分形幾何在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

1、分形幾何在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用摘要：本文簡(jiǎn)要介紹了分形幾何理論及其分形理論在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，并在此基礎(chǔ)上分析了三個(gè)具有分形意義的著名建筑的實(shí)例。 關(guān)鍵詞：分形，分維，建筑設(shè)計(jì)1. 引言在過(guò)去的2000年，歐幾里德幾何學(xué)中的形狀都是直線與平 面、圓與球、三角形與圓錐式的幾何形體。而在建筑設(shè)計(jì)中簡(jiǎn)單的幾 何形體構(gòu)筑的結(jié)構(gòu)體系合乎理性且易于設(shè)計(jì)和建造。因此千百年來(lái)， 西方建筑師一直視歐幾里德幾何為衡量與創(chuàng)造空間的唯一的經(jīng)典幾 何體系。然而，大千世界演化出如此復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，是不能用傳統(tǒng)的歐 氏幾何來(lái)解釋。詹姆斯？格萊克曾指出：歐氏幾何是現(xiàn)實(shí)的高度抽象， 正是它們啟示了柏拉圖的和諧哲學(xué)。歐幾里德利用這些圖形

2、構(gòu)筑了兩 千年的歷史的傳統(tǒng)幾何學(xué)，而這也正是大多數(shù)人學(xué)過(guò)的幾何學(xué)。 藝術(shù) 家在其中找到了理想的美，托勒密派天文學(xué)家利用它構(gòu)筑了一個(gè)宇宙 理論。但是，為了了解復(fù)雜，歐幾里德幾何是一種錯(cuò)誤的抽象過(guò)程?！?科學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展加深了人類對(duì)大自然的內(nèi)在組 織機(jī)理的認(rèn)識(shí)和了解。正是在這樣的背景下，20世紀(jì)70年代曼德?tīng)柌贾Z特提出了新的幾何理論 分形。曼德?tīng)柌贾Z特說(shuō)：云不是球，山不是錐，閃電并非直線。新的幾何學(xué)這一面鏡子里映照出來(lái)的 宇宙是一個(gè)粗糙的，而不是滾圓的，是凹凸不平的，而不是平滑無(wú)暇 的。它是坑坑洼洼，斷裂、扭曲、糾成一團(tuán)，相互環(huán)繞的幾何學(xué)。對(duì) 于大自然復(fù)雜性的了解期待著一種猜想， 認(rèn)定復(fù)

3、雜性決非隨機(jī)，也非 偶然。霹靂長(zhǎng)空閃電的徑跡之所以有意義，并不是它們的方向，而是 在于它們分布的曲曲折折，這就是我們這一代幾何學(xué)所要求的信念。分形幾何的提出，為我們了解事物的本質(zhì)提供了有利的依據(jù),同時(shí)也為建筑和藝術(shù)的發(fā)展提供了廣闊的發(fā)展空間。2. 分形寒冬臘月，人們由衷地贊賞玻璃上結(jié)晶的冰花形態(tài)萬(wàn)千，卻 很少有人想過(guò)它為何具有那樣的形狀； 面對(duì)蜿蜒曲折的海岸線，人們 只是感嘆自然造物的偉大，卻不曾想過(guò)，它究竟有多長(zhǎng)。萬(wàn)事萬(wàn)物復(fù) 雜的形狀和結(jié)構(gòu)是難以用傳統(tǒng)的歐氏幾何衡量的。正是由于歐氏幾何在解釋這些現(xiàn)象時(shí)的困難導(dǎo)致了分形理論的誕生。分形理論是1975年由美國(guó)數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌贾Z特（B.B.Man d

4、elbrol ）提出的， 分形”一詞來(lái)源于拉丁語(yǔ)中的“ Frangere?！标P(guān)于 分形，曼德?tīng)柌贾Z特在其著作分形：形式、偶然性、維數(shù)中是這 樣描述的：自然界的許多事物的組成部分可能在一定的條件下或過(guò)程 中，在某些方面（形態(tài)、結(jié)構(gòu)、信息、功能等）表現(xiàn)出與整體的相似 性，即具有自相似性（確定性的或統(tǒng)計(jì)意義上的），并能夠用連續(xù)取 值的分?jǐn)?shù)維數(shù)來(lái)描述。分形的這些性質(zhì)是自然實(shí)在的形態(tài)的共同的內(nèi) 在屬性。所以說(shuō)，分形幾何是一種更加貼近自然本來(lái)面目，更能揭示 自然內(nèi)在結(jié)構(gòu)的一種 真實(shí)”的幾何學(xué)。對(duì)于分形來(lái)說(shuō)，很難給出一個(gè)簡(jiǎn)單嚴(yán)整的數(shù)學(xué)定義，我們可 以將其視作一個(gè)具有某些共同特性的集合。英國(guó)數(shù)學(xué)家Falcom

5、er.K認(rèn)為，分形的數(shù)學(xué)定義可以借助生物學(xué)中對(duì)生命”的定義的方法，生物學(xué)中將 生命”的定義用一系列生命體共有的特性來(lái)界定。據(jù)此F alcomer.K 提出了分形集的基本性質(zhì)，并將分形定義為，分形是具 有如下所列性質(zhì)的集合F:1. F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。2. F是不規(guī)則的，以至于不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述。3. F通常具有某種自相似性，或許是近似的或許是統(tǒng)計(jì)意義下 的。4. F在某種方式下定義的分維數(shù)”通常大于F的拓?fù)渚S數(shù)。5. F的定義常常是非常簡(jiǎn)單的，或許是遞歸的。自然界中存在無(wú)數(shù)分形的例子，馮？科和雪花曲線(圖1 )可 視作分形的典型例子。馮?科和是這樣描述馮？科

6、和雪花曲線(KochC urve)的：先畫一個(gè)等邊三角形，把邊長(zhǎng)為原來(lái)三角形邊長(zhǎng)的三分之 一的小等邊三角形選放在原來(lái)三角形的三條邊上，由此得到一個(gè)六角星，再將這個(gè)六角星的每個(gè)角上的小等邊三角形按上述同樣方法變成 一個(gè)小六角星，如此一直進(jìn)行下去，就得到了雪花的形狀。塞爾平斯基地毯(圖2 )是另外一個(gè)經(jīng)典的分形。塞爾平斯 基地毯(SierpinskiCarpet )初始元是一個(gè)正方形，每邊三等分把 它分成一般大的9個(gè)正方形，挖去正中間的一塊。再把其余的8個(gè)也分成一般大的9個(gè)正方形再各自挖去正中間的一塊，相繼如圖操作, 最終該地毯的面積為不變，孔的周界長(zhǎng)度無(wú)限。另外，本世紀(jì)初少數(shù) 的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)考慮過(guò)

7、看起來(lái)十分古怪的形狀，圖3所示的塞爾平斯基 地毯的三維形態(tài)就是其中之一，數(shù)學(xué)家們稱它為孟格爾海綿，它的體 積為零，表面積無(wú)窮大。3 分維在自然界中存在著許多事物，它們具有標(biāo)度不變的性質(zhì)，維 數(shù)是為了確定幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置而需要的獨(dú)立的坐標(biāo)的數(shù)目。曼德?tīng)柌贾Z特指出：一個(gè)分形集一般具有三個(gè)要素：形”（Form ）、偶然性（Cha nee ）、維數(shù)（Dime nsio n ）。我們可以毫不 費(fèi)力地區(qū)分出一座山和一朵云，是因?yàn)樗鼈兙哂胁煌男巍保瑯游?們也能輕易地區(qū)分出一段海岸線與一條科和曲線，這是因?yàn)殡m然它們同樣具有大約為1.3的維數(shù)，但由于 機(jī)遇”（隨機(jī)性）因素的影響， 海岸線具有更為紊亂的

8、形狀。雖然分形看起來(lái)復(fù)雜多變、難以名狀， 例如云朵，很難說(shuō)清楚它到底是什么形狀，但是誰(shuí)都知道什么是云， 而且能夠分出烏云、浮云等等。這是因?yàn)闊o(wú)論分形的生成機(jī)制和構(gòu)造 方法多么不同，它們都可以通過(guò)一個(gè)特征量來(lái)測(cè)定其不平整度、復(fù)雜 度和卷積度。這個(gè)特征量就是分形維數(shù)”（FractalDimension ）, 簡(jiǎn)稱 分維”。曼德勃羅特認(rèn)為 分維”比起 形”和 機(jī)遇”更容易描述分 形集的不規(guī)則度和破碎度，可以說(shuō)分形維數(shù)”是貫穿分形理論的主線。 維數(shù)不必是整數(shù)維，可以是分?jǐn)?shù)維。如閃電的叉狀電光具有大約1.3的維數(shù)。設(shè)想如果把科和曲線區(qū)間2/3 , 1中的圖形放大三倍，放 大后的圖形與原來(lái)的曲線形狀完全相

