4-2-3任意四邊形

1、任意四邊形、 梯形與相似模型例題精講板塊一任意四邊形模型任意四邊形中的比例關系( “蝴蝶定理”) ：das1ss42os3bc31 / 30 s1 : s2s4 : s3 或者 s1s3s2s4 ao : ocs1s2: s4s3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系【例 1】 ( 小數(shù)報競賽活動試題) 如圖，某公園的外輪廓是四邊形abcd，被對角線ac、bd 分成四個部分，aob面積為 1 平方千米， boc面積為 2 平方千米 ， cod的面積為3 平

2、方千米，公園由陸地面積是6 92 平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？cboad【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得s aod3121.5平方千米，公園四邊形abcd 的面積是 1231.57.5 平方千米，所以人工湖的面積是7.56.920.58平方千米【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4 個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：三角形bgc 的面積；a2ag : gc？d13gb【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，csv bgc123 ，那么sv bgc6 ；根據(jù)蝴蝶定理，ag : gc12 : 361: 3 【例 2】 四邊形 abcd 的對角線ac 與 bd 交于點 o ( 如圖所示 )

3、如果三角形abd 的面積等于三角形bcd 的面積的 1 ，且 ao32 ， do3 ，那么 co 的長度是 do 的長度的 倍adadgohobcbc【解析】 在本題中，四邊形abcd 為任意四邊形，對于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形看到題目中給出條件 sv abd : sv bcd1:3，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法又觀察題目中給出的已知條件是面積的關系，轉化為邊的關系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個” 不良四邊形” ，于是可以作ah 垂直 bd 于 h ， cg 垂直

4、 bd 于 g ，面積比轉化為高之比再應用結論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結果請老師注意比較兩種解法，使學生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題解法一：ao : ocs abd: s bdc1:3 ， oc236 ， oc : od6:32:1 解法二：作ahbd 于 h ， cgbd 于 g s，1 s abdbcd3 ah s1 cg ，31 s，aoddoc3 ao oc1 co ，3236 ， oc : od6:32:1 【例 3】 如圖，平行四邊形abcd 的對角線交于o 點， cef、oef、odf、boe 的面積依次是2、4、4 和 6求

5、：求aocf 的面積；求dgce 的面積 ofgbec【解析】 根據(jù)題意可知，bcd 的面積為 244616 ，那么bco 和cdo 的面積都是 1628 ，所以 ocf 的面積為 844；由于bco的面積為8， boe 的面積為6，所以oce 的面積為 862 ，根據(jù)蝴蝶定理，eg : fgs coe : s cof2 : 41: 2 ，所以s gce: s gcfeg : fg1: 2 ，那么 s1s122 gcecef1233【例 4】 圖中的四邊形土地的總面積是52 公頃，兩條對角線把它分成了4 個小三角形， 其中 2 個小三角形的面積分別是6 公頃和 7 公頃那么最大的一個三角形的面

6、積是多少公頃？d6c6e77a【解析】 在 vabe ， vcde 中有aebced ，所以bvabe ， vcde的面積比為( aeeb): (cede ) 同理有 vade ， vbce 的面積比為( aede ) : (beec ) 所以有svabe× svcde=svade × svbce ，也就是說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2 條對角線，有圖形分成上、下、左、右4 個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積即 svabe6 = svade7 ，所以有vabe與 vade 的面積abe比為 7 : 6 ， sv=73921公頃，67顯然，最大的三角形

7、的面積為21 公頃sv=63918 公頃ade67【例 5】 ( 2008年清華附中入學測試題) 如圖相鄰兩個格點間的距離是1 ，則圖中陰影三角形的面積為aaddbbocc【解析】 連接 ad 、 cd 、 bc 則可根據(jù)格點面積公式，可以得到abc 的面積為： 14212 ，acd 的面積為：3313.5 ，2abd 的面積為：2413 2所以 bo : ods: s2 :3.54 : 7 ，所以 s4s4312 abcacdaboabd471111【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1，求三角形abc 的面積eda【解析】 因為bbd : ce2:5c，且 bd ce ，所以da : ac2

8、:5， s abc5， sdbc51022577【例 6】 ( 2007 年人大附中考題) 如圖，邊長為1 的正方形abcd 中， be的面積2ec ， cffd ，求三角形aega dadggffb ecbec【解析】 連接 ef 因為 be2ec ， cffd ，所以s def111() swabcd1swabcd 23212因為 saed1swabcd，根據(jù)蝴蝶定理，ag : gf1 : 16 :1 ，2所以 s6 s6 s61 s2123 sagdgdfadfwabcdwabcd77414所以 s ages aeds agd1swabcd3swabcd22swabcd，即三角形aeg

9、的面積是 2721477【例 7】 如圖，長方形abcd 中， 方形 abcd 的面積be : ec2:3， df : fc1: 2 ，三角形 dfg 的面積為2 平方厘米，求長a gdfb eca gdfb ec【解析】 連接 ae ， fe 因為 be: ec2:3， df: fc1: 2 ，所以svdef311()s長方形abcd1s長方形 abcd 53210因為 s1 s，ag : gf1 : 15:1 ，所以s agd5s gdf10 平方厘米， 所以s afd12 平vaed長方形abcd2vvv2 10方厘米因為s1 s，所以長方形abcd 的面積是 72平方厘米vafd長方形

10、 abcd6【例 8】 如圖，已知正方形abcd 的邊長為10 厘米， e 為 ad 中點， f 為 ce 中點， g 為 bf 中點，求三角形 bdg 的面積a edaedoffggb cbc【解析】 設 bd 與 ce 的交點為 o ，連接 be 、 df 由 蝴 蝶 定 理 可 知eo : ocsvbed: sv bcd， 而svbed1swabcd，4svbcd1swabcd2， 所 以eo : ocsvbed: sv bcd1: 2 ，故 eo1 ec 3由于 f 為 ce 中點，所以ef1 ec ，故2eo: ef2:3， fo : eo1: 2 由蝴蝶定理可知sv bfd: sv

11、bedfo: eo1: 2 ，所以sv bfd1svbed1s，wabcd那么 sv bgd1svbfd1swabcd28110106.25 （平方厘米）21616【例 9】 如圖，在abc 中，已知 m 、 n 分別在邊 ac 、 bc上， bm 與 an 相交于 o , 若aom 、abo 和bon 的面積分別是3、2、1，則mnc 的面積是amocbn【解析】 這道題給出的條件較少，需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解根據(jù)蝴蝶定理得s mons aoms bon313s aob22設 s monx ，根據(jù)共邊定理我們可以得s anm3，s abm3232，解得 x22.5s mncs mbc

12、x13x2【例 10】( 2009 年迎春杯初賽六年級) 正六邊形a1a2 a3 a4 a5 a6 的面積是2009 平方厘米， b1b2b3b4b5b6 分別是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米a1b1a2b6b2a1b1a2b6ob2a6a3a6a3b5b3a 5b4a4b5b3a5b4a4【解析】 如圖， 設 b6 a2 與b1 a3 的交點為 o ，則圖中空白部分由6 個與a2oa3 一樣大小的三角形組成，只要求出了a2oa3 的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影部分面積 連接 a6 a3 、 b6 b1 、 b6 a3 設a1b1b6 的面積為” 1“，則

13、b1a2b6 面積為” 1“，a1 a2 b6 面積為” 2“，那么a6 a3b6 面積為a1 a2 b6的 2 倍，為”4 “，梯形面積為 2 a1a2a3 a6 的面積為224212 ，a2b6a3 的面積為”6 “，b1a2 a3 的根據(jù)蝴蝶定理，b1oa3osb1a2b6: s a3 a2 b61: 6 ，故s a2 oa36， s16b1 a2 a312 ，7所 以 sa oa: s梯形 a a a a12:12:1: 7 ， 即a2oa3 的面積 為梯 形a a a a 面 積的1， 故為六邊形231 2 3 61 2361 2345 6a a a a a a 面 積的17，那么空

14、白部分的面積為正六邊形面積的1763 ，所以陰影部分面積為1414720091371148 ( 平方厘米 ) 板塊二梯形模型的應用梯形中比例關系( “梯形蝴蝶定理”) ：aad s1s2s4os3bcb22 s : sa : b13 s : s : s : sa 2 : b2 : ab : ab ；1324 s 的對應份數(shù)為2a b梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關系互相轉換的渠道，通過構造模型，直接應用結論，往往在題目中有事半功倍的效果( 具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進行說明)【例 11】如圖，s22 ， s34 ，求梯形的面積s1s2s422s3【解

15、析】 設s1 為 a 份，s3 為 b 份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，s34b ，所以 b2 ；又因為 s22 ab ，所以2a1；那么sa21， s4ab2 ，所以梯形面積ss1s2s3s412429 ，或者根1據(jù)梯形蝴蝶定理，2sab2129 【鞏固】 ( 2006 年南京智力數(shù)學冬令營) 如下圖，梯形abcd 的 ab 平行于 cd ，對角線ac ， bd 交于 o ，已知 aob 與 boc 的面積分別為25平方厘米與35 平方厘米，那么梯形abcd 的面積是 平方厘米ab25o35d【解析】 根 據(jù) 梯 形 蝴 蝶 定 理 ，sv aobcvboc: sa 2 : ab25: 35 ， 可

16、得a : b5:7， 再 根 據(jù) 梯 形 蝴蝶 定 理 ，sv aob: sa2 : b 252 : 7225: 49， 所 以sv doc49 ( 平方 厘 米 ) 那么 梯 形 abcd 的面 積 為v doc25353549144( 平方厘米 ) 【例 12】梯形 abcd 的對角線ac 與 bd 交于點 o ，已知梯形上底為2，且三角形abo 的面積等于三角形 boc 面積的 2 ，求三角形aod 與三角形 boc 的面積之比3adobc【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，sv aob2: svbocab : b2 : 3 ，可以求出a : b2:3 ，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，sv aod: sa

17、2 : b222 : 324 : 9 vboc通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個問題，而沒有像以前一樣，為了某個條件的缺乏而千辛萬苦進行構造假設，所以，請同學們一定要牢記幾何模型的結論【例 13】( 第十屆華杯賽) 如下圖，四邊形abcd 中，對角線ac 和 bd 交于 o 點，已知ao1 ，并且三角形 abd的面積三角形 cbd的面積b3 ，那么 oc 的長是多少？5aocd【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，三角形 abd的面積ao ，所以ao3 ，又 ao1 ，所以 co5 三角形cbd的面積coco53【例 14】梯形的下底是上底的1.5 倍，三角形obc 的面積是29cm ，問三角形aod

18、 的面積是多少？ado2222bc【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，a : b1:1.52:3 ， saod : s boca : b2 : 34 : 9 ，所以 saod4 cm2【鞏固】如圖，梯形abcd 中，aob 、cod 的面積分別為1.2 和 2.7 ，求梯形 abcd 的面積abo22dc【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，sv aob: svacoda: b4 : 9 ，所以a : b2:3 ，2s: sab : ab : a3: 2 ， ss1.231.8 ，vaods梯形abcdvaob1.21.81.82.77.5vaodvcob2【例 15】如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小

19、塊，已知三角形adg 的面積是 11，三角形 bch的面積是 23，求四邊形egfh 的面積afbafbghghdecdec【解析】 如圖，連結 ef，顯然四邊形 adef 和四邊形 bcef 都是梯形，于是我們可以得到三角形 efg 的面積等于三角形 adg 的面積； 三角形 bch 的面積等于三角形 efh 的面積， 所以四邊形 egfh 的面積是 11 23 34【鞏固】 ( 人大附中入學測試題) 如圖，長方形中，若三角形1 的面積與三角形3 的面積比為4 比 5，四邊形 2的面積為36，則三角形1 的面積為 123123【解析】 做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2 分成左右兩

20、邊，其面積正好等于三角形1 和三角形 3，所以 1 的面積就是3644516 ， 3 的面積就是3654520 【例 16】如圖，正方形abcd 面積為 3 平方厘米，m 是 ad 邊上的中點求圖中陰影部分的面積bcgamd【解析】 因為 m 是 ad 邊上的中點，所以am : bc1: 2 ，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道s amg: s abg: s mcg: s bcg12 （: 12）（: 12）: 221: 2 : 2 : 4 ，設s agm1份，則s mcd123份，所以正方形的面積為1224312份， s陰影平方厘米224 份， 所以s陰影: s正方形1: 3 ，所以s陰影1【鞏固】在

21、下圖的正方形abcd 中， e 是 bc邊的中點，ae 與 bd 相交于 f 點，三角形bef 的面積為1 平方厘米，那么正方形abcd 面積是平方厘米a df2b ec【解析】 連接 de ，根據(jù)題意可知be: ad1: 2 ，根據(jù)蝴蝶定理得s梯形（12）9 ( 平方厘米 ) ，s ecd3 ( 平方厘米 ) ，那么swabcd12 ( 平方厘米 ) 【例 17】如圖面積為 12 平方厘米的正方形abcd 中， e, f 是 dc 邊上的三等分點，求陰影部分的面積abodcef【解析】 因為e , f 是 dc 邊上的三等分點，所以ef : ab1:3，設 soef1 份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可

