校2019屆高三數(shù)學(xué)第九次月考試題理(含解析)（精編版）

1、校 2019 屆高三數(shù)學(xué)第九次月考試題理（含解析）（全卷共 150 分，考試時(shí)間為 120 分鐘）注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上2作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效3考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自己保管好，以備評(píng)講）一、選擇題：本大題共12 小題，每題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，則集合 的真子集個(gè)數(shù)為（）a. 2 b. 3 c. 7 d. 8【答案】 c【解析】【分析】先求出集合 a，進(jìn)而求出其真子集的個(gè)數(shù)【詳解】因?yàn)榧?，集?， ， ，真子集個(gè)數(shù)為 23 17 個(gè)，故選： c

2、【點(diǎn)睛】本題考查了真子集的概念及性質(zhì)，考查集合的表示方法：列舉法，是一道基礎(chǔ)題2.我們用表示復(fù)數(shù) 的實(shí)部，用表示復(fù)數(shù) 的虛部，若已知復(fù)數(shù) z 滿足，其中 是復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)，則（）a. 0 b. 1 c. d. 【答案】 a【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)z，得到復(fù)數(shù)的虛部與實(shí)部，即可得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，故選： a【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力3.在等差數(shù)列中，前 項(xiàng)和 滿足，則（）a. 7 b. 9 c. 14 d. 18【答案】 b【解析】，所以，選 b.4.袋中裝有大小相同的四個(gè)球，四個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“ 0”“ 1”“ 9”

3、現(xiàn)從中隨機(jī)選出三個(gè)球，則所選的三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）a. b. c. d. 【答案】 d【解析】【分析】現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，基本事件總數(shù)n4，其中能構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件只有一個(gè)，由此能求出概率【詳解】袋中裝有大小相同的四個(gè)球，四個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“ 0”“ 1”“ 9”，現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，基本事件總數(shù) n4，所選的三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件有：（0，1，2），共有 1 個(gè)，所選的三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列的概率是p故選： d【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用5.若兩個(gè)單位向量，

4、 的夾角為，則的最小值為（）a. b. c. 1 d. 【答案】 b【解析】【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最小值【詳解】?jī)蓚€(gè)單位向量， 的夾角為 120，可得 ?| |?| |cos120 ，則|k |22 2k ?k2 21+k+k2 （k）2，可得 k時(shí)，|k |的最小值為故選： b【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查了向量的模的運(yùn)算，考查二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且,則( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】【分析】先求再求最后求.【詳解】由題得所以.故答案

5、為： b【點(diǎn)睛】 (1)本題主要考查正態(tài)分布和指定區(qū)間的概率，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)對(duì)于正態(tài)分布指定區(qū)間概率的計(jì)算，不要死記硬背，要結(jié)合正態(tài)分布圖像求區(qū)間上的概率 .7.若展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）a. 40 b. 30 c. 20 d. 15【答案】 d【解析】【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n5，可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令 x 的冪指數(shù)等于 3，求得 r 的值，即可求得結(jié)果【詳解】由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n32，求得 n5，可得展開式的通項(xiàng)公式為 tr+1?= ?，令3，求得 r4，則展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是5，

6、故選： d【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題8.關(guān)于 的不等式的解集為 ，則 的取值范圍為 （）a. b. c. 或d. 【答案】 d【解析】【分析】分情況討論，當(dāng)時(shí)，求出滿足條件的的值；當(dāng)時(shí)，求出滿足條件的的取值范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則原不等式可化為，顯然恒成立；若，則原不等式可化為不是恒成立，所以舍去；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈慕饧癁?，所以只需，解得;綜上， 的取值范圍為：.故選 d【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立的問題，需要用分類討論的思想來(lái)處理，屬于?？碱}型.9.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再

7、將所得圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2 倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則 的最小正值為（）a. b. c. d. 【答案】 c【解析】【分析】由題意根據(jù)函數(shù) yasin（ x+）的圖象變換規(guī)律，可得所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 y2sin（x2 ），再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得，kz，由此求得的最小值【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移（ 0）個(gè)單位，可得 y2sin2（x）2sin（2x2 ）的圖象；再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2 倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 y2sin（x2 ）再根據(jù)所得圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，可得2 k ，kz，即，故 的最小正值為，故選： c【點(diǎn)睛】本

8、題主要考查函數(shù)yasin（ x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題10.如圖是函數(shù)的部分圖像，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）a. b. c. d. 【答案】 b【解析】【分析】由題意可知的對(duì)稱軸,又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可得解.【詳解】根據(jù)所給的二次函數(shù)圖象觀察可得，它的對(duì)稱軸方程為，且，由于在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是,故選 b.【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.已知橢圓，f1，f2 為其左、右焦點(diǎn)， p 為橢圓 c 上任一點(diǎn)，的重心為 g，內(nèi)心 i，且有（其中為實(shí)數(shù)），橢圓 c 的離心率 e=（ ）a. b. c.

