2022年2022年北師大版數(shù)學九年級上冊知識點歸納

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習好資料歡迎下載北師大版數(shù)學 （九年級上冊）學問點歸納第一章 證明（二）一.公理 （ 1）三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“sss”）；（ 2）兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“sas”）；（ 3）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“asa ”） ；（ 4）全等三角形的對應邊相等.對應角相等；推論：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或 “aas ”） ；二.等腰三角形1.等腰三角形的性質（ 1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）（ 2）等腰三角形頂角的

2、平分線.底邊上的中線.底邊上的高相互重合（三線合一）；等腰三角形的其他性質：等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°等腰三角形的底角只能為銳角,不能為鈍角（或直角）,但頂角可為鈍角（或直角）；等腰三角形的三邊關系：設腰長為a,底邊長為b,就 b <a2等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為a ,底角為 b . c,就 a=180 ° 2180ab , b= c=22.等腰三角形的判定1假如一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱： 等角對等邊） ；2有兩條邊相等的三角形為等腰三角形.三.等邊三角形性質：（1）等邊三角形的三個角都相等,并且每個角都等于60

3、°；（ 2）三線合一判定：（1）三條邊都相等的三角形為等邊三角形（ 2）三個角都相等的三角形為等邊三角形（ 3）：有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形； 四.直角三角形（一）.直角三角形的性質1.直角三角形的兩個銳角互余2.在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4.勾股定理：直角三角形兩直角邊a,b 的平方和等于斜邊c 的平方,即 a 2b2c2其它性質：1.直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個三角形和原三角形相像；2.常用關系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積 =斜邊與斜邊上的高的積（二）.直

4、角三角形的判定1.有一個角為直角的三角形為直角三角形；2.假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形為直角三角形；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習好資料歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長a,b, c 有關系 a 2b 2c 2 ,那么這個三角形為直角三角形；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（三）直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形,判定它們全等時,仍有hl 定理（斜邊.直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊.直角邊”或“hl ”）五.角的平分線及其性質

5、與判定1.角的平分線：從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線；2.角的平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理：三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等；3.角的平分線的判定定理：在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；六.線段垂直平分線的性質與判定1.線段的垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線為這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等； 線段垂直

6、平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上；七.反證法八.互逆命題.互逆定理1.在兩個命題中,假如一個命題的條件和結論分別為另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題；2.假如一個定理的逆命題經過證明為真命題,那么它也為一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱為另一個定理的逆定理；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習好資料歡迎下載第一章一元二次方程一.一元二次方程（一）.一元二次方程定義含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2 的整式方程叫做一元二次方程；（二）.一元二次方程的一般形式精品學習資料

7、精選學習資料 - - - 歡迎下載2axbxc0a0 ,它的特點為：等式左邊為一個關于未知數(shù)x 的二次多項式,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載等式右邊為零,其中ax 2 叫做二次項,a 叫做二次項系數(shù)；bx 叫做一次項,b 叫做一次項系精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載數(shù)； c 叫做常數(shù)項；二.一元二次方程的解法1.直接開平方法直接開平方法適用于解形如xa 2b 的一元二次方程； 當 b0 時, xab ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料

8、- - - 歡迎下載xab；當 b<0 時,方程沒有實數(shù)根；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.配方法一般步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 1）方程ax 2bxc0 a0 兩邊同時除以a、將二次項系數(shù)化為1.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊；（ 3）所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 4）配方,化成 xa 2b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 5）開方；

9、當b0 時, xab ；當 b<0 時,方程沒有實數(shù)根；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.公式法公式法為用求根公式解一元二次方程的解的方法,它為解一元二次方程的一般方法；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載一元二次方程ax 2bxc0a0 的求根公式：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bb2x2a4acb 24ac0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4.因式分解法一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法（主要包括 “提公因式”和“十字相乘”）；補充 1：一元二次方程根的

10、判別式根的判別式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1.定義：一元二次方程ax 2bxc0 a0 中, b 24 ac叫做一元二次方程精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ax 2bxc0a0 的根的判別式；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.性質：當b 24ac 0 時,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b 24ac 0 時,方程精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習好資料歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載有兩個相等的實數(shù)根；當b 24ac 0

