcp 中，將側(cè)面bcp繞pb旋轉(zhuǎn)至平面pcb ，使之與平面abp共面，如圖， 4 / 10 當o、e、c共線時，oece +取得最小值， 10分 又obop =，bcpc=，co 垂直平分pb，即e為pb中點， 從而2622622+=+=+=ceoeco，即oece +的最小值為262 +。 12 分 練習 1-2（12分）如圖 1，在三棱錐abcp 中，pa平面abc，bcac ，d為側(cè)棱pc上一點，它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖 2所示。 (1)證明：ad平面pbc； (2)求三棱錐abcd 的體積； (3)在acb的平分線上確定一點q，使得/pq平

12、面abd，并求此時pq的長。 【解析】(1)證明：pa平面abc，bcpa ， 1分 又bcac ，aacpa=，bc平面pac，adbc ， 2 分 由三視圖得在pac中，4= acpa，d為pc中點， 3分 pcad ，cpcbc=，ad平面pbc； 4分 (2)由三視圖可得4=bc，由(1)知90=adc，bc平面pac， 5 分 又三棱錐abcd 的體積即為三棱錐adcb 的體積， 所求三棱錐的體積316444212131=v； 7 分 (3)取ab的中點o，連接co并延長至q，使得cocq2=，點q即為所求， 8 分 o為cq中點，odpq/，pq平面abd，od平面abd， 9 分

13、 /pq平面abd，連接aq、bq，四邊形acbq的對角線互相平分， 10 分 acbq為平行四邊形，4=aq， 11分 又pa平面abc，在paqrt中，2422=+=aqappq。 12分 模板模板 2、空間角或空間距離問題、空間角或空間距離問題 例 2-1（10 分）如圖，在長方體1111dcbaabcd 中，11= aaad，2=ab，點e在線段ab上。 5 / 10 (1)求異面直線ed1與da1所成的角； (2)若二面角decd1的大小為45，求點b到平面ecd1的距離。 審題路線圖：涉及立體幾何線面關系的有關知識，實質(zhì)上求角度和距離，在求此類問題中要將這些量歸結(jié)到三角形中，最好是

14、直角三角形，這樣有利于問題的解決。 規(guī)范答題：規(guī)范答題： 【解析】(1)連結(jié)1ad，由已知，ddaa11是正方形，有daad11， ab平面ddaa11，1ad是ed1在平面ddaa11內(nèi)的射影， 2分 根據(jù)三垂線定理，edad11得，則異面直線ed1與da1所成的角為90； 3 分 (2)作cedf ，垂足為f，連結(jié)fd1，則fdce1， 1dfd為二面角decd1的平面角，451=dfd， 5分 11= dddf，21=fd，易得bcertcdfrt， 2= cdce，又1=bc，3=be， 7 分 設點b到平面ecd1的距離為h，bcedcedbvv=1， 即1121312131ddbc

15、behfdce=，11ddbcbehfdce=， 9分 即322=h，46=h，故點b到平面ecd1的距離為46。 10 分 點評：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內(nèi)容，本題實質(zhì)上求角度和距離，在求此類問題中，盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中，最好是直角三角形，這樣計算起來，比較簡單。 練習 2-1（10 分）如圖所示，在三棱柱111cbaabc 中，aa1平面abc，90=acb，m是ab的中點，=ac21=cccb。 (1)求證：平面cma1平面11aabb； (2)求點m到平面11cba的距離。 【解析】(1)由aa1平面abc，cm

16、平面abc，則cmaa 1， 1分 6 / 10 由cbac =，m是ab的中點，則cmab ， 2 分 又aabaa=1，則cm平面11aabb， 3 分 又cm平面cma1，平面cma1平面11aabb； 4分 (2)如圖，取11ba的中點n，連結(jié)mn，設點m到平面11cba的距離為h， 5 分 由題意可知2221111=mcbacbca，61=ma，2=mn， 6分 3260sin22222111=cbas，222222111=mbas， 7分 又111111113131cbacbammbambacshvsmcv=， 9分 點m到平面11cba的距離3321111=cbambassmch