9、d. 【答案】 a【解析】試題分析：方法一：如圖，點(diǎn)為三角形的重心，點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，則，所以又因，所以，因此考點(diǎn)：求橢圓離心率【一題多解】方法二：特殊值法當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)，則向量，也即點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，此時(shí)內(nèi)切圓的半徑為 ，于是，解得故選 b12.對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，若對(duì)所有的，都有，則稱和互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”. 若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】 d【解析】【分析】先得出函數(shù) f（x）ex 1+x 2 的零點(diǎn)為 x1再設(shè) g（x）x2 ax a+3 的零點(diǎn)為 ，根據(jù)函數(shù) f（x）ex1+x 2 與 g（x）x2 ax a+3 互為“零

10、點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，利用新定義的零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，有 |1 | 1，從而得出g（x）x2 ax a+3 的零點(diǎn)所在的范圍，最后利用數(shù)形結(jié)合法求解即可【詳解】函數(shù) f（x）ex 1+x 2 的零點(diǎn)為 x1設(shè) g（x）x2 axa+3 的零點(diǎn)為 ，若函數(shù) f（x）ex 1+x 2 與 g（x）x2ax a+3 互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，根據(jù)零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，則 |1 | 1，0 2，如圖由于 g（x）x2 axa+3 必過點(diǎn) a（ 1，4），故要使其零點(diǎn)在區(qū)間 0，2上，則或，解得 2a3，故選： d【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，考查了新定義，主要采用了轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的圖象的零點(diǎn)的取值范圍問題，解題中注意體會(huì)數(shù)

11、形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用二、填空題：本大題共4 小題，每題 5 分，共 20 分13.已知實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值為_【答案】 2【解析】【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求 z 的最大值【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由 zx+2y，得 y，平移直線 y，由圖象可知當(dāng)直線y經(jīng)過點(diǎn) a 時(shí)，直線 y的截距最大，此時(shí)z 最大由，得，即 a（0，1），此時(shí) z 的最大值為 z0+21 2，故答案為： 2【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法14.在中，角所對(duì)的邊分別是，若，且，則的面積等于 _【答案】【解析】【分析】

12、先由正弦定理得 a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面積公式求得的面積 .【詳解】化解得：即：a=b又解得： a=b=【點(diǎn)睛】本題考查了正、余弦定理、三角形面積公式，解題中主要利用正、余弦定理對(duì)邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.15.直線的傾斜角的取值范圍是 _【答案】【解析】【分析】討論若 sin 0，若 sin 0，求得直線的斜率，由正弦函數(shù)的值域，可得 k 的范圍，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，即可得到傾斜角的范圍【詳解】直線，若 sin 0，則 x3，直線的斜率不存在，傾斜角為90；若 sin 0，則直線的斜率 k，由 1sin 0 或 0sin 1，可得 k1或 k1，由 ktan （ 為不等于 90的傾斜角）

13、，可得 45 90或90 135，綜合以上可得，傾斜角的取值范圍是故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，注意斜率不存在的情況，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題16.已知正方形的邊長(zhǎng)為，將沿對(duì)角線折起，使平面平面，得到如圖所示的三棱錐，若 為的中點(diǎn)，分別為上的動(dòng)點(diǎn) (不包括端點(diǎn) )，且，則三棱錐的體積取得最大值時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件得到 bo 平面 acd；進(jìn)而求出三棱錐n amc 的體積的表達(dá)式，即可求出結(jié)論【詳解】因?yàn)檎叫蝍bcd 的邊長(zhǎng)為 2 ，所以： ac=4又平面 abc 平面 acd，o 為 ac 邊的中點(diǎn)bo ac ；所以 bo 平

14、面 acd 三棱錐n amc 的體積y=f（x）= samc?no= ac?cm?sin acm?no= 4?x?（ 2 x）= （ x2+2x ）=（x 1）2+當(dāng) x=1 即時(shí)，三棱錐的體積取得最大值設(shè)內(nèi)切球半徑為 r此時(shí)解得 r=故答案為：【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑 三、解答題：共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第 1721

