常數(shù)項級數(shù)的審斂法實用教案

1、一、正項級數(shù)(j sh)及其審斂法 正項級數(shù)收斂(shulin)的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界. v正項級數(shù)v 各項都是正數(shù)(zhngsh)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù). 這是因為正項級數(shù)的部分和數(shù)列sn是單調(diào)增加的, 而單調(diào)有界數(shù)列是有極限. 下頁v定理1(正項級數(shù)收斂的充要條件) 第1頁/共31頁第一頁，共32頁。v定理(dngl)2(比較審斂法) 推論(tuln) 若1nnv收斂, 則1nnu收斂 若1nnu發(fā)散, 則1nnv發(fā)散. 下頁第2頁/共31頁第二頁，共32頁。 解 下頁v定理(dngl)2(比較審斂法) nnp11, 而級數(shù)11nn發(fā)散, 設(shè)un和vn都是正項級數(shù), 且unkvn

2、(k0, nN). 若級數(shù)vn收斂(shulin), 則級數(shù)un收斂(shulin); 若級數(shù)un發(fā)散, 則級數(shù)vn發(fā)散. 第3頁/共31頁第三頁，共32頁。, 1p因為(yn wi)當nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮(kol)強級數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分(b fen)和n111) 1(11ppnkkkn故強級數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂 .時,1) 1(11pn12) 若若第4頁/共31頁第四頁，共32頁。 設(shè)un和vn都是正項級數(shù)(j sh), 且unkvn(k0, nN). 若級數(shù)(j sh)vn收斂

3、, 則級數(shù)(j sh)un收斂; 若級數(shù)(j sh)un發(fā)散, 則級數(shù)(j sh)vn發(fā)散. vp級數(shù)(j sh)的收斂性 證 下頁v定理(dngl)2(比較審斂法) 發(fā)散, 故級數(shù)1) 1(1nnn也發(fā)散. 第5頁/共31頁第五頁，共32頁。調(diào)和級數(shù)與調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個級數(shù)是兩個(lin )常常用的比較級數(shù)用的比較級數(shù).若存在(cnzi),ZN對一切(yqi),Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu第6頁/共31頁第六頁，共32頁。v定理(dngl)3(比較審斂法的極限形式) 下頁 解 111sinlim nnn, 而級數(shù)11nn發(fā)散,

4、第7頁/共31頁第七頁，共32頁。 下頁 解 11)11ln(lim 22nnn, 而級數(shù)211nn收斂, v定理3(比較審斂法的極限(jxin)形式) 設(shè)1nnu和1nnv都是正項級數(shù), (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv收斂, 則1nnu收斂 (2)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv發(fā)散, 則1nnu發(fā)散. 第8頁/共31頁第八頁，共32頁。下頁收斂 當1(或)時級數(shù)發(fā)散 當1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 設(shè)1nnu為正項級數(shù), 如果nnnuu1lim, 則當1時級數(shù) v定理4(比值(bzh)審斂法 達朗貝爾判別法) 解 所以 根據(jù)比值(bzh)審斂法可知所給級數(shù)收

5、斂 例5 證明級數(shù) ) 1( 3211 3211211111 n 是收斂的. 101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn101lim 321) 1( 321lim lim 1 nnnuunnnnn, 第9頁/共31頁第九頁，共32頁。所以(suy) 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散 下頁 解 101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim ! 1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn, 收斂 當1(或)時級數(shù)發(fā)散 當1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 設(shè)1nnu為正項級數(shù), 如果nnnuu1lim, 則當

6、1時級數(shù) v定理(dngl)4(比值審斂法 達朗貝爾判別法) 第10頁/共31頁第十頁，共32頁。提示(tsh):所以 根據(jù)比值審斂法可知(k zh)所給級數(shù)收斂 1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn1)22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn, 1) 22() 12(2) 12(lim lim 1nnnnuunnnn, 比值審斂法失效. 下頁 解 212) 12(1nnn, 而級數(shù)212) 12(1nnn, 而級數(shù)211nn收斂, 收斂 當1(或)時級數(shù)發(fā)散 當1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 設(shè)1nnu為正項級數(shù), 如果nnnuu1

7、lim, 則當1時級數(shù) v定理(dngl)4(比值審斂法 達朗貝爾判別法) 第11頁/共31頁第十一頁，共32頁。 limn討論討論(toln)級級數(shù)數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)(gnj)定理4可知:,10時當 x級數(shù)(j sh)收斂 ;,1時當 x級數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級數(shù)nn,1時當 x第12頁/共31頁第十二頁，共32頁。下頁v定理(dngl)5(根值審斂法 柯西判別法) 設(shè)1nnu為正項級數(shù), 如果nnnulim, 則當1 時級數(shù) 收斂 當1(或)時級數(shù)發(fā)散 當1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 所以 根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)(j

8、sh)收斂 因為(yn wi) 解 01lim 1lim lim nnunnnnnnn01lim 1lim lim nnunnnnnnn, 第13頁/共31頁第十三頁，共32頁。v定理(dngl)5(根值審斂法 柯西判別法) 設(shè)1nnu為正項級數(shù), 如果nnnulim, 則當1 時級數(shù) 收斂 當1(或)時級數(shù)發(fā)散 當1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 所以 根據(jù)根值審斂法可知(k zh)所給級數(shù)收斂 因為(yn wi) 解 21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu, 下頁第14頁/共31頁第十四頁，共32頁。時 , 級數(shù)(j sh)可能收斂也可能發(fā)散

