列主消元法課程設(shè)計(jì)

1、數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)列主消元法解方程組院（系）名稱 信息工程學(xué)院 專 業(yè) 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 學(xué) 生 姓 名 指 導(dǎo) 教 師 2013 年 05 月 31日 數(shù)值分析 課程設(shè)計(jì)評(píng)閱書(shū)題目列主消元法解方程組學(xué)生姓名學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)及成績(jī)指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日答辯評(píng)語(yǔ)及成績(jī)答辯教師簽名： 年 月 日教研室意見(jiàn) 總成績(jī)： 教研室主任簽名：年 月 日課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū)20122013學(xué)年第二學(xué)期專業(yè)班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 課程設(shè)計(jì)名稱： 數(shù)值分析、 設(shè)計(jì)題目： 列主消元法解方程組 完成期限：自 2013 年 05月 21 日至2013年05 月31日共 10天設(shè)計(jì)依據(jù)、要求及主要內(nèi)容： 一、設(shè)計(jì)目的 熟練掌握

2、求解方程組的列主消元法，并應(yīng)用Matlab軟件編寫(xiě)列主消元法解方程組的程序，應(yīng)用列主消元法求解線性方程組. 二、設(shè)計(jì)內(nèi)容 (1) 掌握列主消元法的背景及其構(gòu)造原理；(2) 編寫(xiě)列主元高斯消去法和列主消元法的Matlab程序；(3) 調(diào)用編寫(xiě)的函數(shù)求解方程組；(4) 通過(guò)所學(xué)知識(shí)對(duì)列主消元法有一個(gè)充分的認(rèn)識(shí)并對(duì)該課程設(shè)計(jì)進(jìn)行總結(jié). 三、設(shè)計(jì)要求 1了解列主消元法的背景及構(gòu)造原理. 2正確編寫(xiě)列主消元法的MATLAB程序并調(diào)用求解方程組. 3. 對(duì)列主消元法求解方程組有一個(gè)充分認(rèn)識(shí)，并進(jìn)行總結(jié). 計(jì)劃答辯時(shí)間：2013年 06 月 5 日 工作任務(wù)與工作量要求： 查閱文獻(xiàn)資料不少于3篇，課程設(shè)計(jì)報(bào)

3、告1篇不少于3000字指導(dǎo)教師（簽字）： 教研室主任（簽字）： 批準(zhǔn)日期： 2013 年 05 月 20 日 課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)（論文） 第 II頁(yè)列主消元法解方程組摘 要 在自然科學(xué)和工程中有很多問(wèn)題的解決歸結(jié)為求解線性方程組或者非線性方程組的數(shù)學(xué)問(wèn)題。求解線性方程組的直接法主要有選主元高斯消去法、平方根法、追趕法等.列主元素消去法既是選主元高斯消去法的一種，也是實(shí)際計(jì)算中常用的部分選主元消去法.本文即是討論利用列主元素消去法求解線性方程組問(wèn)題.通過(guò)掌握的列主消元法的背景及構(gòu)造原理，編寫(xiě)MATLAB程序并調(diào)用函數(shù)成功求解線性方程組.并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析與討論，得到結(jié)果比之高斯法更為精確. 關(guān)鍵詞：

4、列主消元法,MATLAB,線性方程組 目 錄1 前 言12 列主元消去法的背景13 列主元消去法的構(gòu)造原理23.1 列主高斯消元法44 MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)54.1 列主高斯消元法75 算法分析9總結(jié)10參考文獻(xiàn)10 課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)（論文） 第 11 頁(yè)1 前言在科學(xué)研究和工程技術(shù)中有許多問(wèn)題可歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組，其中所產(chǎn)生的線性方程組，其系數(shù)矩陣大致可分為兩種：一種是低階稠密矩陣；另一類是大型稀疏矩陣（此類矩陣階數(shù)高，但零元素較多）.對(duì)于這兩種矩陣，我們可以把線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法大致的分為兩類：直接法和迭代法。迭代法一般用來(lái)求解大型稀疏矩陣方程組（本文不予討論）；直接法是目前計(jì)算機(jī)

5、上解低階稠密矩陣的有效方法，如果計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有舍入誤差，則此種方法通過(guò)有限步四則運(yùn)算可求的方程組的精確解，但實(shí)際計(jì)算中由于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得方程組的近似解.直接法主要有選主元素高斯消去法、平方根法、追趕法等。本文所要討論的列主元素消去法就是選主元素高斯消去法中的一種.2 列主元消去法的背景高斯消去法是一個(gè)古老的求解線性方程組的方法，也是解線性方程組問(wèn)題中較為常見(jiàn)的一種數(shù)值方法。但在采取高斯消去法解方程組時(shí)，當(dāng)采用絕對(duì)值很小的主元素時(shí)，可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的失敗，故在消去法中應(yīng)避免采用絕對(duì)值很小的主元素。對(duì)于一般的線性方程組，需要引進(jìn)選主元的技巧，即在高斯消去法的每一步應(yīng)該在系