15、 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60 分17.已知函數(shù)=(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知在 abc中，a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若,，求.【答案】（ 1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）b=c=2【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)的遞增區(qū)間；（ 2）由,求得，利用余弦定理，結(jié)合，列方程組可求得 的值.【詳解】 (1) = sin(3 +x) cos( -x)+cos2(+x)，(-cos x)+(-sin x

16、)=，由 2k-2x-2k+ ，kz，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是kz(2)由,得，sin(2a- )+ =，0a， 02a2，a=2， b+c=4 ，根據(jù)余弦定理得，4= + - 2bccos a=+ - bc=(b+c) -3bc=16-3bc ，bc=4 ，聯(lián)立得， b=c=2【點(diǎn)睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心 .18.某競(jìng)賽的題庫(kù)系統(tǒng)有60%

17、的自然科學(xué)類題目， 40%的文化生活類題目 (假設(shè)題庫(kù)中的題目總數(shù)非常大)，參賽者需從題庫(kù)中抽取 3 個(gè)題目作答，有兩種抽取方法：方法一是直接從題庫(kù)中隨機(jī)抽取 3 個(gè)題目；方法二是先在題庫(kù)中按照題目類型用分層抽樣的方法抽取10 個(gè)題目作為樣本，再?gòu)倪@10 個(gè)題目中任意抽取 3 個(gè)題目 (1)兩種方法抽取的 3 個(gè)題目中，恰好有1 個(gè)自然科學(xué)類題目和 2 個(gè)文化生活類題目的概率是否相同?若相同，說明理由；若不同，分別計(jì)算出兩種抽取方法對(duì)應(yīng)的概率(2)已知某參賽者抽取的3 個(gè)題目恰好有 1 個(gè)自然科學(xué)類題目和2 個(gè)文化生活類題目，且該參賽者答對(duì)自然科學(xué)類題目的概率為 ，答對(duì)文化生活類題目的概率為設(shè)

18、該參賽者答對(duì)的題目數(shù)為 x，求 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（ 1）兩種抽取方法得到的概率不同（2）見解析【解析】【分析】（1）分別計(jì)算兩種方法下概率，再比較，（2）先確定隨機(jī)變量，再分別求對(duì)應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望 .【詳解】 (1)兩種抽取方法得到的概率不同方法一：由于題庫(kù)中題目總數(shù)非常大，可以認(rèn)為每抽取1 個(gè)題目，抽到自然科學(xué)類題目的概率均為，抽到文化生活類題目的概率均為 ，所以抽取的 3 個(gè)題目中恰好有 1 個(gè)自然科學(xué)類題目和 2 個(gè)文化生活類題目的概率為 ( ) =方法二：按照題目類型用分層抽樣抽取的10 個(gè)題目中有 6 個(gè)自然科學(xué)類題目和4 個(gè)文化生活類題

19、目，從這10 個(gè)題目中抽取 3 個(gè)題目，恰好有 1 個(gè)自然科學(xué)類題目和2 個(gè)文化生活類題目的概率為=(2)由題意得， x 的所有可能取值為0，1，2，3p(x=0)= ，p(x=1)= +=p(x=2)= += ，p(x=3)= = 所以 x 的分布列為x0123px 的數(shù)學(xué)期望 e(x)=0 +1 +2 +3= 【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)

20、所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值 .19.已知橢圓 ：的左、右焦點(diǎn)分別為，過 任作一條與兩條坐標(biāo)軸都不垂直的直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為 8，當(dāng)直線的斜率為 時(shí)，與 軸垂直.（）求橢圓的方程；（）在軸上是否存在定點(diǎn)，總能使平分？說明理由 .【答案】（ 1）.（2）【解析】試題分析：(1)利用題意求得，.所以橢圓 的方程為.(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程討論可得為所求.試題解析：（）因?yàn)?，即，有，所以，即，?dāng)直線的斜率為 時(shí)，與 軸垂直，所以，由，且，解得，即，又，故，所以，由，得.所以橢圓 的方程為.（）由

