北師大版高中數(shù)學必修1知識點總結

1、高中數(shù)學必修 1 知識點第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1 】集合的含義與表示（1）集合的概念把某些特定的對象集在一起就叫做集合.（2）常用數(shù)集及其記法N 表示自然數(shù)集，NR 表示實數(shù)集.*或 N 表示正整數(shù)集，Z 表示整數(shù)集，Q 表示有理數(shù)集， +（3）集合與元素間的關系對象 a 與集合 M 的關系是 a ÎM ，或者 a ÏM ，兩者必居其一.（4）集合的表示法1 自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.2 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合. 描述法： x | x 具有的性質(zhì)，其中 x 為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合

2、的分類含有有限個元素的集合叫做有限集 .含有無限個元素的集合叫做無限集 . 不含有任何元素的集合叫做空集( Æ ).【1.1.2 】集合間的基本關系（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖(1)A Í AA Í B子集（或B Ê A)A 中的任一元 (2) Æ Í A素都屬于 B(3) 若 A Í B 且 B ÍC ，則A(B)或B AA ÍC高中數(shù)學(4) 若 A Í B 且 B Í A ，則 A =B（1） ÆÌ A （A 為非空子真子集A Ì

3、;B¹（或 BÉA）A Í B ，且 B中 至 少 有 一 元素不屬于 A¹集）(2) 若 A ÌB 且 B ÌC ，則¹ ¹B A¹A ÌC¹集合相等A =BA 中的任一元 素都屬于 B， B 中的任一元(1) A ÍB(2) B ÍAA(B)素都屬于 A（7）已知集合 A 有 n ( n ³1) 個元素，則它有 2 n 個子集，它有 2 n -1個真子集，它有 2 n -1個非空子集，它有 2 n -2 非空真子集 .【1.1.3 】集合的基本運算（8

4、）交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖（1） A I A =A交A I Bx | x Î A, 且（2） A I Æ =Æ集x ÎB（3） A I B Í AA BA I B Í B B A B = A （1） A U A =A并集A U Bx | x Î A, 或x ÎB（2） A U Æ =AA B（3） A U B Ê A高中數(shù)學 (uA) A = U,補集AU B Ê BA B A B = B （uA） A = ,uA x | x ÎU , 且x Ï A3

5、 u(uA) = A,4 u(A B) = (uA) (uB), u(A B) = (uA) (uB) 集合的運算律：交換律： A I B =B I A; A U B =B U A.結合律:分配律:( A I B ) IC = A I( B IC ); ( A U B ) UC = A U( B UC )A I( B UC ) =( A I B ) U( A IC ); A U( B IC ) =( A U B ) I( A UC )0-1 律： F I A =F, F U A =A, U I A =A, U U A =U 等冪律： A I A = A, A U A = A.求補律：AuA =

6、 ACuA=UuU = u = U反演律：u(AB)=(uA)(uB)u(AB)=(uA)(uB)第二章函數(shù)§1 函數(shù)的概念及其表示一、映射1 映射：設 A、B 是兩個集合，如果按照某種對應關系 f，對于集合 A 中的 元 素，在集合 B 中都有 元素和它對應，這樣的對應叫做 到 的映射，記作 .2 象與原象：如果 f:AB 是一個 A 到 B 的映射，那么和 A 中的元素 a 對應的 叫做象， 叫做原象。二、函數(shù)1 定義：設 A、B 是 ，f:AB 是從 A 到 B 的一個映射，則映射 f:AB 叫 做 A 到 B 的 ，記作 .2 函數(shù)的三要素為 、 、 ，兩個函數(shù)當且僅當 分別

7、相同 高中數(shù)學時，二者才能稱為同一函數(shù)。3函數(shù)的表示法有 、 、 。§2 函數(shù)的定義域和值域一、定義域：1函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式的集合.2常見的三種題型確定定義域：1 已知函數(shù)的解析式，就是 .2 復合函數(shù) f g(x)的有關定義域，就要保證內(nèi)函數(shù) g(x)的域是外函數(shù) f (x)的域.實際應用問題的定義域，就是要使得 二、值域：1函數(shù) yf (x)中，與自變量 x 的值有意義的自變量的取值集合.的集合.2常見函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮 ，取決于 ，常 用的方法有：觀察法；配方法；反函數(shù)法；不等式法；單調(diào)性法；數(shù)形法；判別式法；有界性法；換元法（又分為 法）法和例如： 形如 y1

8、1 +x2，可采用法； y2 x +1 2 ( x ¹- )2 x +2 3，可采用法或法； yaf (x)2bf (x)c，可采用法； yx1 -x，可采用法； yx1 -x2，可采用法； ysin x2 -cos x可采用法等.§3 函數(shù)的單調(diào)性一、單調(diào)性1定義：如果函數(shù) yf (x)對于屬于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值 x 、x ，當 x <x 時，都有 ，則稱 f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，1、 2 1、 2而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個 ；都有 ，則稱 f (x)在這 個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個 .高中數(shù)學若函數(shù) f(x)在整個定義

