八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第五章二元一次方程組

1、第五章 二元一次方程組一 認(rèn)識(shí)二元一次方程組1. 二元一次方程組的概念含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。注意：（1）二元一次方程必須具備的特征：整式方程兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都不為0，次數(shù)都為1（2）二元一次方程不一定都是由兩個(gè)二元一次方程組成的，可以出現(xiàn)一元一次方程【例1】下列方程組中，不是二元一次方程組的是 2.二元一次方程（組）的解二元一次方程的解集：適合一個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值二元一次方程組及其解：兩個(gè)二元一次方程的公共解【例2】 已知是方程組的解，求（m+n）的值變式訓(xùn)練1二元一次方程3x+2y=15在自然數(shù)范圍內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是（ ） A1個(gè) B2個(gè)

2、 C3個(gè) D4個(gè)2已知是方程組的解，則a+b的值等于（ ） A1 B5 C1或5 D0二、二元一次方程組的解法解方程的基本思路：把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程1. 代入消元法【例3】解下列方程組（1）x-3y=2y=x (2)x+y=52x+y=8變式訓(xùn)練14x+3y=5x-2y=4 (2)m-n2=22m+3n=122.加減消元法【例3】解下列方程組 14x-3y=145x+3y=31 22x-5y=-214x+3y=23 (3)3x-1=y+55y-1=3(x+5) 三、二元一次方程組鞏固強(qiáng)化【例4】方程a-1xa+3y=5是關(guān)于x,y的二元一次方程，那么a= 【例5】如果單項(xiàng)式2am+2nbn

3、-2m+2與a5b7是同類項(xiàng)，那么nm= 變式訓(xùn)練：1.已知2ay+3b3x與-3a2xb8-2y是同類項(xiàng)，由此可列出方程組 2.若x-2y-9與x-y-3互為相反數(shù)，則x+y= 3.寫出以x=5y=7為解的一個(gè)二元一次方程組 4.某年級(jí)共有學(xué)生246人，其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍少2人，下面所列方程組正確的是（ ）A.x+y=2462y=x-2 B.x+y=2462x=y+2 C.x+y=246y=2x+2 D.x+y=2462y=x+2 5如圖42所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個(gè)果凍的質(zhì)量也相等，則一塊巧克力的質(zhì)量是（ ） A20g B25g C15g D30g【

4、例6】用代入法解方程組3x+4y=22x-y=5使得代入后化簡(jiǎn)比較容易的變形是 A由得x=2-4y3 B由得y=2-3x4 C由得x=y+52 D由得y=2x-5變式訓(xùn)練：1在解方程組時(shí)，一同學(xué)把c看錯(cuò)而得到，正確的解應(yīng)是，那么a，b，c的值是（ ） A不能確定 Ba=4，b=5，c=2 Ca，b不能確定，c=2 Da=4，b=7，c=2【例7】已知關(guān)于x,y的方程組x+y=1-mx-3y=5+3m中，m與方程組的解中的x或y相等，則m的值為 變式訓(xùn)練：1.已知關(guān)于x,y的方程組4x+3y=7kx+(k-1)y=3的解中x,y的值相等，求k的值2已知方程組的解x，y，其和x+y=1，則k_【例

5、8】已知方程3x+2y=8,用含x的式子表示y為 ，用含y的式子表示x為 變式訓(xùn)練：1已知x，y，t滿足方程組，則x和y之間應(yīng)滿足的關(guān)系式是_【例9】已知關(guān)于x,y的方程組5x+y=3ax+5y=4與x-2y=55x+by=1有相同的解，求a,b的值變式訓(xùn)練：1. 三個(gè)方程x+y=5, x-y=3, 10x-my=7有公共解，則m= 【例10】已知3x+2y=52x+3y=10，則x+y= 變式訓(xùn)練：1.已知x+y=73x-5y=-3，則3x+y-(3x-5y)= 【例11】已知關(guān)于x,y的方程組3x+y=124x+ay=2有正整數(shù)解，求a的值變式訓(xùn)練：1.方程4x+3y=20的所有非負(fù)整數(shù)解