22、以知道2ss3 份，s9 份，ss(13) 份，因此正方形的面積為44(13)24 aoeofb aob ade bcf份， s陰影6 ，所以s陰影: s正方形6 : 241: 4 ，所以s陰影3 平方厘米【例 18】如圖，在長方形abcd 中， ab6 厘米， ad2 厘米， aeeffb ，求陰影部分的面積aef odb aefb oc dc【解析】 方 法一：如圖，連接de ， de 將陰影部分的面積分為兩個部分，其中三角形aed 的面積為26322 平方厘米由于 ef : dc1:3 ，根據(jù)梯形蝴蝶定理，s: s3:1，所以 s3 s，而 ss2vdeovefovdeov def4v

23、defvade平方厘米，所以svdeo321.5 平方厘米，陰影部分的面積為21.53.5 平方厘米42方法二：如圖，連接de ， fc ，由于ef : dc1:3 ，設 soef1 份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，s oed3份， s梯形 efcd(13)16 份，s ades bcf134 份，因此s長方形 abcd416424 份，s陰影437 份，而s長方形 abcd6212 平方厘米，所以s陰影3.5 平方厘米【例 19】( 2008 年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題) 已知 abcd 是平行四邊形， 面積為 6 平方厘米則陰影部分的面積是平方厘米bc : ce3: 2 ，三角形 ode 的adad

24、oobc【解析】 連接 ac ebce22由于 abcd 是平行四邊形，bc : ce3: 2 ，所以ce : ad2:3 ，根據(jù)梯形蝴蝶定理，sv coe: sv aoc: svdoe: svaod2 : 23: 23: 34 : 6 : 6 : 9 ，所以svaoc6 ( 平方厘米) ， svaod方厘米 ) 9 ( 平方厘米 ) ，又svabcsv acd6915 ( 平方厘米 ) ，陰影部分面積為61521( 平【鞏固】右圖中abcd 是梯形，abed 是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示( 單位：平方厘米) ，陰影部分的面積是平方厘米adad 99214bec21o4bec【分析】

25、連接 ae 由于 ad 與 bc 是平行的，所以aecd 也是梯形，那么s ocd2s oae 根據(jù)蝴蝶定理，s ocds oaes oces oad4936 ，故s ocd36 ，所以 s ocd6 ( 平方厘米 ) 【鞏固】 ( 2008 年三帆中學考題) 右圖中 abcd 是梯形，abed 是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示( 單位：平方厘米) ，陰影部分的面積是平方厘米adad8162becb816o2ec【解析】 連接 ae 由于 ad 與 bc 是平行的，所以aecd 也是梯形，那么s ocdocds oae 根據(jù)蝴蝶定理，s ocds oaes oces oad2816 ，故s

26、216 ，所以s ocd4 ( 平方厘米 ) 另解：在平行四邊形abed 中，s ade1syabed116812 ( 平方厘米 ) ，所以 s aoes ades aod221284 ( 平方厘米 ) ，根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為8244 ( 平方厘米 ) 【例 20】如圖所示， bd 、 cf 將長方形abcd 分成 4 塊，def 的面積是5 平方厘米，ced 的面積是10 平方厘米問：四邊形abef 的面積是多少平方厘米？afd 5e10a fd 5e10b cbc【分析】 連接 bf ，根據(jù)梯形模型，可知三角形bef 的面積和三角形dec 的面積相等，即其面積也是10 平方厘米，

27、再根據(jù)蝴蝶定理，三角形bce 的面積為 1010520 ( 平方厘米 ) ，所以長方形的面積為2010260 ( 平方厘米 ) 四邊形abef 的面積為 605102025 ( 平方厘米 ) 【鞏固】如圖所示，bd 、 cf 將長方形abcd 分成 4 塊，def 的面積是4 平方厘米，ced 的面積是6 平方厘米問：四邊形abef 的面積是多少平方厘米？afd4e6afd4e6bcbc【解析】 ( 法 1) 連接 bf ，根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形bef 的面積和三角形dec 的面積相等，即其面積也是6 平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形bce 的面積為 6649 ( 平方厘米

28、 ) ，所以長方形的面積為96230 ( 平方厘米 ) 四邊形abef 的面積為3046911 ( 平方厘米) ( 法 2) 由題意可知，efec42 ，根據(jù)相似三角形性質， 63edefebec2 ，所以三角形bce 的面積為：3629 ( 平方厘米 ) 則三角形 cbd 面積為 15 平方厘米，長方形面積為15230 ( 平方厘米 ) 四3邊形 abef 的面積為 3046911( 平方厘米 ) 【鞏固】 ( 98 迎春杯初賽 ) 如圖， abcd 長方形中，陰影部分是直角三角形且面積為54 ， od 的長是 16 ， ob的長是 9 . 那么四邊形oecd的面積是多少？a dob ec【