6、數(shù)矩陣或消元后的低價(jià)矩陣中選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，保持乘數(shù) ，以便減少計(jì)算過(guò)程中舍入誤差對(duì)計(jì)算解的影響.選主元素消元法則是對(duì)高斯消去法的改進(jìn)，是解低價(jià)稠密矩陣方程組的有效方法。選主元素消元法則避免了采用絕對(duì)值很小的主元素.選主元素消去法主要有完全主元素消去法與列主元素消去法兩種。完全主元素消去法即是每次按行列選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，進(jìn)行行列交換，之后再完成消元計(jì)算.在完全主元素消去法計(jì)算過(guò)程中舍入誤差能得到有效的控制，對(duì)計(jì)算的影響較小，具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性.列主元素消去法則是對(duì)完全主元素消去法的又一次改進(jìn)。列主元素消去法在完全主元素消去法的基礎(chǔ)上減少了在選主元素時(shí)所要花費(fèi)的一定

7、的計(jì)算時(shí)間.此論文將介紹列主元消去法的基本思想和原理.3 列主元消去法的構(gòu)造原理設(shè)有線性方程組其中，為非奇異矩陣.方程組的增廣矩陣為:首先在的第1列選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，即選擇然后交換的第1行與第行（交換后增廣矩陣為簡(jiǎn)單起見(jiàn)仍記為，其元素仍記為）.經(jīng)過(guò)第1次消元計(jì)算得到與原方程組等價(jià)的方程組：其中 上述過(guò)程可記為 ：重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，現(xiàn)假設(shè)已完成第k-1步的選主元素過(guò)程，交換兩行并進(jìn)行消元計(jì)此時(shí)約化為：其中的元素仍記為，的元素仍記為.第k步選主元素（在右下角方陣的第1列內(nèi)選），即確定，使交換第行與行的元素，再進(jìn)行消元計(jì)算，最后將原線性方程組化為：回代可求解得：算法描述：對(duì)于k=1,2

8、,.n-1做到（4）.（1）按列選主元，即確定使（2）如果，則A為奇異矩陣，停止計(jì)算.（3）如果，則交換第行與第k行元素.（4）消元計(jì)算：（5）回代計(jì)算： 3.1 列主元高斯消去法設(shè)有線性方程組Ax=b，其中設(shè)A為非奇異矩陣。方程組的增廣矩陣為：第1步（k=1）：首先在A的第一列中選取絕對(duì)值最大的元素，作為第一步的主元素： 然后交換（A，b）的第1行與第l行元素，再進(jìn)行消元計(jì)算。 設(shè)列主元素消去法已經(jīng)完成第1步到第k-1步的按列選主元，交換兩行，消元計(jì)算得到與原方程組等價(jià)的方程組 A(k)x=b(k) 第k步計(jì)算如下： 對(duì)于k=1，2，n-1 （1）按列選主元：即確定t使 （2）如果tk，則交

9、換A，b第t行與第k行元素。 （3）消元計(jì)算 ：消元乘數(shù)mik滿足：|（4）回代求解：4 通過(guò)計(jì)算機(jī)利用列主元素消去法求解線性方程組計(jì)算機(jī)在科學(xué)和工程設(shè)計(jì)中應(yīng)用日益廣泛.把科學(xué)和工程設(shè)計(jì)中的具體問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立起能描述并等價(jià)代替該實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)問(wèn)題，編制出計(jì)算機(jī)程序，就能夠使得復(fù)雜問(wèn)題得到妥善的解決.下面及描述列主元消去法的程序過(guò)程.對(duì)于已給定的，其程序框圖如下：輸入n, ，按列選主元否換行否消元計(jì)算是是輸出停 機(jī)回代求解 （當(dāng)）輸出計(jì)算解及行列式值及det停 機(jī)（注：為矩陣的行數(shù)；為輸入的一精度，用于判斷的行列式是否約等于0）4.1 列主高斯消元法主程序如下：function RA,

10、RB,n,x=gaus(A,b) %列主高斯消元法求解Ax=b.%A為方程組所構(gòu)成的矩陣.%b為方程組的結(jié)構(gòu)構(gòu)成的列矩陣.B=A,b; %B為增廣矩陣.n=length(b); %n為矩陣b的長(zhǎng)度.RA=rank(A); %RA為矩陣A的秩.RB=rank(B); %RB為矩陣B的秩.zhicha=RB-RA;if zhicha>0 %利用B的秩與A的秩之差判斷方程組有無(wú)解 disp('因?yàn)镽A=RB，所以方程無(wú)解') returnendif RA=RB %系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩 if RA=n disp('因?yàn)镽A=RB=n.所以方程有唯一解.')