9、同。對(duì)于非整數(shù)維的引入我們可以這樣理解：我們?cè)跍y(cè)量一個(gè)幾何形時(shí)，需要選擇基本單位，只有這個(gè)單位的維數(shù)必須與所測(cè)量的圖形的維數(shù)一致，才能夠得到確定的值。例如我們用單位長(zhǎng)度的線段去 測(cè)量直線的長(zhǎng)度（二者的拓?fù)渚S數(shù)均為 1），或者用單位面積的正方 形和一個(gè)區(qū)域的面積（二者的拓?fù)渚S數(shù)均為 2），反過(guò)來(lái)，用線段去 測(cè)量區(qū)域的面積，所得的結(jié)果將是無(wú)窮大，說(shuō)明所用的尺度太細(xì)”如若用單位正方形去度量線段的面積， 結(jié)果必為零，說(shuō)明所用的尺度 太 粗”同樣的道理，當(dāng)我們用一維的單位線段去測(cè)量科和曲線的長(zhǎng) 度時(shí)其結(jié)果是無(wú)窮大，如果用二維的單位面來(lái)度量其結(jié)果又是零。 如 果想要得到確定的度量值，必須以維數(shù)介于 1和2

10、之間的尺度來(lái)測(cè) 量，因此，科和曲線是非整數(shù)維且維數(shù)大于 1小于2的幾何對(duì)象。 分維值反映了分形集的復(fù)雜程度，體現(xiàn)了分形所占據(jù)的空間大小，維 數(shù)越高的分形集填充的空間越多。4 .分形理論在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用隨著我們對(duì)大自然的認(rèn)識(shí)越來(lái)越多，我們?cè)诮ㄖ蠈?duì)幾何的 理解也產(chǎn)生變化并向前發(fā)展。我們?cè)僖膊蝗タ是竽硞€(gè)理想化的對(duì)稱的 幾何圖形，而是試圖去了解大自然中有序與無(wú)序之間特定的組合， 去 感受用有序與無(wú)序交織而成的和諧的排列所帶給我們美的啟示。分形幾何理論的提出，引導(dǎo)建筑走向一個(gè)更好的發(fā)展方向一 個(gè)比現(xiàn)代風(fēng)格更具創(chuàng)造力的世界觀，也引導(dǎo)著建筑回歸到真實(shí)的自然 世界。4.1雅吉里？卡雅神廟建筑師卡爾.巴維爾

11、在建筑設(shè)計(jì)中的分形幾何一書中指出： 在建筑學(xué)和設(shè)計(jì)中分形幾何主要可以從兩個(gè)方面得以應(yīng)用，一方面它 可以作為一個(gè)有力的建筑批評(píng)工具，有助于解釋為什么許多現(xiàn)代主義 建筑不能夠被大眾接受的原因 一一它們過(guò)于 單調(diào)乏味"。另一方面. 在建筑設(shè)計(jì)中可以利用分形幾何生成復(fù)雜的韻律， 使建筑與周圍環(huán)境 取得協(xié)調(diào)。而且，對(duì)于批評(píng)和設(shè)計(jì)兩方面來(lái)說(shuō)分形幾何都提供了一種 混合確定性和非確定性的量化工具。雅吉里？卡雅神廟一直是古代西亞設(shè)計(jì)中美和神秘的化身。 從 圖4和圖5以及歷史資料的記載中可以看出，古赫梯人在修建這座 神廟時(shí)就不自覺(jué)的引用了樸素的分形分維數(shù)的概念。他們?cè)谘偶?？卡雅建造了一座露天神殿。神?/p>

12、位于一座巖石山谷之間，使用人工建 筑同山崖結(jié)合的手法，營(yíng)造出神秘的宗教氣氛，和對(duì)大自然的膜拜。 建筑與環(huán)境之間產(chǎn)生的這種和諧的韻律， 可以通過(guò)分形分維數(shù)來(lái)解釋： 當(dāng)山脈的輪廓線的分維數(shù)成為建筑分維數(shù)的一種參照和引導(dǎo)，兩者之間的分維數(shù)就會(huì)有某種內(nèi)在的聯(lián)系，那么產(chǎn)生建筑與山脈一體化的視 覺(jué)效果也就不足為奇了。進(jìn)入神殿要通過(guò)一個(gè)獨(dú)立的大門，復(fù)雜多變的空間劃分，使 進(jìn)入神殿的人們產(chǎn)生迷幻的心理。露天神殿內(nèi)部巖壁上刻滿了浮雕， 構(gòu)成了一個(gè)超自然的畫廊。這與現(xiàn)代主義建筑所提出的裝飾就是罪惡”、少就是多的”理念形成了鮮明的對(duì)立狀態(tài)。4.2特拉斯沃爾住宅在突破千篇一律的建筑設(shè)計(jì)道路上，模仿自然界的生物以及 生

13、物的巢穴，是創(chuàng)造復(fù)雜、混沌優(yōu)美的分形體的一條捷徑，究其原因： 從分形幾何理論的角度來(lái)看，因?yàn)榻ㄖW(xué)的分形特征表現(xiàn)之一是建筑 在形態(tài)上的自相似性，而生物體本身就是一個(gè)完美的分形體， 模仿它 也就不失為一種最有效的手段；其二，從仿生建筑師的角度來(lái)看，他 們認(rèn)為 大自然是經(jīng)濟(jì)的，每一種物種都有經(jīng)過(guò)數(shù)百年的進(jìn)化，因而 它們能以最低限度的方法來(lái)滿足需要。”特拉斯沃爾住宅是一所富有鮮明特色的仿生建筑，創(chuàng)作的靈 感來(lái)源于生物體的器官。純白色的怪異形態(tài)放置在帶有些許灰色調(diào)的 傳統(tǒng)建筑環(huán)境中，建筑在對(duì)比之下，躁動(dòng)充斥著整個(gè)畫面，但細(xì)細(xì)品 味強(qiáng)烈的韻律感又將整個(gè)場(chǎng)所統(tǒng)一在動(dòng)與靜、 未來(lái)與傳統(tǒng)的空間氛圍 中。建筑物

14、為曲線有機(jī)形的結(jié)構(gòu)，復(fù)雜性與運(yùn)動(dòng)的張力充滿了整個(gè)空 間，讓人覺(jué)得不可思議的是：室內(nèi)空間形態(tài)也是模仿生物體的內(nèi)部器 官，住在里面的人就好像在流動(dòng)著血液的器官內(nèi)部生活一樣，水泥地板也被一個(gè)個(gè)擁擠的氣墊所取代。 建筑師指出：特拉斯沃爾住宅要表 現(xiàn)出一種通過(guò)人在建筑空間中的運(yùn)動(dòng)而體會(huì)到感覺(jué)上的連貫的流動(dòng) 性和實(shí)體上的隱喻性。他們想創(chuàng)造一個(gè)真正的富有生命的實(shí)體。建筑與生物體之間的聯(lián)系，在這個(gè)住宅中得到了體現(xiàn)，那些 看似荒謬而流動(dòng)的建筑，一方面顯示了對(duì)自然界中形狀的重復(fù)， 同時(shí) 又表達(dá)了對(duì)大自然造物的崇拜。4.3阿姆斯特丹兒童之家分形理論創(chuàng)始人曼德?tīng)柌贾Z特曾說(shuō)過(guò)：藝術(shù)滿足一個(gè)條件，即缺乏尺度”。自相似性就

15、是跨尺度的對(duì)稱，它意味著遞歸，在一個(gè) 花樣內(nèi)部還有一個(gè)花樣，但其面積不變。在剖析阿姆斯特丹兒童之家（圖8）之前我想先讓大家了解一個(gè)概念一一分形簇”（圖7）:它是由計(jì)算機(jī)畫出的似乎是隨機(jī)排 列的粒子構(gòu)成一個(gè) 滲漏網(wǎng)絡(luò)”，這是分形幾何學(xué)所可創(chuàng)造的一個(gè)可視 模型。這種模型可以用來(lái)模擬現(xiàn)實(shí)世界的多種過(guò)程。 阿姆斯特丹兒童 之家在設(shè)計(jì)過(guò)程中采用了一種 多簇式”的設(shè)計(jì)手法。所謂 多簇式”是 指，按功能、結(jié)構(gòu)、設(shè)備與施工的要求，用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的單元組成若 干個(gè)單元組的方式。從圖7和圖8的對(duì)比中我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中分 形簇和建筑學(xué)多簇式的設(shè)計(jì)手法有異曲同工之妙。阿姆斯特丹兒童之家是模擬蜂巢式的空間形態(tài)，這種空間的

16、 布局形態(tài)可以進(jìn)一步概括為分形的層次自嵌式結(jié)構(gòu)， 由多層次的遞代 映射生成：整個(gè)建筑由各個(gè)不同的功能單元組成， 不同年齡的兒童集 群各有睡覺(jué)和活動(dòng)的場(chǎng)所，各個(gè)不同尺度層次的單體建筑的內(nèi)部形態(tài) 組織之間建立了連續(xù)的關(guān)系，例如整個(gè)建筑的統(tǒng)一模數(shù)的小房間為 3. 3*3.3m,活動(dòng)室是小房間的3倍。布局上分組明確，每組有自己的大小房間和一個(gè)內(nèi)院，同時(shí)又與外面開敞空間相聯(lián)系，形成棋盤式的 室內(nèi)外組合的空間布局。自相似性”原理有利于建筑系統(tǒng)構(gòu)成的整體把握。阿姆斯特 丹兒童之家之所以能成功地解決整體與個(gè)體的關(guān)系， 除了建筑師獨(dú)具 匠心之外，我認(rèn)為建筑師在無(wú)形之中遵循了分形理論， 應(yīng)用了分形的 手法，從而創(chuàng)造出了這樣杰出的建筑作品。參考文獻(xiàn)：1 詹姆斯？格萊克.混沌學(xué)傳奇M .盧侃上海