11、 時,方程沒有實數(shù)根；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載補充 2：一元二次方程根與系數(shù)的關系精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x1x2如 果 方 程c；aax2bxc0a0 的 兩 個 實 數(shù) 根 為x1, x2b, 那 么 x1x2,a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載補充 3： 一元二次方程的根與系數(shù)的關系的作用：（ 1）已知方程的一根,求另一根；2（ 2）不解方程,求二次方程的根x1.x2 的對稱式的值,特殊留意以下公式：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載xx2212 x1x 22 x1 x211x1x2精品學習資料精選學習資料 - - -

12、 歡迎下載x1x2x1x2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 x12x2 x12x2 4 x1 x2 | x1x2 |x1x 24x1 x2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2其他能用x1x2 或x1 x2表達的代數(shù)式；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（3）已知方程的兩根x1.x2,可以構造一元二次方程：xx1x2 xx1x20精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2（ 4 ）已知兩數(shù)x1 . x 2 的和與積,求此兩數(shù)的問題,可以轉化為求一元二次方程精品學

13、習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1x 2xx2 xx1x20 的根精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三.利用方程來解應用題時,主要分為兩個步驟：設未知數(shù)；查找等量關系其次章證明（三）一.平行四邊形1 .平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；2.平行四邊形的性質（ 1）平行四邊形的對邊平行且相等；（ 2）平行四邊形相鄰的角互補,對角相等（ 3）平行四邊形的對角線相互平分；（ 4）平行四邊形為中心對稱圖形,對稱中心為對角線的交點；常用點：（ 1）如始終線過平行四邊形兩對角線的交點,就這條直線被一組對邊截下的線段的中點為對角線的交點,并且這條直線二等分此平行四邊

14、形的面積；（ 2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等； 3.平行四邊形的判定（ 1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形（ 2）定理 1：兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形（ 3）定理 2：兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形（ 4）定理 3：對角線相互平分的四邊形為平行四邊形（ 5）定理 4：一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形4.平行四邊形的面積s 平行四邊形 =底邊長×高 =ah精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習好資料歡迎下載二.矩形1.矩形的定義有一個角為直角的平行四邊形叫做矩形；2.矩形的性質（ 1）矩形的對邊平行且相等（ 2）矩形的四個角都為直

15、角（ 3）矩形的對角線相等且相互平分（ 4）矩形既為中心對稱圖形又為軸對稱圖形；對稱中心為對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條,為對邊中點連線所在的直線；3.矩形的判定（ 1）定義：有一個角為直角的平行四邊形為矩形（ 2）定理 1：有三個角為直角的四邊形為矩形（ 3）定理 2：對角線相等的平行四邊形為矩形4.矩形的面積s 矩形 =長×寬 =ab三.菱形1.菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2.菱形的性質（ 1）菱形的四條邊相等,對邊平行（ 2）菱形的相鄰的角互補,對角相等（ 3）菱形的對角線相互垂直平分,并且每一條對角線平分一組對角（ 4）菱形既為

16、中心對稱圖形又為軸對稱圖形；對稱中心為對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條,為對角線所在的直線；3.菱形的判定（ 1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形（ 2）定理 1：四邊都相等的四邊形為菱形（ 3）定理 2：對角線相互垂直的平行四邊形為菱形4.菱形的面積s 菱形 =底邊長×高 =兩條對角線乘積的一半四.正方形（ 310 分）1.正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角為直角的平行四邊形叫做正方形；2.正方形的性質（ 1）正方形四條邊都相等,對邊平行（ 2）正方形的四個角都為直角（ 3）正方形的兩條對角線相等,并且相互垂直平分,每一條對角線平分一組對角（