21、（）得，設(shè)直線的方程為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立，消去 ，整理得，所以，設(shè)，由已知平分，得，所以，即，即，所以，即，所以，即，所以為所求 .20.如圖 1，在平行四邊形中，點(diǎn) 是的中點(diǎn)，點(diǎn) 是的中點(diǎn)分別沿將和折起，使得面面(點(diǎn)在平面的同側(cè) )，連接，如圖 2 所示(1) 求證：；(2) 當(dāng)，且面面時(shí)，求二面角的余弦值【答案】（ 1）見解析；（ 2）1【解析】【分析】（1）由已知可得 cbf 為等邊三角形，連接ef，由已知可得bef為等邊三角形取bf 的中點(diǎn) o，連接 oc，oe，可得co bf，eo bf從而得到bf平面 coe，則 bfce ；（2）由（ 1）知， co bf，結(jié)合條件可證oe

22、 bf，求得，利用錐體體積公式求解即可.【詳解】（ 1）四邊形為平行四邊形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又，為等邊三角形，連接，由，得為等邊三角形取的中點(diǎn) ，連接，則平面，則；（2）由（ 1）知，又平面平面，則平面，又，三棱錐的體積【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，幾何體體積求解，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題21.定義在 上的函數(shù)滿足，(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)如果，且，求證：【答案】（ 1）單調(diào)遞增區(qū)間為； （2）見解析 .【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，可得，再在 f（x）中令 x0 得 f（0），從而得 f（x）e2x+x2 2x，可得，通過研究其導(dǎo)函數(shù)得到的單調(diào)區(qū)間；（2）先由（

23、 1）得單調(diào)遞增且不妨設(shè)，分析，得 x1、x2 滿足，要證，即證，由單調(diào)遞增，故只需證明，構(gòu)造函數(shù)再結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論【詳解】 (1) 由，得令，得，故又，則，故，于是；當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；故，故在 上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(2) 注意到，由得由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，下面用分析法，要證，即證，由單調(diào)遞增，故只需證明，而，故只需證，即證設(shè)，則，令則，單增，又, 即， 在上單調(diào)遞增，故【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性及證明不等式問題，利用構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明不等式是解題的關(guān)鍵，屬于較難題（二）選考題：共10 分請(qǐng)考生在第 22、23 題中

24、任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：（ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線 的極坐標(biāo)方程為（1）分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線 交曲線于 ，兩點(diǎn)，交曲線于 ， 兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)【答案】（），（）【解析】試題分析 : （）由，能求出曲線 c1 的極坐標(biāo)方程，曲線 c2 的參數(shù)方程消去參數(shù)能求出曲線c2 的普通方程，從而能求出曲線c2 的極坐標(biāo)方程（）聯(lián)立直線與圓的方程，求交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，的長(zhǎng)，從而根據(jù)計(jì)算可得 .試題解析：（）曲線 的普通方程為，即，曲線 的極坐標(biāo)方程為，即因?yàn)榍€

25、的極坐標(biāo)方程為，即，故曲線的直角坐標(biāo)方程為，即（）直線的極坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)方程得，由得或. 則，由得或則故.23.已知函數(shù)，.（1）若，解不等式；（2）若不等式至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍 .【答案】（ 1）；（2）見解析 .【解析】試題分析： (i)當(dāng)時(shí),利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值,將不等式變?yōu)榉侄尾坏仁絹?lái)求得解集； (ii)作出函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象,通過數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想方法求得的取值范圍 .試題解析：（）若a=1，則不等式+3化為 2-+|x-1|3當(dāng) x1時(shí)， 2-+x-1 3，即 -x+2 0，(x-)2+0 不成立；當(dāng) x1 時(shí)， 2-x+1 3，即 +x0，

26、解得 -1 x0綜上，不等式+3的解集為 x|-1 x0 （）作出y=的圖象如圖所示，當(dāng)a0 時(shí)，的圖象如折線所示，由，得 +x-a-2=0 ，若相切，則=1+4(a+2)=0 ，得a=-，數(shù)形結(jié)合知，當(dāng) a- 時(shí)，不等式無(wú)負(fù)數(shù)解，則-a至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解當(dāng) a0 時(shí)，的圖象如折線所示，此時(shí)當(dāng) a=2 時(shí)恰好無(wú)負(fù)數(shù)解，數(shù)形結(jié)合知，當(dāng) a2 時(shí)，不等式無(wú)負(fù)數(shù)解，則0a至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 (-，2)校 2019 屆高三數(shù)學(xué)第九次月考試題理（含解析）（全卷共 150 分，考試時(shí)間為 120 分鐘）注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上2作答時(shí)，務(wù)必將答