29、解析】 因為連接 ed 知道abo 和 edo 的面積相等即為54 ，又因為odob = 169 , 所以 aod 的面積為 5491696 ，根據(jù)四邊形的對角線性質知道：beo 的面積為： 54549630.375，所以四邊形 oecd 的面積為：549630.375119.625( 平方厘米 ).【例 21】( 2007 年”迎春杯”高年級初賽) 如圖，長方形abcd 被 ce 、 df 分成四塊，已知其中3 塊的面積分別為2、5、8 平方厘米，那么余下的四邊形ofbc 的面積為 平方厘米aef2baefb 25o?8dc5o?8dc【解析】 連接 de 、 cf 四邊形 edcf 為梯形

30、，所以s eodsv foc ，又根據(jù)蝴蝶定理，s eods focs eofs cod，所以s eods focs eofs cod2816 ，所以s eod4 ( 平方厘米 ) ，s ecd4812 ( 平方厘米 ) 那么長方形abcd 的面積為 12224 平方厘米，四邊形ofbc 的面積為 245289 ( 平方厘米 ) 【例 22】 ( 98 迎春杯初賽 ) 如圖，長方形abcd 中， aob是直角三角形且面積為54， od 的長是 16， ob 的長是 9那么四邊形oecd 的面積是a dadoob ecbec【解析】 解法一：連接de ，依題意sv aob1boao19ao54

31、，所以 ao12 ，則 sv aod221doao1161296 22又因為 ss54116oe ，所以 oe6 3 ，得 svboev aob1v doeboeo2196 3430 3 ，2248所以 sssss549630 3119 5 oecdvbdcvboevabdvboe88解法二：由于s: sod: ob16 :9 ，所以 s541696 ，而 ss54 ，根據(jù)vaodv aobv aod9v doevaob蝴蝶定理，ssss，所以 s54549630 3 ，vboevaodvaobv doevboe8所以 sssss549630 3119 5 oecdvbdcvboevabdvb

32、oe88【例 23】如圖，abc 是等腰直角三角形，defg 是正方形，線段ab 與 cd 相交于 k 點已知正方形defg 的面積 48，ak : kb1:3，則bkd 的面積是多少？dagdagkkbefcbemfc【解析】 由于 defg 是正方形， 所以 da 與 bc 平行， 那么四邊形adbc 是梯形 在梯形 adbc 中，bdk 和ack 的面積是相等的 而 ak的面積也是abc 面積的 1 4: kb1:3 ，所以ack 的面積是abc 面積的11134，那么bdk由于 abc 是等腰直角三角形，如果過 a 作 bc 的垂線， m 為垂足，那么 m 是 bc 的中點，而且am

33、de ，可見 abm 和 acm 的面積都等于正方形 defg 面積的一半，所以 abc 的面積與正方形 defg 的面積相等，為 48那么bdk 的面積為 481412 【例 24】如圖所示，abcd 是梯形，ade 面積是 1.8 ，abf 的面積是9，bcf 的面積是27那么陰影aec 面積是多少？adefbc【解析】 根 據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到s afbs dfcs afds bfc ， 而s afbs dfc( 等積變換 ) ，所以可得s afds afbs cdf993 ，并且 s aefs bfcs adf27s aed31.81.2 ，而s afb: s bfcaf : fc

34、9 : 271:3 ，所以陰影aec 的面積是：s aecs aef41.244.8 【例 25】如圖，正六邊形面積為6 ，那么陰影部分面積為多少？21422412【解析】 連接陰影圖形的長對角線，此時六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質，和梯形蝴蝶定理把六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積868 183【例 26】如圖，已知d 是 bc 中點， e 是 cd 的中點， f 是 ac 的中點三角形abc 由這6 部分組成，其中比多6 平方厘米那么三角形abc 的面積是多少平方厘米？afbdec【解析】 因 為 e 是 dc 中點， f 為 ac 中點，有ad2fe 且

35、平行于ad ，則四邊形adef 為梯形在梯形22adef 中有 =，× =×， ：= ad： fe=4又已知 - =6，所以 = 6(41)2 ， =48 ，所以×=× =16，而 =，所以 = =4，梯形 adef 的面積為、四塊圖形的面積和，為844218 有 vcef 與 vadc 的面積比為ce 平方與 cd 平方的比，即為1: 4所以vadc 面積為梯形adef 面積的4= 44-13，即為 184324 因為 d 是 bc 中點，所以 vabd 與vadc 的面積相等，而vabc 的面積為vabd 、 vadc 的面積和，即為242448 平