9、域 l 內(nèi)只有唯一的一個單調(diào)區(qū)間，則 f(x)稱為 . 2判斷單調(diào)性的方法：(1) 定義法，其步驟為： ； ； .(2) 導 數(shù) 法 ， 若 函 數(shù) y f (x) 在 定 義 域 內(nèi) 的 某 個 區(qū) 間 上 可 導 ， 若 ，則 f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；若 ，則 f (x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù).二、單調(diào)性的有關結論1若 f (x), g(x)均為增(減)函數(shù)，則 f (x)g(x) 2若 f (x)為增(減)函數(shù)，則f (x)為 ；函數(shù)；3互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有的單調(diào)性；4 復合函數(shù) yf g(x)是定義在 M 上的函數(shù)，若 f (x)與 g(x)的單調(diào)相同， 則 f g(x)為

10、，若 f (x), g(x)的單調(diào)性相反，則 f g(x)為 .5 奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 ，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào) 性 .§4 函數(shù)的奇偶性1奇偶性： 定義：如果對于函數(shù) f (x)定義域內(nèi)的任意 x 都有 ，則稱 f (x)為奇函數(shù)；若 ，則稱 f (x)為偶函數(shù).如果函數(shù) f (x)不具有上述性質(zhì)，則 f (x) 不具有 . 如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則 f (x) . 簡單性質(zhì)：1） 圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于 2） 函數(shù) f(x)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于 2 與函數(shù)周期有關的

11、結論：對稱.對稱.已知條件中如果出現(xiàn) f ( x +a ) =-f ( x )、或 f ( x +a ) f ( x) =m （ a、 m均為非零常數(shù)， a >0 ），都可以得出 f ( x)高中數(shù)學的周期為 ；n- y = f ( x)的圖象關于點 ( a,0), (b,0)中心對稱或 y = f ( x)的圖象關于直線x =a , x =b軸對稱，均可以得到 f ( x )周期第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) §1 正整數(shù)指數(shù)函數(shù)§2指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)1正整數(shù)指數(shù)函數(shù)函數(shù) yax(a>0，a1，xN )叫作_指數(shù)函數(shù)；形如 ykax(kR，a>0，且 a1

12、)的函數(shù)稱為_函數(shù)2分數(shù)指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪的定義：給定正實數(shù) a，對于任意給定的整數(shù) m，n(m，n 互素)，m m存在唯一的正實數(shù) b，使得 bnam，我們把 b 叫作 a 的 次冪，記作 b a n；m(2)正分數(shù)指數(shù)冪寫成根式形式： a nn am(a>0)；m(3)規(guī)定正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a n nN ，且 n>1)；_(a>0，m、(4)0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于_，0 的負分數(shù)指數(shù)冪_ 3有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aman_(a>0)；(2)(am)n_(a>0)；(3)(ab)n_(a>0，b>0)§3指數(shù)函數(shù)(一)1

13、指數(shù)函數(shù)的概念一般地，_叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域 是_2指數(shù)函數(shù) yax(a>0，且 a1)的圖像和性質(zhì)a>1 0<a<1高中數(shù)學Na圖像定義域值域過定點R(0，)過點_，即 x_時，y_性 函數(shù)值 當 x>0 時，_； 當 x>0 時，_；質(zhì) 的變化 當 x<0 時，_當 x<0 時，_單調(diào)性是 R 上的_是 R 上的_§4對數(shù)(二)1對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a>0，且 a1，M>0，N>0，則：(1)log (MN)_；aM(2)log _；a(3)log Mn_(nR)a2對數(shù)換底公式log N

14、log N (a，b>0，a，b1，N>0)；b log ba特別地：log b·log a_(a>0，且 a1，b>0，且 b1)a b§5對數(shù)函數(shù)(一)1 對數(shù)函數(shù)的定義 ：一般地，我們把 _叫 做對數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是_為常用 對數(shù)函數(shù)；y_為自然對數(shù)函數(shù).2 對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)定義底數(shù)ylog x (a>0，且 a1) aa>1 0<a<1高中數(shù)學圖像定義域 _值域 _單調(diào)性 在(0，)上是增函數(shù) 在(0，)上是減函數(shù) 共點性 圖像過點_，即 log 10ax(0,1)時， x(0,1)時，函數(shù)

15、值 y_； y_； 特點 x1，)時， x1，)時，對稱性3.反函數(shù)y_.函數(shù) ylog x 與 y loga1ay_.x 的圖像關于_對稱對數(shù)函數(shù) ylog x(a>0 且 a1)和指數(shù)函數(shù)_互為反函a數(shù)第四章函數(shù)應用§1函數(shù)與方程1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在2 函數(shù) yf(x)的零點就是方程 f(x)0 的實數(shù)根，也就是函數(shù) yf(x)的 圖像與 x 軸的交點的橫坐標3 方程 f(x)0 有實數(shù)根函數(shù) yf(x)的圖像與 x 軸有_函數(shù) yf(x)有_4函數(shù)零點的存在性的判定方法如果函數(shù) yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的 函數(shù)值符號相反，即 f(a)·f(b)_0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù) yf(x) 至少有一個零點，即相應的方程 f(x)0 在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解1.21二分法的概念 高中數(shù)學利用二分法求方程的近似解每次取區(qū)間的中點，將區(qū)間_，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小 區(qū)間的方法稱為二分法由函數(shù)的零點與相應方程根的關系，可用二分法來 _ 2用二分法求函數(shù) f(x)零點近似值的步驟(給定精確度 )(1) 確定區(qū)間a，b，使_(2) 求區(qū)間(a，b)的中點，x _.1(3)計算 f(x )