17、。 10 分 練習 2-2（12 分）如圖，直二面角eabd中，四邊形abcd是邊長為2的正方形，ebae =，f為ce上的點，且bf平面ace。 (1)求證：ae平面bce； (2)求二面角eacb的大?。?(3)求點d到平面ace的距離。 【解析】(1)證明：bf平面ace，aebf ， 二面角eabd為直二面角，平面abcd平面abe， 1 分 又abbc ，bc平面abe，aebc ， 2分 又bf平面bce，bbcbf=，ae平面bce； 3 分 (2)連結(jié)ac、bd交于g，連結(jié)fg，abcd為正方形，acbd ， bf平面ace，acfg ，fgb為二面角eacb的平面角， 4 分

18、 由(1)可知，ae平面bce，ebae ，又ebae =，2=ab，2= beae， 在bcert中，622=+=bebcce，32622=cebebcbf， 6 分 在正方形中，2=bg，在直角三角形bfg中， 36232sin=bgbffgb，二面角eacb為36arcsin； 8分 (3)由(2)可知，在正方形abcd中，dgbg =， d到平面acb的距離等于b到平面ace的距離， bf平面ace，線段bf的長度就是點b到平面ace的距離， 7 / 10 即為d到平面ace的距離，d到平面ace的距離為33232=。 12分 另法：過點e作abeo 交ab于點o，1=oe，二面角ea

19、bd為直二面角， eo平面abcd，設d到平面ace的距離為h， 9分 acdeacedvv=，eoshsacdacb=3131， 10 分 ae平面bce，ecae ，3326221122212121=ecaeeodcadh， 11分 點d到平面ace的距離為332。 12分 模板模板 3、二面角問題、二面角問題 根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統(tǒng)一。解題時注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是900，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的范圍是900，其解法是作垂線、找射影；二面角1800，其方法是：定義法；三垂線定理及其逆定理；

20、垂面法。另外也可借助空間向量求這三種角的大小。 練習 3-1（12分）如圖所示，四棱錐abcdp 中，側(cè)面pdc是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面abcd是60=adc的菱形，m為pb的中點。 (1)求pa與底面abcd所成角的大??； (2)求證：pa平面cdm； (3)求二面角bmcd的余弦值。 審題路線圖：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法，求二面角的大小也可應用面積射影法。 【解析】(1)取dc的中點o，由pdc是正三角形，有dcpo ， 1分 又平面pdc底面abcd，po平面abcd于o， 2分 連結(jié)oa，則oa是pa在底面上的射影，pao就是pa與底面所

21、成角， 3分 60=adc，由已知pcd和acd是全等的正三角形，從而求得3= opoa， 45=pao，pa與底面abcd可成角的大小為45； 4分 (2)取ap的中點n，連接mn，由(1)知，在菱形abcd中，由于60=adc， 則cdao ，又cdpo ，則cd平面apo，即pacd ， 6分 又在pab中，中位線mn/ab21，co/ab21， 則mn/co，則四邊形ocmn為平行四邊形， 8 / 10 onmc/，在apo中，poao =，則apon ， 故mcap 而ccdmc=，則pa平面mcd； 8分 (3)由(2)知mc平面pab，則nmb為二面角bmcd的平面角， 在pab

22、rt中，易得6=pa，102)6(2222=+=+=abpapb， 10分 510102cos=pbabpba，510)cos(cos=pbanmb， 故所求二面角的余弦值為510。 12分 練習 3-2（12分）如圖所示，在四棱錐abcdp 中，22=abcdadpa，adab ，adcd ，pa底面abcd， m為pc的中點。 (1)求證：/bm平面pad； (2)在側(cè)面pad內(nèi)找一點n，使mn平面pbd； (3)求直線pc與平面pbd所成角的正弦。 【解析】(1)證明：m為pc的中點，取pd的中點e，則cdmn21/，又cdab21/， mnab/，四邊形abme為平行四邊形，eabm

23、/， 2 分 又bm平面pad，ea平面pad，/bm平面pad； 3 分 (2)由(1)知abme為平行四邊形pa底面abcd，abpa， 又adab ，dadpa=，ab平面pad， 4分 同理cd平面pad，ae平面pad，aeab ， 5分 abme為矩形，mecd/，pdcd ， 又aepd ，pdme ，pd平面abme，pd平面pbd， 6分 平面pbd平面abme，作ebmf ，故mf平面pbd，mf交ae于n， 在矩形abme內(nèi)，1=meab，2=ae， 7 分 32=mf，22=ne，n是ae的中點，mn平面pbd； 8 分 (3)由(2)知mf為點m到平面pbd的距離，mpf為直線pc與平面pbd