17、4）正方形既為中心對稱圖形又為軸對稱圖形；對稱中心為對角線的交點；對稱軸有四條,為對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線；3.正方形的判定判定一個四邊形為正方形的主要依據(jù)為定義,途徑有兩種：先證它為矩形,再證它為菱形；先證它為菱形,再證它為矩形；4.正方形的面積精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習好資料歡迎下載設正方形邊長為a,對角線長為bb 2s 正方形 = a 22五.等腰梯形1.等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；2.等腰梯形的性質（ 1）等腰梯形的兩腰相等,兩底平行；（ 2）等腰梯形同一底上的兩個角相等,同一腰上的兩個角互補；（ 3）等腰梯形的對角線相等；（ 4）

18、等腰梯形為軸對稱圖形,它只有一條對稱軸,即兩底的垂直平分線；3.等腰梯形的判定（ 1）定義：兩腰相等的梯形為等腰梯形（ 2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形為等腰梯形（ 3）對角線相等的梯形為等腰梯形；（挑選題和填空題可直接用）六.三角形中的中位線1.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半；3.常用結論：任一個三角形都有三條中位線,由此有：三條中位線組成一個三角形,其周長為原三角形周長的一半；三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形；三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形；三角形一條中線和與

19、它相交的中位線相互平分；三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等；七.有關四邊形四邊中點問題的學問點：（ 1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形為平行四邊形；（ 2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形為菱形；（ 3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形為矩形；（ 4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形為菱形；（ 5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形為菱形；（ 6）順次連接對角線相互垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形為矩形；（ 7）順次連接對角線相互垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形為正方形；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習好資料歡迎下

20、載第四章視圖與投影1.三視圖包括：主視圖.俯視圖和左視圖；（1）三視圖之間要保持長對正,高平齊,寬相等；一般地,俯視圖要畫在主視圖的下方, 左視圖要畫在正視圖的右邊；主視圖：基本可認為從物體正面視得的圖象俯視圖：基本可認為從物體上面視得的圖象左視圖：基本可認為從物體左面視得的圖象（2）視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面平面或曲面 ,而相連的兩個閉合線框肯定不在一個平面上；（3）在一個形狀線框內所包括的各個小線框,肯定為平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或曲面體）；（4）在畫視圖時,看得見的部分的輪廓線通常畫成實線,看不見的部分輪廓線通常畫成虛線；2.投影投影：物體在光線的照

21、耀下,在地面上或墻壁上留下它的影子,這就為投影現(xiàn)象； 平行投影：太陽光線可以看成平行光線,像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影；中心投影： 探照燈. 手電筒.路燈和臺燈的光線可以看成為從一點發(fā)出的,像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影；3.視點.視線.盲區(qū)區(qū)分平行投影和中心投影：觀看光源；觀看影子；眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)；第五章反比例函數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1.反比例函數(shù)的概念一般地假如兩個變量x ,y 之間的關系可以表示為yk （ k 為常數(shù), k0）的形式,x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精

22、選學習資料 - - - 歡迎下載那么稱 y 為 x 的反比例函數(shù)； （反比例函數(shù)的解析式也可以寫成ykx1的形式；自變量x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的取值范疇為x0 的一切實數(shù),函數(shù)的取值范疇也為一切非零實數(shù)；）2.反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象為雙曲線,它有兩個分支,這兩個分支分別位于第一.三象限,或其次.四象限,它們關于原點對稱；由于反比例函數(shù)中自變量x0,函數(shù) y0,所以,它的圖象與x 軸. y 軸都沒有交點,即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸,但永久達不到坐標軸；3.反比例函數(shù)的性質精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載反比例函數(shù)yk k0 x精品學習資料精

23、選學習資料 - - - 歡迎下載k 的符號k>0k<0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖象yy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習好資料歡迎下載oxox精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 x 的取值范疇為x0,y 的取值范疇為y0；性質當 k>0 時,函數(shù)圖象的兩個分支分別 在第一.三象限；在每個象限內,y 隨 x 的增大而減?。?x 的取值范疇為x0,y 的取值范疇為y0；當 k<0 時,函數(shù)圖象的兩個分支分別在其次.四象限；在每個象限內,y隨 x 的增大而增大；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - -