固體物理學(xué)答案(朱建國版)

1、固體物理學(xué)·習(xí)題指導(dǎo) 2021年12月1日配合固體物理學(xué)（朱建國等編著）使用固體物理學(xué)·習(xí)題指導(dǎo) 第1章 晶體結(jié)構(gòu)1第2章 晶體的結(jié)合12第3章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)20第4章 晶體缺陷32第5章 金屬電子論35第1章 晶體結(jié)構(gòu)1.1 有許多金屬即可形成體心立方結(jié)構(gòu)，也可以形成面心立方結(jié)構(gòu)。從一種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N結(jié)構(gòu)時(shí)體積變化很小.設(shè)體積的變化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和體心立方結(jié)構(gòu)中最近鄰原子間的距離，試問Rf/Rb等于 多少？答：由題意已知，面心、體心立方結(jié)構(gòu)同一棱邊相鄰原子的距離相等，都設(shè)為a：對(duì)于面心立方，處于 面心的原子與頂角原子的距離為：Rf=a對(duì)

2、于體心立方，處于體心的原子與頂角原子的距離為：Rb=a那么，=1.2 晶面指數(shù)為（123）的晶面ABC是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA、OB和OC分別與基失a1，a2和a3重合，除O點(diǎn)外，OA，OB和OC上是否有格點(diǎn)？若ABC面的指數(shù)為（234），情況又如何？答：晶面族（123）截a1,a2,a3分別為1,2,3等份，ABC面是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA的長度等于a1的長度，OB的長度等于a2長度的1/2，OC的長度等于a3長度的1/3，所以只有A點(diǎn)是格點(diǎn)。若ABC面的指數(shù)為（234）的晶面族，則A、B和C都不是格點(diǎn)。1.3 二維布拉維點(diǎn)陣只有5種，試列舉并畫圖表示之。答：二維布拉維點(diǎn)陣只有五種類型，

3、兩晶軸，夾角，如下表所示。序號(hào)晶系基矢長度與夾角關(guān)系布拉維晶胞類型所屬點(diǎn)群1斜方任意簡單斜方（圖中1所示）1，22正方簡單正方（圖中2所示）4，4mm3六角簡單六角（圖中3所示）3，3m，6，6mm4長方簡單長方（圖中4所示）有心長方（圖中5所示）1mm，2mm1 簡單斜方2 簡單正方3 簡單六角4 簡單長方5 有心長方二維布拉維點(diǎn)陣1.4 在六方晶系中，晶面常用4個(gè)指數(shù)（hkil）來表示，如圖所示，前3個(gè)指數(shù)表示晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面在互成120°的共平面軸a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四個(gè)指數(shù)表示該晶面的六重軸c上的截距c/l.證明：i=-（h+k）

4、并將下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）（100）（010）答：證明設(shè)晶面族（hkil）的晶面間距為d，晶面法線方向的單位矢量為n°。因?yàn)榫孀澹╤kil）中最靠近原點(diǎn)的晶面ABC在a1、a2、a3軸上的截距分別為a1/h，a2/k，a3/i，因此 (1)由于a3=（a1+ a2）把（1）式的關(guān)系代入，即得根據(jù)上面的證明，可以轉(zhuǎn)換晶面族為（001）（0001），（100），（010），1.5 如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最大面積與總體積之比為（1）簡立方：（2）體心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆積：（5）金剛石：。答：令Z表示一個(gè)立方晶胞

5、中的硬球數(shù)，Ni是位于晶胞內(nèi)的球數(shù)，Nf是在晶胞面上的球數(shù)，Ne是在晶胞棱上的球數(shù)，Nc是在晶胞角隅上的球數(shù)。于是有：邊長為a的立方晶胞中堆積比率為假設(shè)硬球的半徑都為r，占據(jù)的最大面積與總體積之比為，依據(jù)題意（1）對(duì)于簡立方，晶胞中只含一個(gè)原子，簡立方邊長為2r，那么：= = （2）對(duì)于體心立方，晶胞中有兩個(gè)原子，其體對(duì)角線的長度為4r，則其邊長為，那么：= = （3）對(duì)于面心立方，晶胞中有四個(gè)原子，面對(duì)角線的長度為4r，則其邊長為r，那么：= = （4）對(duì)于六方密堆積 一個(gè)晶胞有兩個(gè)原子，其坐標(biāo)為（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆積情況下，密排六方結(jié)構(gòu)中點(diǎn)陣常數(shù)與原子半徑的關(guān)

6、系為a=2r，因此=（5）對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)Z=8 那么=.1.6 有一晶格，每個(gè)格點(diǎn)上有一個(gè)原子，基失（以nm為單位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此處i，j，k為笛卡兒坐標(biāo)系中x，y，z方向的單位失量.問：（1）這種晶格屬于哪種布拉維格子？（2）原胞的體積和晶胞的體積各等于多少？答：（1）因?yàn)閍=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c）式中c=3c。顯然，a、b、c構(gòu)成一個(gè)邊長為3*10-10m的立方晶胞，基矢c正處于此晶胞的體心上。因此，所述晶體屬于體心立方布喇菲格子。（2）晶胞的體積= = =27*10-30(m3)原胞的

7、體積=13.5*10-30(m3)1.7 六方晶胞的基失為：，求其倒格子基失，并畫出此晶格的第一布里淵區(qū).答：根據(jù)正格矢與倒格矢之間的關(guān)系，可得：正格子的體積=a·（b*c）= 那么，倒格子的基矢為 ， ，其第一布里淵區(qū)如圖所示：1.8 若基失a，b，c構(gòu)成正交晶系，求證：晶面族（hkl）的面間距為答：根據(jù)晶面指數(shù)的定義，平面族（hkl）中距原點(diǎn)最近平面在三個(gè)晶軸a1，a2，a3上的截距分別為，。該平面（ABC）法線方向的單位矢量是這里d是原點(diǎn)到平面ABC的垂直距離，即面間距。由|n|=1得到故1.9 用波長為0.15405nm的X射線投射到鉭的粉末上，得到前面幾條衍射譜線的布拉格角

8、如下序號(hào)12345/（°）19.61128.13635.15641.15647.769已知鉭為體心立方結(jié)構(gòu)，試求：（1）各譜線對(duì)應(yīng)的衍射晶面族的面指數(shù)；（2）上述各晶面族的面間距；（3）利用上兩項(xiàng)結(jié)果計(jì)算晶格常數(shù).答：對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu)，衍射光束的相對(duì)強(qiáng)度由下式?jīng)Q定：考慮一級(jí)衍射，n=1。顯然，當(dāng)衍射面指數(shù)之和（h+k+l）為奇數(shù)時(shí)，衍射條紋消失。只有當(dāng)（h+k+l）為偶數(shù)時(shí)，才能產(chǎn)生相長干涉。因此，題給的譜線應(yīng)依次對(duì)應(yīng)于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式得 同法得應(yīng)用立方晶系面間距公式可得晶格常數(shù)把上面各晶面指數(shù)和它們對(duì)應(yīng)的面間距數(shù)值代

9、入，依次可得a 的數(shù)值*10-10m為3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值則得1.10 平面正三角形，相鄰原子的間距為a，試給出此晶格的正格矢和倒格矢；畫出第一和第二布里淵區(qū).答：參看下圖，晶體點(diǎn)陣初基矢量為 用正交關(guān)系式求出倒易點(diǎn)陣初基矢量b1，b2。設(shè) 由 得到下面四個(gè)方程式 （1） （2） （3） （4）由（1）式可得：由（2）式可得：由（3）式可得：由（4）式可得：于是得出倒易點(diǎn)陣基矢 補(bǔ)充習(xí)題：1.11 什么是晶體？什么是非晶體？試各舉一例說明。答：晶體是原子、離子或分子按照一定的周期性，在結(jié)晶過程中，在空間排列形成具有一定規(guī)則的幾何外形的固

10、體，如鐵；非晶體是其中的原子不按照一定空間順序排列的固體，如玻璃。1.12 什么是原胞？什么是晶胞？答：原胞是具有2維、3維或者其他維度平移對(duì)稱性的簡單點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的最小重復(fù)單元，晶胞是為了反映晶體的周期性和對(duì)稱性而選取的重復(fù)單元。1.13 什么是布拉維原胞？什么是WS原胞？答：布拉維原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格點(diǎn)為中心，作其與近鄰的所有格點(diǎn)連線的垂直平分面，這些平面所圍成的以改點(diǎn)為中心的凸多面體即為該點(diǎn)的WS原胞。1.14 試計(jì)算面心立方和體心立方的堆垛因子答：設(shè)面心立方晶胞的邊長為a，則堆垛成面心立方晶胞的原子半徑最大為。由于面心立方體晶胞中有個(gè)原子，所以面心立方的堆垛因子設(shè)體心立方

11、晶胞的邊長為a，則堆垛成體心立方晶胞的原子半徑最大為。由于體心立方晶胞中有個(gè)原子，所以體心立方的堆垛因子1.15 繪出面心立方的晶胞和原胞示意圖。答：面心立方的晶胞和原胞如下圖所示，黑色-晶胞，藍(lán)色-原胞。1.16 試?yán)L出二維正方晶格的WS原胞，設(shè)邊長為a。答：1.17 請(qǐng)列表給出簡立方、體心立方、面心立方的最近鄰（第一近鄰）到第十近鄰的原子數(shù)、原子間距。答：設(shè)簡立方、體心立方、面心立方晶胞邊長為。第n近鄰簡立方體心立方面心立方原子數(shù)原子間距原子數(shù)原子間距原子數(shù)原子間距168122126638122446241252482462468712242472830246924241210242424

12、1.18 繪出金剛石結(jié)構(gòu)的兩個(gè)面心立方子晶格的套構(gòu)情況。答：金剛石結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)面心立方格子沿體對(duì)角線位移1/4的長度套構(gòu)而成。1.19 繪出立方晶胞里的晶向與晶面：答：1.20 繪出六方晶胞里的晶向與晶面：答：1.21 按照WS原胞的構(gòu)造法，如果BCC中一個(gè)原子的所有最近鄰原子的連線的中垂面圍成一個(gè)什么圖形，體積為多少？如果BCC中一個(gè)原子的所有次近鄰原子的連線的中垂面又圍成一個(gè)什么圖形，體積為多少？答：原點(diǎn)和8個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正八面體，沿立方軸的6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角，形成的14面體八個(gè)面是正六邊形, 六個(gè)面是正四邊形。1.22 為什么晶體沒有5次對(duì)

13、稱軸，而準(zhǔn)晶體有5次對(duì)稱軸？答：設(shè)在圖中，是晶體中某一晶面上的一個(gè)晶列，AB是這晶列上相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離。晶體中某一晶面的晶列（1） 旋轉(zhuǎn)角，通過A處的u軸順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過后，使B1點(diǎn)轉(zhuǎn)到B，若通過B處u軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角后，A1點(diǎn)轉(zhuǎn)到A。經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)后，要使晶格能自身重合，則A、B點(diǎn)必須是格點(diǎn)，由于A、B和AB平行，AB必須等于AB的整數(shù)倍，即，于是。（2） 旋轉(zhuǎn)角，同理，有，于是有綜上，旋轉(zhuǎn)角改寫為。即晶體中只存在1、2、3、4、6次轉(zhuǎn)軸。另外一方面因?yàn)榫w的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性要受到內(nèi)部結(jié)構(gòu)中點(diǎn)陣無限周期性的限制，有限外形的旋轉(zhuǎn)不能破壞點(diǎn)陣無限的周期排列，所以晶體沒有5次對(duì)稱軸，而準(zhǔn)晶體是介于周期晶體和

14、非晶玻璃之間的一種新的固態(tài)物質(zhì)形態(tài)，即準(zhǔn)晶體可以有5次對(duì)稱軸。1.23 試寫出沿x2軸有90°旋轉(zhuǎn)軸的變換矩陣。答：（1）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（2）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1.24 舉例宏觀對(duì)稱元素與微觀對(duì)稱元素宏觀：轉(zhuǎn)動(dòng) 對(duì)稱中心 反演 對(duì)稱面 反映微觀：平移和平移軸 螺旋旋轉(zhuǎn)與螺旋軸 滑移反映和滑移面1.25 對(duì)于立方晶系，晶體的介電常數(shù)矩陣簡化為什么情況？答：在晶體中，電位移矢量與電場強(qiáng)度間的關(guān)系可以寫為：對(duì)于立方晶系，當(dāng)把電場E同晶體一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電位移矢量也將作相同的轉(zhuǎn)動(dòng)。用D表示轉(zhuǎn)動(dòng)后的電位移矢量。設(shè)電場E沿著立方軸y，這時(shí)，但是，轉(zhuǎn)動(dòng)是以E為軸的，實(shí)際上電場并未改變。而上述轉(zhuǎn)動(dòng)又是立方體的一個(gè)對(duì)

15、稱操作，所以轉(zhuǎn)動(dòng)前后晶體沒有任何差別，電位移矢量D應(yīng)不變，即代入，可得：，即如果取E沿z方向，并繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同理，可得：的非對(duì)角元都等于零，于是，（）再取電場沿立方體方向，則繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使z軸轉(zhuǎn)到原x軸，x軸轉(zhuǎn)到原y軸，y軸轉(zhuǎn)到原z軸，則轉(zhuǎn)動(dòng)后的D寫為與前論述的一樣，電場實(shí)際是沒變的，晶體所經(jīng)歷的又是一個(gè)對(duì)稱操作，晶體也完全未變，所以，D和D應(yīng)相同。10第2章 晶體的結(jié)合2.1解：（1）離子鍵：無方向性，鍵能相當(dāng)強(qiáng)；（2）共價(jià)鍵：飽和性和方向性，其鍵能也非常強(qiáng)；（3）金屬鍵：有一定的方向性和飽和性，其價(jià)電子不定域于2個(gè)原子實(shí)之間，而是在整個(gè)晶體中巡游，處于非定域狀態(tài)，為所有原子所“共有”；（4）