6、為2.求方程2x+5y=10的自然數(shù)解，寫出過(guò)程3.已知關(guān)于x,y的方程組x=6-2yx-y=9-3k有正整數(shù)解，求k的值四、二元一次方程組的應(yīng)用1.雞兔同籠【例12】某電視臺(tái)在黃金時(shí)段的2min廣告時(shí)間內(nèi)，計(jì)劃插播長(zhǎng)度為15s和30s的兩種廣告。15s的廣告每播一次收費(fèi)0.6萬(wàn)元，30s的廣告每播一次收費(fèi)1萬(wàn)元。若要求每種廣告播放不少于2次。問：（1） 兩種廣告的播放次數(shù)有幾種安排方式？（2） 電視臺(tái)選擇哪種方式播放受益較大？變式訓(xùn)練：1.某公園的學(xué)生門票價(jià)格如下：購(gòu)票人數(shù)/上每人票價(jià)/元13119八年級(jí)甲、乙兩班共104人，若分別購(gòu)票，共需1240元。兩個(gè)班合起來(lái)

7、購(gòu)票，能否節(jié)省一些？若已知甲班人數(shù)稍多一些，兩班各有多少人？2.樹上地上各有一些鴿子，樹上的鴿子對(duì)地上的鴿子說(shuō)：“若你們飛上來(lái)一只，你們的數(shù)目就是鴿群的三分之一，若我們飛下去一只，我們和你們的數(shù)目恰好相等?！眴柧烤褂卸嗌僦圾澴釉跇渖?，多少只鴿子在地上？3.戴著紅涼帽的若干女生與戴著白涼帽的若干男生同租一游船在公園劃船。一女生說(shuō)：“我看到船上紅、白兩種帽子一樣多?！币荒猩f(shuō)：“我看到的紅帽子是白帽子的2倍?！眲t船上有男女生各多少人？【例13】一排宿舍，若每間住1人，則有10人無(wú)處??；若每間住3人，則有10間無(wú)人住。問有多少間宿舍多少個(gè)人？變式訓(xùn)練：1某中學(xué)八年級(jí)學(xué)生外出進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，如果每輛

8、車坐45人，那么有15個(gè)學(xué)生沒車坐；如果每輛車坐60人，那么可以空出一輛車。共有幾輛車，多少個(gè)學(xué)生？2.把一摞筆記本分給一些同學(xué)，每人5本多6本，每人6本少5本.問學(xué)生和筆記本各有多少？2.增收節(jié)支（1）利潤(rùn)問題【例14】體育文化用品商店購(gòu)進(jìn)籃球和排球共20個(gè)，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表，全部銷售完后共獲利260元籃球排球進(jìn)價(jià)/（元/個(gè)）8050售價(jià)/（元/個(gè)）9560（1） 購(gòu)進(jìn)籃球和排球各多少個(gè)？（2） 銷售6個(gè)排球的利潤(rùn)與銷售幾個(gè)籃球的利潤(rùn)相等？變式訓(xùn)練：1、一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%，如果打八折出售可以盈利10元，此商品的定價(jià)是多少元？2、某同學(xué)在甲、乙兩家超市發(fā)現(xiàn)他看中的隨身聽的

9、單價(jià)相同，書包的單價(jià)也相同。隨身聽和書包的單價(jià)之和是452元，且隨身聽的單價(jià)比書包單價(jià)的4倍少8元。（1） 求該同學(xué)看中的隨身聽和書包的單價(jià)各是多少元？（2） 現(xiàn)在恰好趕上促銷活動(dòng)，甲超市所有商品打八折，乙超市全場(chǎng)購(gòu)物滿100元返30元購(gòu)物券（不足100元不返現(xiàn)，購(gòu)物券全場(chǎng)通用）。請(qǐng)你幫他計(jì)算一下在哪家購(gòu)買更省錢？3、甲乙兩件服裝的成本共500元，商店老板將甲服裝按利潤(rùn)率為50%定價(jià)，乙服裝按利潤(rùn)率為40%定價(jià)。在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝都按9折出售，這樣兩件服裝共獲利157元。求甲乙兩種服裝的成本各是多少元？4、某商場(chǎng)以一定的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批服裝，并以一定的單價(jià)售出，平均每天賣出10件，