27、案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效3考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自己保管好，以備評(píng)講）一、選擇題：本大題共12 小題，每題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，則集合 的真子集個(gè)數(shù)為（）a. 2 b. 3 c. 7 d. 8【答案】 c【解析】【分析】先求出集合 a，進(jìn)而求出其真子集的個(gè)數(shù)【詳解】因?yàn)榧?，集?，真子集個(gè)數(shù)為 2317 個(gè)，故選： c【點(diǎn)睛】本題考查了真子集的概念及性質(zhì)，考查集合的表示方法：列舉法，是一道基礎(chǔ)題2.我們用表示復(fù)數(shù) 的實(shí)部，用表示復(fù)數(shù) 的虛部，若已知復(fù)數(shù)z 滿足，其中是復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)，則（）a. 0 b.

28、 1 c. d. 【答案】 a【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)z，得到復(fù)數(shù)的虛部與實(shí)部，即可得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋蔬x： a【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力3.在等差數(shù)列中，前 項(xiàng)和滿足，則（）a. 7 b. 9 c. 14 d. 18【答案】 b【解析】，所以，選 b.4.袋中裝有大小相同的四個(gè)球，四個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“ 0”“ 1”“ 9”現(xiàn)從中隨機(jī)選出三個(gè)球，則所選的三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）a. b. c. d. 【答案】 d【解析】【分析】現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，基本事件總數(shù)n4，其中能構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件只

29、有一個(gè)，由此能求出概率【詳解】袋中裝有大小相同的四個(gè)球，四個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“ 0”“ 1”“ 9”，現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，基本事件總數(shù) n4，所選的三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件有：（0，1，2），共有 1 個(gè)，所選的三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列的概率是p故選： d【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用5.若兩個(gè)單位向量， 的夾角為，則的最小值為（）a. b. c. 1 d. 【答案】 b【解析】【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最小值【詳解】?jī)蓚€(gè)單位

30、向量， 的夾角為 120，可得 ?| |?| |cos120 ，則|k |22 2k ?k2 21+k+k2 （k）2，可得 k時(shí)，|k |的最小值為故選： b【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查了向量的模的運(yùn)算，考查二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且,則( )a. b. c. d. 【答案】 b【解析】【分析】先求再求最后求.【詳解】由題得所以.故答案為： b【點(diǎn)睛】 (1)本題主要考查正態(tài)分布和指定區(qū)間的概率，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力 .(2)對(duì)于正態(tài)分布指定區(qū)間概率的計(jì)算，不要死記硬背，要結(jié)合正態(tài)分布圖像求區(qū)間

31、上的概率 .7.若展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）a. 40 b. 30 c. 20 d. 15【答案】 d【解析】【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n5，可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x 的冪指數(shù)等于 3，求得 r 的值，即可求得結(jié)果【詳解】由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n32，求得 n5，可得展開式的通項(xiàng)公式為 tr+1?=?，令3，求得 r4，則展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是5，故選： d【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題8.關(guān)于 的不等式的解集為，則 的取值范圍為 （）a. b. c. 或d.

32、【答案】 d【解析】【分析】分情況討論，當(dāng)時(shí)，求出滿足條件的的值；當(dāng)時(shí)，求出滿足條件的的取值范圍，即可得出結(jié)果 .【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則原不等式可化為，顯然恒成立；若，則原不等式可化為不是恒成立，所以舍去；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈慕饧癁?，所以只需，解?綜上， 的取值范圍為：.故選 d【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立的問題，需要用分類討論的思想來(lái)處理，屬于?？碱}型 .9.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2 倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小正值為（）a. b. c. d. 【答案】 c【解析】【分析】由題意根據(jù)函數(shù) yasin （ x+ ）的圖象

33、變換規(guī)律，可得所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 y2sin（x2 ），再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得，kz，由此求得 的最小值【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移（ 0）個(gè)單位，可得 y2sin2 （x） 2sin（2x2 ）的圖象；再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2 倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 y2sin（x2 ）再根據(jù)所得圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，可得2 k，kz，即，故 的最小正值為，故選： c【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)yasin（ x+ ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題10.如圖是函數(shù)的部分圖像，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）a. b. c. d. 【答案】 b【解析】【分析

34、】由題意可知的對(duì)稱軸,又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可得解 .【詳解】根據(jù)所給的二次函數(shù)圖象觀察可得，它的對(duì)稱軸方程為，且，由于在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是,故選 b.【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.已知橢圓，f1，f2 為其左、右焦點(diǎn)， p 為橢圓 c 上任一點(diǎn)，的重心為 g，內(nèi)心 i，且有（其中 為實(shí)數(shù)），橢圓 c 的離心率 e=（ ）a. b. c. d. 【答案】 a【解析】試題分析：方法一：如圖，點(diǎn)為三角形的重心，點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，則，所以又因，所以，因此考點(diǎn)：求橢圓離心率【一題多解】方法二：特殊值法當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)，

35、則向量，也即點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，此時(shí)內(nèi)切圓的半徑為，于是，解得故選 b12.對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，若對(duì)所有的， 都有，則稱和互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”. 若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】 d【解析】【分析】先得出函數(shù) f（x）ex 1+x 2 的零點(diǎn)為 x1再設(shè) g（x）x2axa+3 的零點(diǎn)為 ，根據(jù)函數(shù)f（x）ex 1+x 2 與 g（x）x2axa+3 互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，利用新定義的零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，有|1 | 1，從而得出g（x）x2 ax a+3 的零點(diǎn)所在的范圍，最后利用數(shù)形結(jié)合法求解即可【詳解】函數(shù) f（x） ex 1+x2 的零點(diǎn)為 x1設(shè)

36、g（x）x2ax a+3 的零點(diǎn)為 ，若函數(shù) f（x）ex 1+x2 與 g（x）x2 ax a+3 互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，根據(jù)零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，則 |1 | 1，0 2，如圖由于 g（x）x2 ax a+3 必過點(diǎn) a（ 1，4），故要使其零點(diǎn)在區(qū)間 0，2上，則或，解得 2a3，故選： d【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，考查了新定義，主要采用了轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的圖象的零點(diǎn)的取值范圍問題，解題中注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用二、填空題：本大題共4 小題，每題 5 分，共 20 分13.已知實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值為 _【答案】 2【解析】【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)

37、劃的知識(shí)，通過平移即可求z 的最大值【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由 zx+2y，得 y，平移直線 y，由圖象可知當(dāng)直線y經(jīng)過點(diǎn) a 時(shí)，直線 y的截距最大，此時(shí)z 最大由，得，即 a（0，1），此時(shí) z 的最大值為 z0+212，故答案為： 2【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法14.在中，角所對(duì)的邊分別是，若，且，則的面積等于_【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得 a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面積公式求得的面積 .【詳解】化解得：即：a=b又解得： a=b=【點(diǎn)睛】本題考查了正、余弦定理、三角形面積公式，解題中主要利用正、余弦定理對(duì)邊

38、角進(jìn)行轉(zhuǎn)化 .15.直線的傾斜角的取值范圍是 _【答案】【解析】【分析】討論若 sin 0，若 sin 0，求得直線的斜率，由正弦函數(shù)的值域，可得 k 的范圍，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，即可得到傾斜角的范圍【詳解】直線，若 sin 0，則 x3，直線的斜率不存在，傾斜角為90；若 sin 0，則直線的斜率 k，由 1sin 0 或 0sin 1，可得 k1或 k1，由 ktan （ 為不等于 90的傾斜角），可得 45 90或90 135，綜合以上可得，傾斜角的取值范圍是故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，注意斜率不存在的情況，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題16.已知正方形的邊長(zhǎng)為，將沿

39、對(duì)角線折起，使平面平面，得到如圖所示的三棱錐，若 為的中點(diǎn)，分別為上的動(dòng)點(diǎn) (不包括端點(diǎn) )，且，則三棱錐的體積取得最大值時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為_ 【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件得到 bo 平面 acd；進(jìn)而求出三棱錐 n amc 的體積的表達(dá)式，即可求出結(jié)論【詳解】因?yàn)檎叫蝍bcd 的邊長(zhǎng)為 2，所以： ac=4又平面 abc 平面 acd，o 為 ac 邊的中點(diǎn)bo ac ；所以 bo 平面 acd 三棱錐n amc 的體積y=f（x）= samc?no= ac?cm?sin acm?no= 4?x? （ 2x）=（ x2+2x）= （x1）2+當(dāng) x=1 即時(shí)，三棱錐的體積取得

40、最大值設(shè)內(nèi)切球半徑為 r此時(shí)解得 r=故答案為：【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑三、解答題：共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60 分17.已知函數(shù)=(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知在 abc 中，a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，

41、b，c，若,，求.【答案】（ 1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）b=c=2【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)的遞增區(qū)間；（ 2）由,求得，利用余弦定理，結(jié)合，列方程組可求得的值.【詳解】 (1) =sin(3 +x) cos( -x)+cos2(+x)，(-cos x)+(-sin x)=，由 2k-2x-2k+ ，kz，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是kz(2)由,得，sin(2a-)+ =，0a， 02a2，a=2， b+c=4 ，根據(jù)余弦定理得，4=+- 2bccos a=+- bc=(b

42、+c) -3bc=16-3bc ，bc=4 ，聯(lián)立得， b=c=2【點(diǎn)睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18.某競(jìng)賽的題庫(kù)系統(tǒng)有60%的自然科學(xué)類題目， 40%的文化生活類題目 (假設(shè)題庫(kù)中的題目總數(shù)非常大 )，參賽者需從題庫(kù)中抽取3 個(gè)題目作答，有兩種抽取方法：方法一是直接從題庫(kù)中隨機(jī)抽取 3 個(gè)題目；方法二是先在題庫(kù)中按照題目類型用分層抽樣的方

43、法抽取10 個(gè)題目作為樣本，再?gòu)倪@ 10 個(gè)題目中任意抽取3 個(gè)題目 (1)兩種方法抽取的 3 個(gè)題目中，恰好有1 個(gè)自然科學(xué)類題目和2 個(gè)文化生活類題目的概率是否相同 ?若相同，說明理由；若不同，分別計(jì)算出兩種抽取方法對(duì)應(yīng)的概率(2)已知某參賽者抽取的3 個(gè)題目恰好有 1 個(gè)自然科學(xué)類題目和2 個(gè)文化生活類題目，且該參賽者答對(duì)自然科學(xué)類題目的概率為，答對(duì)文化生活類題目的概率為設(shè)該參賽者答對(duì)的題目數(shù)為 x，求 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（ 1）兩種抽取方法得到的概率不同（2）見解析【解析】【分析】（1）分別計(jì)算兩種方法下概率，再比較，（2）先確定隨機(jī)變量，再分別求對(duì)應(yīng)概率，列表得分布列，最

44、后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.【詳解】 (1)兩種抽取方法得到的概率不同方法一：由于題庫(kù)中題目總數(shù)非常大，可以認(rèn)為每抽取1 個(gè)題目，抽到自然科學(xué)類題目的概率均為 ，抽到文化生活類題目的概率均為，所以抽取的 3 個(gè)題目中恰好有 1 個(gè)自然科學(xué)類題目和 2 個(gè)文化生活類題目的概率為 ( ) =方法二：按照題目類型用分層抽樣抽取的10 個(gè)題目中有 6 個(gè)自然科學(xué)類題目和4 個(gè)文化生活類題目，從這 10 個(gè)題目中抽取 3 個(gè)題目，恰好有1 個(gè)自然科學(xué)類題目和2 個(gè)文化生活類題目的概率為=(2)由題意得， x 的所有可能取值為0，1，2，3p(x=0)=，p(x=1)= +=p(x=2)= += ，p(x=

45、3)= = 所以 x 的分布列為x0123px 的數(shù)學(xué)期望 e(x)=0 +1+2 +3 =【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.19.已知橢圓 ：的左、右焦點(diǎn)分別為，過任作一條與兩條坐標(biāo)軸都不垂直的直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為 8，當(dāng)直線的

46、斜率為 時(shí)，與 軸垂直.（）求橢圓的方程；（）在 軸上是否存在定點(diǎn)，總能使平分？說明理由 .【答案】（ 1）.（2）【解析】試題分析：(1)利用題意求得，.所以橢圓的方程為.(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程討論可得為所求 .試題解析：（）因?yàn)?，即，有，所以，即，?dāng)直線的斜率為 時(shí)，與 軸垂直，所以，由，且，解得，即，又，故，所以，由，得.所以橢圓的方程為.（）由（）得，設(shè)直線的方程為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立，消去 ，整理得，所以，設(shè)，由已知平分，得，所以，即，即，所以，即，所以，即，所以為所求 .20.如圖 1，在平行四邊形中，點(diǎn) 是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)分別沿將和折起，使得面面(點(diǎn)在平面的同側(cè) )，連接，如圖 2 所示(1) 求證：；(2) 當(dāng)，且面面時(shí)，求二面角的余弦值【答案】