16、范德瓦爾斯鍵：依靠瞬時(shí)偶極距或固有偶極距而形成，其結(jié)合力一般與成反比函數(shù)關(guān)系，該鍵結(jié)合能較弱；（5）氫鍵：依靠氫原子與2個(gè)電負(fù)性較大而原子半徑較小的原子（如O，F(xiàn)，N等）相結(jié)合形成的。該鍵也既有方向性，也有飽和性，并且是一種較弱的鍵，其結(jié)合能約為50kJ/mol。2.2解：2.3解：根據(jù)彈性模量的定義可知 （1）上式中利用了的關(guān)系式。設(shè)系統(tǒng)包含個(gè)原子，則系統(tǒng)的內(nèi)能可以寫成 （2）又因?yàn)榭砂褌€(gè)原子組成的晶體的體積表示成最近鄰原子間距的函數(shù)，即 （3）上式中為與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子（如面心立方結(jié)構(gòu)，）。又因?yàn)?（4） （5）考慮平衡條件，得，那么（5）式可化為 （6）將（6）式代入（1）式得：，所以

17、2.4解：在平衡位置時(shí)有 （1） （2）將離解能eV和nm,代入（1）和（2）式可得：eV·m2，eV·m10。2.5解：由題意有以下方程成立：把，的具體數(shù)值代入上述方程組，即得：由此可得：， 該晶體的有效彈性模量為：又 （上式中表示晶體中所含的原子個(gè)數(shù) ，表示與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子）故=4.734×1010 2.6解：（1）在簡單立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（2）在面心立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（3）在體心立方點(diǎn)陣，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（4）在金剛石點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（5）在NaCl點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所

18、占據(jù)的體積；故。2.7解：2.8解：2.9解：NaCl晶體中Na+和Cl-的最近距離為r0，晶胞基矢長為2r0NaC l晶體中Na+和Cl-的最近距離為。晶胞基矢長為 2，一個(gè)晶胞中含有四對(duì)正負(fù)離子對(duì)。 一個(gè)原胞（一個(gè)NaCl分子）的體積為： = NaCl晶體中的正負(fù)離子的平衡間距為： 0.2818nm 由晶體體積彈性模 量的公式： = =7.82由平衡時(shí)離子晶體的內(nèi)聚能公式：， 將n=7.82代入得NaCl晶體的每對(duì)離子的內(nèi)聚能為： = 2.10解：（1）在平衡時(shí)，有下式成立 （1） 由上式可得（2）設(shè)該個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈的總的相互作用勢(shì)能為，那么有 （2）設(shè)為2個(gè)原子間的最短

19、距離，則有，那么（2）式可化為 （3）其中（3）式中，。那么每個(gè)原子的平均晶格能為 2.11解：.若NaCl晶體的馬德隆常數(shù)=1.75，晶格常數(shù)a=5.64，冪指數(shù)n=9。晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，求：（1） 離子間距增加多少？（2） 負(fù)壓強(qiáng)的理論值是多大？解：（1）設(shè)該NaCl晶體的含有個(gè)離子，則其相互作用勢(shì)能為 （1）上式中的指NaCl晶體中相鄰兩離子間的距離。又設(shè)NaCl晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩離子間的距離為，則有。由平衡條件可知 （2） 由（2）式可得：。當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，此時(shí)相鄰離子間的引力達(dá)到最大值，即有 （3）將代入（3）式可得 因而離子間距增加了 2.12 試?yán)弥?/p>

20、性計(jì)算三維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)。2.13 試求出GaAs的離子鍵比例，Ga、As的電負(fù)性分別為1.5、2.0。 2.14 Kr晶體是面心立方結(jié)構(gòu)，滿足勒納-瓊斯勢(shì)，如果只計(jì)算到第三近鄰，試求熱平衡時(shí)Kr晶體的結(jié)合能。 解：53第3章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.1 試求由5個(gè)原子組成的一堆單原子晶格的格波頻率，設(shè)原子質(zhì)量m8.35×1027kg，恢復(fù)力常數(shù)15N·m1 解：一維單原子鏈的解為 據(jù)周期邊界條件 ，此處N=5,代入上式即得 所以 2（為整數(shù)） 由于格波波矢取值范圍：。 則 故可取2，1，0，1，2這五個(gè)值 相應(yīng)波矢：,0, , 由于，代入，m及q值 則得到五

21、個(gè)頻率依次為（以rad/sec為單位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×10133.2 求證由N個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻率分布函數(shù)可以表示為 式中是格波的最高頻率，并求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰為N解：對(duì)一維單原子鏈， 所以 （1） 由色散關(guān)系 求得 （2） 而， 則由（1）式可得 由于 ，則總的振動(dòng)模數(shù)為 令，則積分限為0到 ， 故 3.3 設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，試用德拜模型證明格波的頻率分布函數(shù)為解：由書上（369）式可得 （1）由（371）可得 由此可得 ，代入（1）式得3.4 對(duì)一堆雙原子鏈，已知原