36、方厘米三角形abc 的面積為48 平方厘米【例 27】如圖，在一個邊長為6 的正方形中，放入一個邊長為2 的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為【解析】 本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理來解決一般情況解法一： 取特殊值， 使得兩個正方形的中心相重合，如右圖所示， 圖中四個空白三角形的高均為1.5 ， 因此空白處的總面積為61.5242222 ，陰影部分的面積為662214 解法二：連接兩個正方形的對應頂點，可以得到四個梯形，這四個梯形的上底都為2，下

37、底都為6，上底、下底之比為2: 61:3 ，根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個梯形每個梯形中的四個小三角形的面積之比為221 :13:13:31:3:3:9，所以每個梯形中的空白三角形占該梯形面積的9 ，陰影部分的面16積占該梯形面積的7216，所以陰影部分的總面積是四個梯形面積之和的716，那么陰影部分的面積為7(62162 )14 【例 28】如圖，在正方形abcd 中， e 、 f 分別在 bc 與 cd 上，且 ce2be ， cf2df ，連接 bf 、de ，相交于點 g ，過 g 作 mn 、 pq 得到兩個正方形mgqa 和 pcng ，設正方形 mgqa 的面積為s1 ，正方形 pcn

38、g 的面積為s2 ，則s1 : s2 aqdaqdffmgnmgnbep222cbepc【解析】 連接 bd 、ef 設正方形 abcd 邊長為 3，則 cecf2 ， bedf1 ，所以， ef228 ，22222222bd3318 因為 efbd81814412，所以efbd12 由梯形蝴蝶定理，得s: s: s: sef: bd: efbd: efbd8:18:12 :124 : 9 : 6 : 6 ，gef所以， gbds bge dgfnbge6s梯形 bdfe6s梯形bdfe因為s bcd3329， s cef2222 ，4966252所以 sss5 ，所以， s653 梯形bdf

39、ebcd cef2bge2525由于 bge 底邊 be 上的高即為正方形pcng 的邊長，所以cn321669， nd3，所以 am: cndn : cn3: 2 ，則12s : sam 2 : cn 255559 : 4 【例 29】如下圖，在梯形abcd 中， ab 與 cd 平行，且 cd2ab，點 e 、 f 分別是 ad 和 bc 的中點，已知陰影四邊形emfn 的面積是54 平方厘米，則梯形abcd 的面積是平方厘米abab mmefefnndcdc【解析】 連接 ef ，可以把大梯形看成是兩個小梯形疊放在一起，應用梯形蝴蝶定理，可以確定其中各個小三角形之間的比例關系，應用比例即

40、可求出梯形abcd 面積設梯形 abcd 的上底為 a ，總面積為s則下底為2a ， ef1 a2a3 a 所以 ab : efa: 3 a22:3， ef: dc3 a : 2a 2223: 4 由于梯形abfe 和梯形 efcd 的高相等，所以s: sabef:efdca3 a:3 a2a5: 7 ，梯形abfe梯形efcd22故 s梯形 abfe5s ， s梯形 efcd127 s 12根據(jù)梯形蝴蝶定理，梯形abfe 內各三角形的面積之比為222 : 23: 23:34: 6: 6:9，所以svemf9s梯形abfe95 s3 s ；4669251220同理可得svenf9s梯形 efc

41、d97 s3 s ，9121216491228所以 sss3 s3 s9 s ，由于 s54 平方厘米，emfnvemfvenf202835emfn所以 s54935210 ( 平方厘米 ) 【例 30】( 2006 年“迎春杯” 高年級組決賽) 下圖中， 四邊形 abcd 都是邊長為1 的正方形， e 、f 、g 、h 分別是 ab ， bc ， cd ， da 的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數(shù) m ，那么， (mn) 的值等于nahdahdegegbfcbfc【解析】 左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積如下圖所示，在左圖中連接eg 設 ag與 de 的交點為 m 左圖中 aegd 為長方形，可知amd 的面積為長方形aegd 面積的 14，所以三角形amd 的面積為21111 又 左圖 中 四 個 空 白 三 角 形 的面 積 是 相 等 的 ， 所 以 左 圖 中 陰 影 部 分 的面 積 為2481141 8