9、.1例如(lr) , p 級數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n說明說明(shumng) :,1pnnu 但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。證明證明(zhngmng)級數(shù)級數(shù)11nnn收斂(shulin)于S ,似代替和 S 時所產(chǎn)生(chnshng)的誤差 . 解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級數(shù)收斂 .令,nnSSr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估計以部分和 Sn 近 第16頁/共31頁第十六頁，共32頁。v定理(dngl)6(極限

10、審斂法) 因為(yn wi) 解 根據(jù)極限(jxin)審斂法 知所給級數(shù)收斂 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun, 下頁第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。v定理(dngl)6(極限審斂法) 設(shè)1nnu為正項級數(shù), (1)如果)lim(0limnnnnnulnu或, 則級數(shù)1nnu發(fā)散 (2)如果 p1, 而)0( limllunnpn, 則級數(shù)1nnu收斂. 222232321)(211lim)cos1 (1limlimnnnnnnnunnnnn, 因為(yn wi) 解 根據(jù)

11、極限審斂法 知所給級數(shù)(j sh)收斂 首頁第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。設(shè)正項級數(shù)(j sh)1nnu收斂(shulin), 能否(nn fu)推出12nnu收斂 ?提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意:反之不成立.例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別(pnbi)級數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散(fsn) ,故原級數(shù)(j sh)發(fā)散 .(2)nlimnnn1lim111nn發(fā)散 ,故原級數(shù)發(fā)散 .

12、nnn1n1第20頁/共31頁第二十頁，共32頁。二、交錯(jiocu)級數(shù)及其審斂法v交錯(jiocu)級數(shù)v 交錯(jiocu)級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項是正負交錯(jiocu)的. 下頁 例如(lr) 第21頁/共31頁第二十一頁，共32頁。二、交錯(jiocu)級數(shù)及其審斂法v交錯(jiocu)級數(shù)v 交錯(jiocu)級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項是正負交錯(jiocu)的. 交錯級數(shù)的一般形式為11) 1(nnnu, 其中0nu. v定理(dngl)7(萊布尼茨定理(dngl) (1)unun1(n1, 2, 3, ) 則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un1

13、. 下頁第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。這是一個交錯(jiocu)級數(shù). 解 由萊布尼茨定理, 級數(shù)(j sh)是收斂的, 且其和su11,首頁則級數(shù)(j sh)收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un1. 如果交錯級數(shù)11) 1(nnnu滿足條件 v定理7(萊布尼茨定理) 因為此級數(shù)滿足 (n1, 2, ), (2)01limlimnunnn, 例 10 證明級數(shù) 1) 1(11nnn收斂, 并估計和及余項. 例12 第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。收斂(shulin)收斂(shulin)nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21

14、nn用用Leibnitz 判別判別(pnbi)法判別法判別(pnbi)下列級下列級數(shù)的斂散性數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。 三、絕對(judu)收斂與條件收斂v絕對(judu)收斂與條件收斂 下頁 若級數(shù)1|nnu收斂, 則稱級數(shù)1nnu絕對收斂 若級數(shù)1nnu 收斂, 而級數(shù)1|nnu發(fā)散, 則稱級1nnu條件收斂. 例如(lr) 第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。 三、絕對(judu)收斂與條件收斂v

15、絕對(judu)收斂與條件收斂 若級數(shù)1|nnu收斂, 則稱級數(shù)1nnu絕對收斂 若級數(shù)1nnu 收斂, 而級數(shù)1|nnu發(fā)散, 則稱級1nnu條件收斂. v定理8(絕對收斂(shulin)與收斂(shulin)的關(guān)系) 應注意的問題 下頁第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。 解 下頁 如果級數(shù)1nnu絕對收斂, 則級數(shù)1nnu必定收斂. v定理(dngl)8(絕對收斂與收斂的關(guān)系) 221|sinnnna, 而級數(shù)211nn是收斂的, 所以級數(shù) 是收斂的, 所以級數(shù) , 從而級數(shù)12sinnnna絕對收斂. 例 11 判別級數(shù)12sinnnna的收斂性. 例13 第27頁/共31頁第二十

16、七頁，共32頁。例例14. 證明證明(zhngmng)級數(shù)絕對級數(shù)絕對收斂收斂 :.) 1(12nnnen令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此(ync)12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂(shulin),絕對收斂.第28頁/共31頁第二十八頁，共32頁。結(jié)束(jish) 如果級數(shù)1nnu絕對收斂, 則級數(shù)1nnu必定收斂. v定理(dngl)8(絕對收斂與收斂的關(guān)系) 解 121)11 (lim21|limenunnnnn121)11 (lim21|limenunnnnn, 0limnnu, 因此級數(shù)12)11 (

17、21) 1(nnnnn發(fā)散. 例 12 判別級數(shù)12)11 (21) 1(nnnnn的收斂性. 例14 第29頁/共31頁第二十九頁，共32頁。2. ),3,2, 1(0nun設(shè), 1limnunn且則級數(shù)(j sh).() 1(11111nnuunn(A) 發(fā)散 ; (B) 絕對(judu)收斂;(C) 條件(tiojin)收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)條件(tiojin)不能確定.分析:, 1limnunn由,11nun知 (B) 錯 ;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)() 1(1111nnuun11111) 1(nunu第30頁/共31頁第三十頁，共32頁。感謝您的觀看(