22、子的質(zhì)量m8.35×1027kg，另一種原子的質(zhì)量M4m，力常數(shù)15N·m1，試求（1） 光學(xué)波的最高頻率和最低頻率和；（2） 聲學(xué)波的最高頻率；（3） 相應(yīng)的聲子能量（以eV為單位）；（4） 在300K可以激發(fā)頻率為，和的聲子的數(shù)目；（5） 如果用電磁波來激發(fā)長光學(xué)波振動(dòng)，電磁波的波長大小。 解：（1） （2） （3） ， ， （4）光速 ，3.5 設(shè)有一維晶體，其原子的質(zhì)量均為m，而最近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于和10， 且最近鄰的距離為，試畫出色散關(guān)系曲線，并給出和處的。解：設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所處的環(huán)境不同，參看圖， 10 10mx2n-1 x2n x

23、2n+1 x2n+2原子的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)是即 求格波解， 令 ，代入運(yùn)動(dòng)方程，可導(dǎo)出線性方程組為：令，從A，B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得可解出 色散關(guān)系見下圖時(shí)，時(shí)，3.6在一維雙原子鏈中，如，求證 證 由書中（3.22）式知，雙一維原子鏈聲學(xué)支 ， 由近似式， 得 ， 對(duì)，由于， 3.7 在一維雙原子晶格振動(dòng)情況中，證明在布里淵區(qū)邊界處，聲學(xué)支格波中所有輕原子m靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。畫出這時(shí)原子振動(dòng)的圖象。證 由（318）第一式得 ，當(dāng) 時(shí) 且對(duì)聲學(xué)支，代入上式即得： ，故A0， 輕原子靜止 再由（318）第二式得 ，當(dāng) 時(shí) 且對(duì)光學(xué)支，代入上式即得 故B0， 重原子靜

24、止3.8 設(shè)固體的熔點(diǎn)對(duì)應(yīng)原子的振幅等于原子間距的10的振動(dòng)，推證，對(duì)于簡單晶格，接近熔點(diǎn)時(shí)原子的振動(dòng)頻率，其中M是原子質(zhì)量。解 當(dāng)質(zhì)量為M的原子以頻率及等于原子間距的10的振幅振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)能為： 在熔點(diǎn)時(shí)，原子的能量可按照能量均分定理處理，即一個(gè)一維原子的平均能量為，于是有，由此得3.9 按德拜近似，試證明高溫時(shí)晶格熱容 證明：由書可知在高溫時(shí)，則在整個(gè)積分范圍內(nèi)為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡為 將上式代入的表達(dá)式，得 3.10 設(shè)晶格中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，試用德拜模型求三維晶格的零點(diǎn)振動(dòng)能 解：由（369）式知，狀態(tài)密度 則 3.11 在德拜近似的基礎(chǔ)上，討論由一個(gè)N個(gè)原子組成的

25、二維晶格的比熱，證明在低溫下其比熱正比于證明：（解法一）此題可推廣到任意維m，由于 而德拜模型中，故 令，則上式變?yōu)?在低溫時(shí) 則積分 為一個(gè)于T無關(guān)的常數(shù) 故 對(duì)三維 m3 對(duì)本題研究的二維 m2 對(duì)一維 m1 （解法二）德拜模型考慮的格波是彈性波，波速為的格波的色散關(guān)系是。在二維波矢空間內(nèi)，格波的等頻線是一個(gè)個(gè)的圓環(huán)，如圖所示在區(qū)間內(nèi)波速為的格波數(shù)目式中S是二維晶格的總面積，由此可得波速為的格波的模式密度考慮到二維介質(zhì)有兩支格波，一支縱波，一支橫波，所以格波總的模式密度格波的振動(dòng)能晶格的熱容量3.12 設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的相互作用勢(shì)為， b為待定常數(shù)， 平衡間距，求線膨脹系數(shù)。 解：

26、由書上（3.114）式知，線膨脹系數(shù) 其中：， 由平衡條件 ， 由于 ， 3.13 已知三維晶體在附近一支光學(xué)波的色散關(guān)系為 ， 試求格波的頻譜密度 解： 則 這是q空間的一個(gè)橢球面，其體積為，而 ， q空間內(nèi)的狀態(tài)密度 ，故橢球內(nèi)的總狀態(tài)數(shù)N為 故 補(bǔ)充習(xí)題：3.14 具有二維矩形點(diǎn)陣的簡單晶格，設(shè)原子質(zhì)量為M，晶格常數(shù)分別為a和b，最近鄰原子間相互作用的恢復(fù)力為，試求此系統(tǒng)沿；的格波色散關(guān)系。 3.15 Cu，金剛石，NaCl晶體應(yīng)該分別有幾支色散關(guān)系？解：Cu有 3支聲學(xué)波；金剛石有3支聲學(xué)波，3支光學(xué)波；NaCl有3支聲學(xué)波，3支光學(xué)波。3.16 對(duì)于簡立方晶胞，設(shè)原子質(zhì)量為M；晶格常

27、數(shù)為a；最近鄰原子間相互作用的恢復(fù)力為。試求此系統(tǒng)沿方向的格波色散關(guān)系。3.17 對(duì)于一維單原子點(diǎn)陣，已知簡正模式的色散關(guān)系為 式中，為回復(fù)力系數(shù)，M為原子質(zhì)量。（1）導(dǎo)出模式密度的精確表達(dá)式()；（2）在德拜模型下，求出德拜截止頻率（最大頻率）D.解答:(1)一維簡單晶格的色散關(guān)系曲線如下圖所示:由色散關(guān)系的對(duì)稱性可以看出,d區(qū)間對(duì)應(yīng)兩個(gè)同樣大小的波矢空間dq.區(qū)間對(duì)應(yīng)L/a個(gè)振動(dòng)模式,單位波矢區(qū)間對(duì)應(yīng)有L/2個(gè)振動(dòng)模式.d范圍則包含個(gè)振動(dòng)模式.單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度,根據(jù)這一定義可得模式密度為.由色散關(guān)系得:所以,模式密度:(2)德拜模型把晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì),把

28、格波看作彈性波. 代入可以求出:3.18 由正負(fù)離子組成的一維原子鏈，離子間距為a，質(zhì)量都為m，電荷交替變化。原子間的互作用勢(shì)是兩種作用勢(shì)之和：（a）近鄰兩原子之間的短程作用，力常數(shù)C；（b）所有離子的庫侖作用。求：（1）庫侖力對(duì)力常數(shù)的貢獻(xiàn) （2）色散關(guān)系解：3.19 什么是聲子？試比較聲子與電子的異同點(diǎn)解：聲子不能脫離固體存在，聲子只是格波激發(fā)的量子，在多體理論中稱為集體振蕩的準(zhǔn)粒子。3.20 什么是布里淵散射？什么是喇曼散射？解：光子于與長聲學(xué)波聲子的相互作用一般稱之為光子的布里淵散射。光子也可與光學(xué)波聲子相互作用，這稱為光子的喇曼散射。兩種散射都不會(huì)有倒逆散射。3.21已知一個(gè)格波在某

29、個(gè)頻率下的能量為0.02eV，試求在300K時(shí)這個(gè)格波的平均聲子數(shù)是多少？如果能量為0.2eV；2eV，平均聲子數(shù)又是多少？解： ，E=0.02, n=0.858E=0.2, n=4.4E-4E=2, n=2.7E-343.22 如果晶體做嚴(yán)格的簡諧振動(dòng)，則格林愛森常數(shù)等于多少？解：由3.98式及3.99式可得簡諧近似是指勢(shì)能函數(shù)展開式只取到二階項(xiàng)，在簡諧振動(dòng)情況下，勢(shì)能函數(shù)展開式中的三階及以上系數(shù)均為零，所以在此情況下，。第4章 晶體缺陷4.1晶體中空位和間隙原子的濃度是否相同？為什么？答：空位與間隙原子的平衡濃度值是不相同的。在離子晶體中，由于電中性的要求，所以晶體中的空位和間隙原子一般都

30、是成對(duì)出現(xiàn)，所以它們的濃度是相同的。4.2試從能量角度說明滑移方向必定是密排方向.4.3如果已知空位形成能為Eu=0.67eV，試問當(dāng)溫度為300K時(shí)在金里肖特基缺陷數(shù)與格點(diǎn)數(shù)之比是多少？答：設(shè)肖特基缺陷數(shù)為n，格點(diǎn)數(shù)為N。那么由公式可得=5.682*10-124.4某間隙原子在晶格的間隙位置間跳躍。該間隙原子在晶格中振動(dòng)的頻率為2*1015s-1，如該間隙原子在跳躍過程中需要克服的勢(shì)壘高度為0.1eV，求該原子在1s內(nèi)跳躍的次數(shù)。P87答：由公式可得=2*1015*0.02=4*10134.5在離子晶體中，由于電中性的要求，肖特基缺陷多成對(duì)地產(chǎn)生，令n代表正、負(fù)離子空位的對(duì)數(shù)，W是產(chǎn)生一對(duì)缺

31、陷所需要的能量，N是原有的正、負(fù)離子對(duì)的數(shù)目。（1）試證明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；（2）試求有肖特基缺陷后體積的變化V/V，其中V為原有的體積。答：（1）設(shè)n對(duì)肖特基缺陷是從晶體內(nèi)部移去n個(gè)正離子和n個(gè)負(fù)離子而形成的。從N個(gè)正離子中形成n個(gè)正離子空位的可能方式數(shù)為同時(shí)，從N個(gè)負(fù)離子中形成n個(gè)負(fù)離子空位的可能方式數(shù)也是于是，在整個(gè)晶體中形成n對(duì)正、負(fù)離子空位的可能方式數(shù)由此而引起晶體熵的增量為設(shè)形成一對(duì)正、負(fù)離子空位需要能量w，若不考慮缺陷出現(xiàn)對(duì)原子振動(dòng)狀態(tài)的影響，則晶體自由能的改變 （1）熱平衡時(shí)，并應(yīng)用斯特令公式，從（1）式得因?yàn)閷?shí)際上N»n，于是得n/N=Bexp（

32、-W/2kBT）（2）對(duì)離子晶體的肖特基缺陷來說，每產(chǎn)生一對(duì)缺陷同時(shí)便產(chǎn)生了兩個(gè)新的結(jié)點(diǎn)，使體積增加。當(dāng)產(chǎn)生n對(duì)正、負(fù)離子空位時(shí)，所增加的體積應(yīng)該是式中a為離子最近鄰距離。因?yàn)闉榫w原有的體積，有上式可得4.6已知擴(kuò)散系數(shù)與溫度之間的關(guān)系為：下列數(shù)據(jù)是鋅在銅晶體中擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：T/K8781007117612531322D/m2·s-11.6*10-204.0*10-181.1*10-184.0*10-171.0*10-16試確定常數(shù)Do和擴(kuò)散激活能EA.答：由公式 ，可得當(dāng)T=878，D=1.6*10-20時(shí)，D01=4.7銅和硅的空位形成能Eu分別是0.3eV和2.8eV。試求

33、T=1000K時(shí)，銅和硅的空位濃度。答：由公式可得：對(duì)于銅 對(duì)于硅4.8碘化鉀在不同溫度下的鉀蒸汽中增色，通過測(cè)試F帶的光吸收就可得F心的形成能EB。當(dāng)溫度從570上升到620時(shí)，吸收常數(shù)增加了3.9%左右。假設(shè)光吸收的增加是由F心的數(shù)目增加引起的，試計(jì)算F心形成能EB。答：一價(jià)負(fù)離子空位俘獲一個(gè)電子形成F心，所以F心的數(shù)目可以看作是一價(jià)負(fù)離子空位的數(shù)目，由平衡時(shí)空位的數(shù)目（4.7）式，可得F心的數(shù)目，其中，解，得4.9考慮一體心立方晶格：（1）試畫出（110）面上原子的分布圖；（2）設(shè)有一沿方向滑移、位錯(cuò)線和平行的刃位錯(cuò)。試畫出在（110）面上原子的投影圖。答：如圖所示：4.10求體心立方、

34、面心立方、六方密堆積等晶體結(jié)構(gòu)的最小滑移矢量的長度。答：滑移面往往是那些原子面密度較大的晶面，滑移向也總是原子密度較大的晶向（即沿該方向的周期最小）。（1）體心立方：滑移面為（110）面，滑移向?yàn)?11，最小滑移矢量b即111晶向上一個(gè)格點(diǎn)間距的長度。設(shè)晶格常數(shù)為a，則（2）面心立方：滑移面為（111），滑移向?yàn)?01。最小滑移矢量b等于101方向上相鄰格點(diǎn)間的距離，即（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是。晶向上原子間距為a，因此，4.11在FCC晶格中存在一個(gè)位錯(cuò)，其位錯(cuò)線的方向用晶向指數(shù)表示為，該位錯(cuò)滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示為。試確定該滑移面的晶面指數(shù)，并問該位錯(cuò)是刃

35、位錯(cuò)還是螺位錯(cuò)。答：刃位錯(cuò)滑移矢量與位錯(cuò)線垂直 螺位錯(cuò)滑移矢量與位錯(cuò)線平行a·b=0故是刃位錯(cuò)，滑移面第5章 金屬電子論5.1 已知銀是單價(jià)金屬，費(fèi)米面近似球面，銀的密度rm=10.5´103kg · m-3，原子量A=107.87，電阻率在295K時(shí)為1.61´10-3W · m，在20K時(shí)為0.0038´10-3W · m（課本數(shù)據(jù)有誤）。試計(jì)算：（1） 費(fèi)米能級(jí)和費(fèi)米溫度；（2） 費(fèi)米球半徑；（3） 費(fèi)米速度；（4） 費(fèi)米球的最大截面積；（5） 室溫下和絕對(duì)零度附近電子的平均自由程。 P111解：電子數(shù)密度。(p103

36、)費(fèi)米波矢（1） 費(fèi)米能費(fèi)米溫度（2） 費(fèi)米球的半徑（3） 費(fèi)米速度（4） 費(fèi)米球的最大橫截面積（5） 平均自由時(shí)間，平均自由程 p105-106基本電荷室溫下，絕對(duì)零度附近，5.2 （1）求出二維情況下電子濃度n 和kF的關(guān)系式；（2） 求出二維情況下rs和kF的關(guān)系式；（3）證明在二維情況下，g(e)=常量，當(dāng)e>0，或者g(e)=0，當(dāng)e<0，并求出這個(gè)常量的值。解：（1）由周期性邊界條件得到，和（其中和是任意的整數(shù)）于是一個(gè)k態(tài)在k空間中所占據(jù)的面積為：。費(fèi)米波矢k是費(fèi)米面的半徑，于是有：，所以。（2）在自由電子近似下，每個(gè)電子占有的體積為 解得（3）在自由電子近似下，二維

37、晶格的K空間的kk+dk圓環(huán)內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)為 p110，當(dāng)時(shí)，由于，。即 所以單位面積的二維晶格K空間的狀態(tài)密度函數(shù)g(e)當(dāng)時(shí)，5.3 證明單位體積的固體內(nèi)費(fèi)米能級(jí)EF處的狀態(tài)密度函數(shù)可以寫為證：在自由電子近似下，k空間的等能面是一個(gè)球面，則半徑為k的球體內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為單位體積的固體內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)為其狀態(tài)密度又，從而5.4 試用駐波條件討論k的取值。求g(e)，并與周期性邊界條件比較。解：在自由電子近似下，電子在勢(shì)阱中的薛定諤方程為，按照分離變數(shù)原理，方程可寫為：，上述三個(gè)方程的解為：，由歸一化條件：，可知：，有邊界條件：，可得，這里是正整數(shù)，所以：，每一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)占有的k空間的體積是：k空

38、間態(tài)密度為k空間殼層內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)為：所以周期性邊界條件下，可得這是由于在駐波條件下，只能取正數(shù)，而在周期性邊界條件下，可取正負(fù)整數(shù)。5.5 電子處在體積V的正交六面體小盒子中，借助測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系確定在動(dòng)量區(qū)間pp+dp或能量區(qū)間EE+dE中電子的量子態(tài)數(shù)，求動(dòng)量和能量分別小于p0和E0的電子態(tài)總數(shù)。解：因?yàn)轶w積為V的電子體系中的能態(tài)密度為 由 ，以及 ，得 = 有測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，電子位置的不確定 ，電子動(dòng)量的不確定性，所以在動(dòng)量區(qū)間pp+dp或能量區(qū)間EE+dE中電子的量子態(tài)數(shù)為動(dòng)量和能量分別小于p和E的電子態(tài)總數(shù)Np<p0或E<E05.6 電子在邊長為L的方匣中運(yùn)動(dòng)，求出它的前4個(gè)不同

39、能級(jí)的所有波函數(shù)，給出各能級(jí)的能量和簡并度。解：由課本（5.32）式，電子能量不考慮，的情況，則最小能量分別對(duì)應(yīng)于：為，簡并度：3為，簡并度：3為，簡并度：1為，簡并度：3則波函數(shù)分別為： p107時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，5.7 限制在邊長為L的正方形勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的N個(gè)二維自由電子氣能量為，試求能量在EE+dE間的狀態(tài)數(shù)及費(fèi)米能。解：由，得對(duì)于給定的能量，方程在波矢空間是一個(gè)圓。在k空間，單位面積內(nèi)的狀態(tài)數(shù)：半徑的圓內(nèi)的狀態(tài)數(shù)：,能量E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù)：能態(tài)密度：絕對(duì)零度T=0時(shí)，體系的總電子數(shù)為絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能量：5.8 銅中電子的弛豫時(shí)間為2.3´10-14s，試計(jì)算300K時(shí)的熱

40、導(dǎo)率，如果在273K時(shí)銅的電阻率為1.5´10-8W·m，試估計(jì)它在同一溫度下的熱導(dǎo)率。解：銅在300K時(shí)的熱導(dǎo)率銅在273K時(shí)的熱導(dǎo)率5.9 已知鈉是bcc結(jié)構(gòu)，點(diǎn)陣常數(shù)a = 4.28Å，試用自由電子模型計(jì)算霍爾系數(shù)。解：鈉中電子濃度霍爾系數(shù)5.10 試證明熱發(fā)射電子垂直金屬表面的平均動(dòng)能是kBT，則平行于表面的平均能量也是kBT。證：由波爾茲曼分布率知，能量在v v+dv范圍內(nèi)的電子的數(shù)量為 （應(yīng)該為EE+dE）()電子的均方平均速度 電子的平均動(dòng)能 由于電子的自旋角動(dòng)量是，遵從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律，每個(gè)能級(jí)上有兩個(gè)自旋相反的電子，電子在垂直于表面方向的平均能量為同理可說明，平行于表面的平均能量也是kBT。二、簡要敘述特魯?shù)履Ｐ团c索末菲模型的異同點(diǎn)。P103-104, p107第六章 習(xí)題解答6.1 一維周期場中電子的波函數(shù)應(yīng)滿足布洛赫定理，若晶格常數(shù)為，電子的波函數(shù)為（1） （2） （3） （f是某個(gè)確定的函數(shù)） 試求電子在這些狀態(tài)的波矢解：布洛赫函數(shù)為 （1） ， ， （2） 同理， ， ， （3） 此處 ， ，6.2 已知一維晶格中電子的能帶可寫成，式中是晶格常數(shù)，m是電子的質(zhì)量，求（1）能帶的寬度，（2