11、%系數(shù)矩陣的秩（增廣矩陣的秩）等于未知量的個(gè)數(shù) x=zeros(n,1); c=zeros(1,n+1); for p=1:n-1 for k=p+1:n l=B(k,p)/B(p,p); B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-l*B(p,p:n+1); %將B化為階梯型 end end b=B(1:n,n+1); A=B(1:n,1:n); x(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 x(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)/A(q,q);%回代過(guò)程（在消元過(guò)程中一次利用后一方程的解代入前一方程將解逐個(gè)解求出的過(guò)程） end else

12、disp('因?yàn)镽A=RB<n.所以方程有無(wú)窮解.') endend使用主程序求解方程組，例如：上述例題，調(diào)用函數(shù)求解：A=1 -1 1 -3;0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1;b=1 0 -1 -1'RA,RB,n,x=gaus(A,b)結(jié)果如下：因?yàn)镽A=RB=n.所以方程有唯一解.RA= 4RB= 4n= 4x= 0 -0.5000 0.5000 0列主元消去法具有較高的計(jì)算精度，可以有效地減少運(yùn)行過(guò)程中帶來(lái)的誤差。5 算法分析列主高斯消元法是高斯消去法的改進(jìn)，高斯消去法的主要思路是將系數(shù)矩陣A化為上三角矩陣，然后回代求解.高斯消元

13、法簡(jiǎn)單易行，且計(jì)算量較小，但順序高斯消去法只適用于從1到n-1階順序主子式均不為0的矩陣A，當(dāng)主元素為0時(shí)，順序高斯消去法不能進(jìn)行；且出現(xiàn)小主元時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度們甚至導(dǎo)出錯(cuò)誤的結(jié)果.例如：用高斯消去法求解，則消元過(guò)程矩陣表示為：回代求解得：=0.5000，=0.0000比較準(zhǔn)確解：=0.499998.，=0.250001比較嚴(yán)重失真.而列主元高斯消元法比之普通的高斯消去法要多一些比較運(yùn)算，但是比普通的高斯消去法要穩(wěn)定的多.所以列主元高斯消去法是目前直接發(fā)的所選算法.總 結(jié)通過(guò)一段時(shí)間的不懈努力，數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)終于完成通過(guò)這次課程設(shè)計(jì)，我收獲了很多，也學(xué)習(xí)很多在設(shè)計(jì)過(guò)程中，使我把理

14、論的知識(shí)與實(shí)踐結(jié)合到了一起，達(dá)到了理論與實(shí)踐的結(jié)合此外，也提高了自己的動(dòng)手能力在程序編譯過(guò)程中一直都有出錯(cuò)，通過(guò)查找資料，并通過(guò)MATLAB編譯程序也經(jīng)常出錯(cuò)，不過(guò)經(jīng)過(guò)兩天努力也終于得到了有效且正確的程序.而在這過(guò)程中也深刻認(rèn)識(shí)到了自己在程序編輯上的不足，以后也應(yīng)該加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí).在設(shè)計(jì)過(guò)程中，我也了解到了列主消元法的一些知識(shí)。列主元素消去法的提出有效的控制了舍入誤差的擴(kuò)散，且相對(duì)于完全主元素消去法，其選主元素比較方便。，利用列主元素消去法解線性方程組時(shí)僅需要選出每列中絕對(duì)值最大的元素，計(jì)算量為，也了解到了列主消元法比高斯消元法的結(jié)果更加精確，從上面的例題可看出，利用計(jì)算機(jī)來(lái)求解方程組大大的減少了計(jì)算時(shí)間.當(dāng)然，利用計(jì)算機(jī)來(lái)解決工程實(shí)際和科學(xué)技術(shù)中的復(fù)雜問(wèn)題，也是21世紀(jì)現(xiàn)代化的要求.把建立好的數(shù)學(xué)模型用計(jì)算機(jī)描述出來(lái)，這不僅使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，還大大的縮減了計(jì)算所需的時(shí)間，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的緊密結(jié)合.在以后的工作生活中我們要學(xué)會(huì)善于利用計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，減少計(jì)算時(shí)間，提高工作的效率.利用MATLAB軟件編寫(xiě)高斯消元法求解線性方程組是一種比較好的方法，并且求