10、30天共獲利15000元，現(xiàn)在為了盡快回籠資金，商場(chǎng)決定將每件衣服降價(jià)20%出售，結(jié)果平均每天比降價(jià)前多賣10件，這樣30天可以獲利12000元。問這批服裝每件的進(jìn)價(jià)和降價(jià)前出售的單價(jià)各是多少？（2）百分比濃度問題【例15】有兩塊合金，第一塊合金含金270克，含銅30克；第二塊合金含金400克，含銅100克。要配制成含金82.5的合金400克，應(yīng)取第一塊和第二塊合金各多少克？變式訓(xùn)練：1、已知有含鹽20%與含鹽5%的鹽水，若配制成含鹽14%的鹽水200kg，需要兩種鹽水各多少？2.某商店準(zhǔn)備用兩種價(jià)格分別為36元/千克和20元/千克的糖果混合成雜拌糖果出售，混合后糖果的價(jià)格是28元/千克，現(xiàn)在

11、要配制這種雜拌糖果100千克，需要兩種糖果各多少千克？（3）行程問題：（一）相遇問題（路程和等于總路程）（二）追及問題：兩人同地不同時(shí)同向而行，直至追上，兩人所走路程相等（時(shí)間不等）兩人同時(shí)不同地同向而行，直至追上，兩人所走路程差等于已知兩地間的距離（時(shí)間相等）兩人不同時(shí)不同地同向而行，直至追上，兩人所走路程差等于已知兩地間的距離（時(shí)間不相等）（三）水路行船（航空問題類似）：順?biāo)俣?靜水船速水流速度逆水速度=靜水船速水流速度【例16】一條船在河中順?biāo)剿偈悄嫠剿俚谋叮@條船在靜水中的速度與河水的流速之比為（）:：:變式訓(xùn)練：1、甲乙兩地相距320千米，一艘輪船在其間航行，順流用20小時(shí)，逆

12、流用40小時(shí)。求船在靜水中的速度和水流速度。 2、育才中學(xué)新建塑膠跑道一圈長(zhǎng)400米，甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相背而跑，40s相遇一次，同向而跑，200s相遇一次。求甲乙二人的速度。3.已知某一鐵路橋長(zhǎng)1000米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過(guò)，測(cè)得火車從開始上橋到完全過(guò)橋共用時(shí)1min，整列火車完全在橋上的時(shí)間為40s，求火車的速度和長(zhǎng)度。4.學(xué)校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營(yíng)，先以60km/h的速度走平路，后又以30 km/h的速度爬坡，共用了6.5h；原路返回時(shí)，汽車以40 km/h的速度下坡，又以50 km/h的速度走平路，共用了6h。問平路和坡路各有多遠(yuǎn)？3.里程碑上的數(shù)（1）數(shù)字問

13、題【例17】小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明12:00看到里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，數(shù)字之和是6；13:00時(shí)小明看到里程碑上的兩位數(shù)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字剛好與12:00時(shí)顛倒了；14:30看到的數(shù)比12:00看到的兩位數(shù)中間多了個(gè)0。求小明12:00看到的里程碑上的兩位數(shù)。變式訓(xùn)練：1、一個(gè)三位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)的差為225，在三位數(shù)的左邊寫這個(gè) 兩位數(shù)，得到一個(gè)五位數(shù)，在三位數(shù)的右邊寫上這個(gè)兩位數(shù)，也得到一個(gè)五位數(shù)，已知前面的五位數(shù)比后面的五位數(shù)大225，求這個(gè)三位數(shù)和兩位數(shù) 。2、如果一個(gè)兩位數(shù)除以這個(gè)兩位數(shù)交換數(shù)字位置后的數(shù)，那么所得的商是4，余數(shù)是3；如果這個(gè)兩位數(shù)除以個(gè)位

14、與十位數(shù)字之和，那么所得的商是8，余數(shù)是7。求這個(gè)兩位數(shù)。3、有一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)將最左邊的數(shù)字移到最右邊，則比原來(lái)的數(shù)小45；又知百位數(shù)字的9倍比由十位和個(gè)位組成的兩位數(shù)小3。求原來(lái)的三位數(shù)（2）年齡問題（年齡一年增長(zhǎng)一歲，人人平等；兩人的年齡差不變）【例18】兄弟兩人，弟弟5年后的年齡是哥哥五年前的年齡，3年后兄弟兩人的年齡之和是他們年齡之差的3倍。則兄弟兩人今年的年齡分別是多少？（3）配套問題【例19】某工廠有工人60名，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人平均每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)。應(yīng)如何安排這些工人，才能使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套？變式訓(xùn)練：現(xiàn)有190張鐵皮，每張鐵皮

15、可制作8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整的盒子。那么用多少?gòu)堣F皮制作盒身，多少?gòu)堣F皮制作盒底 ，可以正好制成一批完整的盒子？小測(cè)驗(yàn)：1、如果一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是6，那么這樣的兩位數(shù)有 個(gè)。2、把面值1元的紙幣換成面值為5角或1角的硬幣，則換法有 種。3、中央電視臺(tái)“開心辭典”欄目中，有一期的題目如下圖所示，兩個(gè)天平都平衡，則3個(gè)球體的質(zhì)量等于個(gè)正方體的質(zhì)量。4、某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成。按照這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在規(guī)定期限內(nèi)職能完成訂貨的80%；現(xiàn)在服裝廠改進(jìn)了人員組成結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)

16、流程，每天可生產(chǎn)這種服裝200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用一天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求定做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？5.如圖，一列快車長(zhǎng)70米，一列慢車長(zhǎng)80米，若兩車同向而行，快車從追上慢車到完全離開慢車所用時(shí)間為20s，若兩車相向而行，則兩車從相遇到離開的時(shí)間為4s。求兩車的速度。根據(jù)題意填空：（1）若同向而行，經(jīng)過(guò)20s快車行駛路程比慢車多 m，可列方程 （2）若相向而行，兩車4s共行駛 m，可列方程 （3）由以上可得方程組 五 二元一次方程與一次函數(shù)1、二者的關(guān)系坐標(biāo)坐標(biāo)就是方程的解坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度二元一次方程與函數(shù)的關(guān)系：二者可以互相轉(zhuǎn)化【例20】以方程3x+y=

17、5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與一次函數(shù) 的圖像相同?！纠?1】如圖所示，兩條直線l和l的交點(diǎn)坐標(biāo)可以看作下列哪個(gè)方程組的解（ ）A.y=2x+1y=x+2 A.y=-x+3y=3x-5 A.y=-2x+1y=x-1 A.y=-2x+1y=x+1變式訓(xùn)練：1.方程組2x+y=22x+y=5的解為 ，則一次函數(shù)y=2-2x與y=5-2x的圖像的位置關(guān)系是2.以方程x+1=4y+x3的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與一次函數(shù) 的圖像相同。3.以一個(gè)二元一次方程組中的兩個(gè)方程作為一次函數(shù)畫圖像，所得的兩條直線（ ） A.有一個(gè)交點(diǎn) B.有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn) C.沒有交點(diǎn) D.以上都有可能 4. 一次函數(shù)y=kx+b的圖像如圖1所示，則方程kx+b=0的解為（ ）A.x=2 B.x=-1 C.y=2 D.y=-15.若一次函數(shù)y=x+3和一次函數(shù)y=-x+b的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m,8）,則m= ，b= 。6.已知直線y1=2x-1和一次函數(shù)y2=-x-1的圖像如圖2所示，根據(jù)圖像填空：（1）當(dāng)x 時(shí)，y1y2；當(dāng)x 時(shí)，y1=y2；當(dāng)x 時(shí)，y1y2； 2方程組y=2x-1y=-x-1的解是 7.如圖3，函數(shù)y=