2022年2022年分解因式全部方法

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分解因式全部方法因式分解沒有普遍的方法,中學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法.公式法；而在競(jìng)賽上,又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法,分組分解法和十字相乘法,待定系數(shù)法,雙十字相乘法,對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法,余數(shù)定理法,求根公式法,換元法,長(zhǎng)除法,除法等；留意三原就1 分解要完全2 最終結(jié)果只有小括號(hào)3 最終結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：-3x2+x=-x3x-1 ）編輯本段 基本方法提公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式；假如一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提出來,從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法；詳細(xì)方

2、法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都為整數(shù)時(shí), 公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式, 多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的；假如多項(xiàng)式的第哪一項(xiàng)負(fù)的,一般要提出 “-”號(hào),使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)；提出 “-”號(hào)時(shí),多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)；口訣：找準(zhǔn)公因式,一次要提凈；全家都搬走,留1 把家守；提負(fù)要變號(hào),變形看奇偶；例如： -am+bm+cm=-ma-b-c；ax-y+by-x=ax-y-bx-y=x-ya-b；留意：把 2a2+1/2變成 2a2+1/4 不叫提公因式公式法假如把乘法公式反過來,就可以把某些多項(xiàng)式分解因式,這種方法叫公式法；平方差公式

3、： a2-b2=a+ba-b；完全平方公式： a2±2ab b2a ±b2 ；留意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必需為三項(xiàng)式,其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù) 或式的平方和的形式,另哪一項(xiàng)這兩個(gè)數(shù)或式的積的 2 倍；立方和公式： a3+b3=a+ba2-ab+b2；立方差公式： a3-b3=a-ba2+ab+b2；完全立方公式： a3±3a2b 3ab2±b3=a ±b3 公式： a3+b3+c3-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ca1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例如： a2 +4ab+4b2 =a+2b2；（3

4、）分解因式技巧1.分解因式與整式乘法為互為逆變形；2.分解因式技巧把握：等式左邊必需為多項(xiàng)式；分解因式的結(jié)果必需為以乘積的形式表示；每個(gè)因式必需為整式,且每個(gè)因式的次數(shù)都必需低于原先多項(xiàng)式的次數(shù)；分解因式必需分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；注：分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前, 應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮；3.提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：第一步找公因式可根據(jù)確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；其次步提公因式并確定另一個(gè)因式, 留意要確定另一個(gè)因式, 可用原多項(xiàng)式除以公因式, 所得的商即為提公因式后剩下的一個(gè)因式, 也可用公因式分別除去原

5、多項(xiàng)式的每一項(xiàng),求的剩下的另一個(gè)因式；提完公因式后,另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；編輯本段 競(jìng)賽用到的方法分組分解法分組分解為解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法,我們來學(xué)習(xí)這個(gè)學(xué)問；能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng),一般的分組分解有兩種形式： 二二分法,三一分法；比如：ax+ay+bx+by=ax+y+bx+y=a+bx+y我們把 ax 和 ay 分一組, bx 和 by 分一組,利用乘法安排律,兩兩相配,立刻解除了困難；同樣,這道題也可以這樣做；ax+ay+bx+by=xa+b+ya+b=a+bx+y幾道例題：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法： =5xa+b+3ya+b=5x+3ya+b說

6、明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax 和 5bx 看 成整體,把 3ay 和 3by 看成一個(gè)整體,利用乘法安排律輕松解出；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. x3-x2+x-1解法： =x3-x2+x-1=x2x-1+ x-1=x-1x2+1利用二二分法,提公因式法提出x2 ,然后相合輕松解決； 3. x2-x-y2-y解法： =x2-y2-x+y=x+yx-y-x+y=x+yx-y-1利用二二分法,再利用公式法a2-b2=a+ba-b ,然后相合解決；十字相乘法這種方法有兩種情形；x2+p+qx+pq型的式子的因式分解這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)為：二次項(xiàng)的系數(shù)

7、為1；常數(shù)項(xiàng)為兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和；因此,可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)為1 的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+p+qx+pq=x+px+qkx2+mx+n型的式子的因式分解假如有 k=ac ,n=bd ,且有 ad+bc=m 時(shí),那么kx2+mx+n=ax+bcx+d圖示如下：×c d例如：由于1 -3×7 2-3 ×7=-21 ,1×2=2 ,且 2-21=-19 ,所以 7x2-19x-6=7x+2x-3十字相乘法口訣：首尾分解,交叉相乘,求和湊中拆項(xiàng).添項(xiàng)法這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng) （或幾項(xiàng)） ,使原式

8、適合于提公因式法. 運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解； 要留意, 必需在與原多項(xiàng)式相等的原就下進(jìn)行變形；例如： bcb+c+cac-a-aba+b=bcc-a+a+b+cac-a-aba+b=bcc-a+bca+b+cac-a-aba+b=bcc-a+cac-a+bca+b-aba+b=bc+cac-a+bc-aba+b3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=cc-ab+a+ba+bc-a=c+bc-aa+b 配方法對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式,可以將其配成一個(gè)完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法；屬于拆項(xiàng).補(bǔ)項(xiàng)法的一 種特別情形；也要留意必需在與原多

9、項(xiàng)式相等的原就下進(jìn)行變形；例如： x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=x+1.52-6.52=x+8x-5 應(yīng)用因式定理對(duì)于多項(xiàng)式 fx=0 ,假如 fa=0 ,那么 fx 必含有因式x-a例如： fx=x2+5x+6 ,f-2=0 ,就可確定x+2 為 x2+5x+6 的一個(gè)因式； 事實(shí)上, x2+5x+6=x+2x+3 留意：1.對(duì)于系數(shù)全部為整數(shù)的多項(xiàng)式,如x=q/p （p、q 為互質(zhì)整數(shù)時(shí)）該多項(xiàng)式值為零,就q 為常數(shù)項(xiàng)約數(shù), p 最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)；2.對(duì)于多項(xiàng)式fa=0、b 為最高次項(xiàng)系數(shù),c 為常數(shù)項(xiàng),就有a 為 c/b 約 數(shù)換元法有時(shí)在分解因式時(shí), 可以挑選多項(xiàng)

10、式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù),然后進(jìn)行因式分解,最終再轉(zhuǎn)換回來,這種方法叫做換元法；留意:換元后勿忘仍元 .例如在分解 x2+x+1x2+x+2-12 時(shí),可以令y=x2+x、就 原式=y+1y+2-12=y2+3y+2-12=y2 +3y-10=y+5y-2=x2+x+5x2+x-2=x2+x+5x+2x-1 也可以參看右圖；求根法4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令多項(xiàng)式 fx=0、 求出其根為x1,x2 ,x3 ,xn,就該多項(xiàng)式可分解為 fx=x-x1x-x2x-x3x-xn例如在分解 2x4+7x3-2x2-13x+6時(shí),令 2x4 +7x3-2x2-13x+6=0

11、,就通過綜合除法可知,該方程的根為0.5, -3,-2, 1所以 2x4+7x3-2x2-13x+6=2x-1x+3x+2x-1圖象法令 y=fx ,做出函數(shù)y=fx 的圖象,找到函數(shù)圖像與x 軸的交點(diǎn)x1 、x2 、x3 、x,n就多項(xiàng)式可因式分解為fx= fx=x-x1x-x2x-x3x-xn 與方法相比,能躲開解方程的繁瑣,但為不夠精確；例如在分解 x3 +2x2-5x-6時(shí),可以令y=x3; +2x2 -5x-6.作出其圖像,與x 軸交點(diǎn)為 -3 ,-1,2就 x3+2x2-5x-6=x+1x+3x-2主元法先選定一個(gè)字母為主元, 然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列,再進(jìn)行因式分解；

12、特別值法將 2 或 10 代入 x,求出數(shù)p,將數(shù) p 分解質(zhì)因數(shù),將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合,并 將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2 或 10 的和與差的形式, 將 2 或 10 仍原成 x,即得因式分解式；例如在分解 x3+9x2+23x+15時(shí),令 x=2,就 x3 +9x2+23x+15=8+36+46+15=105,將 105 分解成 3 個(gè)質(zhì)因數(shù)的積,即105=3×5×7 留意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1,而 3.5.7 分別為 x+1, x+3 ,x+5,在x=2 時(shí)的值,就 x3+9x2+23x+15可能等于 x+1x+3x+5 ,驗(yàn)證后的確如此；待定系數(shù)法第一判定出分解因式

13、的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項(xiàng)式因式分解；5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例如在分解 x4-x3-5x2-6x-4時(shí),由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個(gè)二次因式；于為設(shè) x4-x3-5x2-6x-4=x2+ax+bx2+cx+d=x4+a+cx3+ac+b+dx2+ad+bcx+bd由此可得 a+c=-1 , ac+b+d=-5 , ad+bc=-6 ,bd=-4 解得 a=1 ,b=1, c=-2 , d=-4就 x4-x3-5x2-6x-4=x2+x+1x2-2x-4也可以參看右圖；雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類

14、,類似于十字相乘法；雙十字相乘法就為二元二次六項(xiàng)式,啟始的式子如下:ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx.y 為未知數(shù),其余都為常數(shù)用一道例題來說明如何使用；例：分解因式： x2+5xy+6y2+8x+18y+12分析：這為一個(gè)二次六項(xiàng)式,可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解；解：圖如下,把全部的數(shù)字交叉相連即可x 2y 2x 3y 6原式 =x+2y+2x+3y+6 雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2 次項(xiàng),如十字相乘圖中x2+5xy+6y2=x+2yx+3y；先依一個(gè)字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)；如十字相乘圖中 6y2+18y+12=2y+23y+6；再按另一個(gè)字母（如x）的

15、一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn),如十字相乘圖,這一步不能省,否就簡(jiǎn)單出錯(cuò)；編輯本段 多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：假如多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么先提公因式；假如各項(xiàng)沒有公因式,那么可嘗試運(yùn)用公式.十字相乘法來分解；假如用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組.拆項(xiàng).補(bǔ)項(xiàng)法來分解；分解因式,必需進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載也可以用一句話來概括：“先看有無公因式,再看能否套公式；十字相乘試一試,分組分解要合適；” 幾道例題1分解因式 1+y2-2x21+y2+x41-y2解：原式 =1+y2+21+yx21-y+x41-y2-21+yx21-y-2x21+y

16、2（補(bǔ)項(xiàng)）=1+y+x21-y2-21+yx21-y-2x21+y2（完全平方）=1+y+x21-y2-2x2=1+y+x21-y+2x1+y+x21-y-2x=x2-x2y+2x+y+1x2-x2y-2x+y+1=x+12-yx2-1x-12-yx2-1=x+1x+1-xy+yx-1x-1-xy-y 2求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x、y,下式的值都不會(huì)為33： x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5解：原式 =x5+3x4y-5x3y2+15x2y3+4xy4+12y5=x4x+3y-5x2y2x+3y+4y4x+3y=x+3yx4-5x2y2+4y4=x+3yx2-4y2x2-

17、y2=x+3yx+yx-yx+2yx-2y（分解因式的過程也可以參看右圖；）當(dāng) y=0 時(shí),原式 =x5 不等于 33 ；當(dāng) y 不等于 0 時(shí), x+3y , x+y,x-y ,x+2y , x-2y 互不相同,而33 不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積,所以原命題成立；3. abc 的三邊 a.b.c 有如下關(guān)系式： -c2+a2+2ab-2bc=0,求證：這個(gè)三角形為等腰三角形；分析：此題實(shí)質(zhì)上為對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；證明： -c2+a2+2ab-2bc=0,a+ca-c+2ba-c=0a-ca+2b+c=0 a.b.c 為 abc 的三條邊,a2b c 0ac0,即 ac,

18、 abc 為等腰三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4把-12x2n ×yn+18xn+2yn+1-6xn解： -12x2n ×yn+18xn+2yn+1-6xny×n-1 分解因式；y×n-1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=-6xn ×yn-12xn編輯本段 因式分解四個(gè)留意：y×-3x2y2+1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因式分解中的四個(gè)留意,可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù),各項(xiàng)有“公”先提“公”,某項(xiàng)提出莫漏1,括號(hào)里面分到 “底”；現(xiàn)舉下例可供參考例 1把 a2 b2 2ab 4 分解因式；解： a2 b22ab 4（ a2 2ab b2 4）（ ab2）（ a b 2）7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這里的 “負(fù)”,指“負(fù)號(hào)