萬有引力公式r是否是質(zhì)心間距

1、萬有引力定律公式F二GF中的r是兩物體質(zhì)心間的距離嗎？筆者在進行萬有引力定律的教學(xué)中，當(dāng)談到萬有引力定律公式的適用條件時，不少學(xué)生會認(rèn)為，公式中的 r可以理解為任意兩個物體質(zhì)心之間的距離。這種觀點是怎樣產(chǎn)生的？觀點正確嗎？下面我們就來分析這 些問題。觀點提出的依據(jù)按照常規(guī)教學(xué)，在學(xué)習(xí)萬有引力定律時，往往要討論該定律的適用條件。筆者向?qū)W生介紹了在以下幾種情 況下，可直接利用萬有引力定律的公式求解兩物體間的萬有引力：1、 萬有引力定律的公式適用于計算質(zhì)點間的萬有引力，此時萬有引力定律公式中的 r就是兩質(zhì)點間的距離。2、 萬有引力定律的公式也適用于計算兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的相互吸引力，這種情況等

2、效于把球體的質(zhì)量集中在球心處的質(zhì)點間的萬有引力的計算，式中的r是兩個球體球心間的距離。從這種情況也可以推出以下幾個推論：（1）質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ的兩個球體之間的萬有引力的計算。（2）質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ的兩個空心球體之間的萬有引力的計算。（3） 質(zhì)量分布均勻的球殼之間的萬有引力的計算。但要注意的是兩球殼球心之間的距離必須大于等于兩球殼的半徑之和。（可以證明：球殼對處于它內(nèi)部的物體的萬有引力為零。）3、萬有引力定律的公式也可以用來計算質(zhì)量分布均勻（或質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ）的球體（或空心球體、或球殼）與球外一個質(zhì)點間的萬有引力的計算，這時的r是質(zhì)點到球體球心間的距離。除了上述這些特殊的物體間的萬有引力，我們

3、可以直接利用萬有引力定律，對于其他物體間的萬有引力，我們應(yīng)該如何計算呢？對于這個問題的回答，不少學(xué)生都認(rèn)為：一般物體間的萬有引力的計算，可以把物體的質(zhì)量集中于一點， 即物體的質(zhì)心，然后可以直接由萬有引力定律公式進行計算，公式中的r就是兩物體質(zhì)心之間的距離。這種觀點正確嗎？*對觀點的分析C下面我們不妨舉一些例子來進行分析討論。例1、如圖所示，一長度為 L的質(zhì)量不計的輕桿兩端固定有質(zhì)量均為M的兩個小球A、B,在輕桿的垂直平分線上有一質(zhì)量為m的小球C，距0點的距離為d。試分析C球受到AB兩球的萬有引力的合力。正確的做法是：先求出 A、B兩球分別對C球產(chǎn)生的萬有引力的大小 F1和F2,然后求出這兩個萬

4、有引力 F1 和F2的合力Fo由萬有引力定律公式，有F1=F2=GF/=G對于這道例題我們也可以這樣分析F=2G變小所以 F=2F1cos9 =2G(2)若改變小球C到0點之間的距離，使容易得到F/與L的大小無關(guān)，即F/不變?nèi)菀椎玫紽/隨d的變大一直在A B兩球的質(zhì)量集中于(1)若使A、B兩小球之間的距離L變大，則它們對小球C的萬有引力F1、F2的大小都變小。又由于力F1、易得到：在d由零逐漸變大的過程中，合力F先大再變小，F(xiàn)有最大值。但是若把變小，結(jié)合前面得到的合力 F的表達(dá)式都變小。又由于力 F1、F2所夾的角度2 9球C的合力F/，由前面得到的F/的表達(dá)式F/=G質(zhì)心，求它們對小球 C的

5、合力F/，由前面得到的F/的表達(dá)式F/=G若按照質(zhì)心的觀點求解此題，把A、B兩球的質(zhì)量集中于它們的質(zhì)心即0點，求質(zhì)心 0處的質(zhì)量為2M的質(zhì)點對C球的萬有引力F/，則由萬有引力定律公式有F2所夾的角度2 9變大，所以F1與F2的合力F變?。坏侨舭?A B兩球的質(zhì)量集中于質(zhì)心，求它們對小d由零變大，則A B兩小球?qū)π∏駽的萬有引力F1、F2的大小由上面兩點分析可見，在該例中把物體的質(zhì)量集中于質(zhì)心來計算物體間的萬有引力與正確的方法求出物體 間的萬有引力不等。比較F與F/，只有L趨近于零時，F(xiàn)/近似等于F。而在一般情況下，F(xiàn)/>F?？梢娫谶@種情況中，不能把 A B兩小球的質(zhì)量集中于它們的質(zhì)心來

6、求它們對小球C的合力。心，容例2、如圖所示，有質(zhì)量為m半徑為R的質(zhì)量分布均勻的球體 A與用同種材料制成的半徑為 2均勻球體B, 兩球球心相距L,現(xiàn)在在球AR中靠近B球一邊與A球相切的挖一個半徑為 2的球形洞，三個球心在同一條連線上，求挖空后兩球間的萬有引力。本題可用填補法來做：設(shè) F為實心球A與B球之間的萬有引力，F(xiàn)1為被挖去一個球形洞后的 A球與B球之 間的萬有引力，F(xiàn)2為被挖去的球體在未挖去前與 B球之間的萬有引力。由于實心球A與B球之間的萬有引力F應(yīng)是被挖去一個球形洞后的 A球與B球之間的萬有引力 F1與挖去的那部分球體在未挖去前與B球之間的萬有引力F2之和，所以有F=F1+F2（ 1）

7、根據(jù)萬有引力定律可得1尤F=GL （ 2）in3(3)由式（1）（2）（3）可得g（Y）若按照質(zhì)心的觀點求解此題，將兩球的質(zhì)量集中于質(zhì)心后，再根據(jù)萬有引力定律求兩質(zhì)點間的引力先求A球被挖后剩余部分質(zhì)心 C的位置。設(shè)質(zhì)心 C距A球球心0為x,則有所以x=11將A球被挖后的剩余部分的質(zhì)量集中于質(zhì)心C，B球的質(zhì)量集中于它的球心，求得這兩個質(zhì)點間的萬有引力F1/為m Imx i 8 比較F1與F1/，有F1工F1/，可見在這種情況下，也不能把所求的兩個物體的質(zhì)量集中于質(zhì)心來求它們之 間的萬有引力。F1/=G(£ 1 丄)14例3、如圖所示，一長度為 L的質(zhì)量不計的輕桿兩端固定有質(zhì)量均為M的兩

8、個小球 A B,在輕桿上有一質(zhì)量為m的小球C，距A點的距離小于L2，試分析C球受到A B兩球的萬有引力的合力的方向。正確的做法是：先分析出 A、B兩球分別對C球產(chǎn)生的萬有引力 F1和F2的方向，然后分析出這兩個萬有引 力F1和F2的合力F的方向。C球受A球的萬有引力方向沿它們的連線向左， C球受B球的萬有引力方向沿它們的連線向右， 由于C球到 A球的距離小于C球到B球的距離，由萬有引力定律公式容易得到 F1大于F2,所以合力F方向跟F1方向相 同，即沿A、B兩球的連線向左。本題若按照質(zhì)心的觀點分析，把A、B兩球的質(zhì)量集中于它們的質(zhì)心即0點，則可得到小球 C受到的合力F/的方向沿A、B兩球的連線向右。上面兩種方法中的合力 F和F/的方向是不同的?？梢娫谶@種情況中，將兩物體的質(zhì)量集中于質(zhì)心來求萬有 引力是不正確的。三、分析得到的結(jié)論綜上所述，并不是在任何情況下都可以將物體的質(zhì)量集中在它們的質(zhì)心來求它們之間的萬有引力，這種觀 點是錯誤的。錯誤的原因是萬有引力的大小與兩質(zhì)點間距離r的平方成反比，可以假想若萬有引