高二下數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)（精編版）

1、高二數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)大全(必修) 第 1 章空間幾何體 1 1 .1 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征1. 2 空間幾何體的三視圖和直觀圖11 三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下22 畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等33 直觀圖：斜二測畫法44 斜二測畫法的步驟：（1）. 平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；（2）. 平行于 y 軸的線長度變半，平行于x，z 軸的線長度不變；（3）. 畫法要寫好。5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（ 2）畫底面（ 3）畫側(cè)棱（ 4）成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積1 棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和2

2、圓柱的表面積3 圓錐的表面積2rrls4 圓臺(tái)的表面積22rrlrrls5 球的表面積24 rs（二）空間幾何體的體積1 柱體的體積hsv底2 錐體的體積hsv底313 臺(tái)體的體積hssssv)31下下上上（4 球體的體積334rv第二章 直線與平面的位置關(guān)系2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1 1 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成 450，且橫邊畫成鄰邊的2 倍長（如圖）222rrlsd c b a （2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對的兩個(gè)

3、頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面 ac 、平面 abcd 等。3 三個(gè)公理：（1）公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為al bl = l ab公理 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號表示為： a、b、c三點(diǎn)不共線 = 有且只有一個(gè)平面，使 a、 b、 c。公理 2 作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為： p = =l，且 pl 公理 3 作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1

4、空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè) a、b、c 是三條直線ab cb 強(qiáng)調(diào)：公理 4 實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a 與 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置來確定，與o 的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn) o 一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )

5、 ； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)la c b a p l共面直線=ac2（3）直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=a a2.2. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平

6、面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a b = aab 2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號表示：a b ab = p ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aa ab = b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如

7、果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號表示： = a ab = b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1、定義如果直線 l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作 l，直線 l 叫做平面的垂線，平面叫做直線l 的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí) , 它們唯一公共點(diǎn) p叫做垂足。 l p 2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)： a) 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b) 定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。1、二面角的概念：

8、表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形a 梭 l b 2、二面角的記法：二面角-l- 或 -ab-3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3 1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2 性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。本章知識結(jié)構(gòu)框圖第三章直線與方程3.1 直線的傾斜角和斜率3.1 傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l 與 x 軸相交時(shí) , 取 x 軸作為基準(zhǔn) , x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成的角叫做直線l 的傾斜角 . 特別地 , 當(dāng)直線 l 與 x軸平行或重合時(shí) , 規(guī)定 = 0.

9、 2、 傾斜角的取值范圍： 0 180. 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90. 3、直線的斜率 : 平面（公理1、公理 2、公理 3、公理 4）空間直線、平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系一條直線的傾斜角 (90) 的正切值叫做這條直線的斜率, 斜率常用小寫字母 k 表示, 也就是 k = tan當(dāng)直線 l 與 x 軸平行或重合時(shí) , =0, k = tan0=0; 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90, k 不存在. 由此可知 , 一條直線 l 的傾斜角一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 . 4、 直線的斜率公式 : 給定兩點(diǎn) p1(

10、x1,y1),p2(x2,y2),x1x2, 用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線p1p2的斜率：斜率公式 : 1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意: 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立即如果k1=k2, 那么一定有 l1l2 2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程1、直線的點(diǎn)斜式方程：直線l經(jīng)過點(diǎn)),(000yxp，且斜率為k2、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k，且與y軸

11、的交點(diǎn)為),0(b3.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)),(),(222211yxpxxp其中),(2121yyxx2、直線的截距式方程：已知直線l與x軸的交點(diǎn)為 a)0,(a，與y軸的交點(diǎn)為b), 0(b，其中0, 0 ba3.2.3 直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關(guān)于yx,的二元一次方程0cbyax（a，b不同時(shí)為 0）2、各種直線方程之間的互化。3.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)l1 ：3x+4y-2=0 l1：2x+y +2=0 解：解方程組34202220 xyxy得 x=-2 ，y=2 所以 l1 與 l2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 m

12、（-2 ，2）3.3.2兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間的距離公式3.3.3點(diǎn)到直線的距離公式1點(diǎn)到直線距離公式：點(diǎn)),(00yxp到直線0:cbyaxl的距離為：2200bacbyaxd2、兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線1l和2l的一般式方程為1l：01cbyax，2l：02cbyax，則1l與2l的距離為2221baccd第四章圓與方程4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：222()()xaybr圓心為 a(a,b), 半徑為 r 的圓的方程2、點(diǎn)00(,)m xy與圓222()()xaybr的關(guān)系的判斷方法：（1）2200()()xayb2r，點(diǎn)在圓外（2）2200()()xayb=2r，

13、點(diǎn)在圓上（3）2200()()xayb2r，點(diǎn)在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程：022feydxyx2、圓的一般方程的特點(diǎn)： (1) x2 和 y2 的系數(shù)相同，不等于0沒有 xy 這樣的二次項(xiàng) (2) 圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)d、e、f，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了(3) 、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1 圓與圓的位置關(guān)系1、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：0cbyax，圓c：022feydxyx，圓的半徑為r，圓心)2,2(ed到直線的距離為

14、d，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)rd時(shí)，直線l與圓c相離；（2）當(dāng)rd時(shí)，直線l與圓c相切；（3）當(dāng)rd時(shí)，直線l與圓c相交；4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)21rrl時(shí)，圓1c與圓2c相離；（2）當(dāng)21rrl時(shí)，圓1c與圓2c外切；（3）當(dāng)|21rr21rrl時(shí)，圓1c與圓2c相交；（4）當(dāng)|21rrl時(shí)，圓1c與圓2c內(nèi)切；（5）當(dāng)|21rrl時(shí)，圓1c與圓2c內(nèi)含；4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一

15、步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論1、點(diǎn) m對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組),(zyx，x、 y 、z分別是 p、q 、r在x、 y 、z軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組),(zyx，對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)3、空間中任意點(diǎn) m的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組),(zyx來表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)m在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記m),(zyx，x叫做點(diǎn) m的橫坐標(biāo)， y 叫做點(diǎn) m的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn) m的豎坐標(biāo)。1、空間中任意一點(diǎn)),(1111zyxp到點(diǎn)),(2222zyxp之間

16、的距離公式二、“三種角”與“六種距離”與平行與垂直相聯(lián)系。1 三種角：1）異面直線所成的角是指：_。2）線面角是指： _。3）二面角是指： _ ；二面角的平面角是指：_ 。其作法與求法為：當(dāng)二面角棱上一點(diǎn)為兩個(gè)半平面內(nèi)圖形的特殊點(diǎn)時(shí)常采用定義法, 過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角。當(dāng)已知二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)在另一個(gè)面內(nèi)的射影時(shí)常利用三垂線定理(或逆定理 ), 通過證明線線垂直，找到二面角的平面角。當(dāng)已知二面角內(nèi)點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)的射影時(shí)常采用垂面法, 交線所成的角為二面角的平面角。當(dāng)已知一平面圖形在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影時(shí)常利用射影法, 即使用射影面積公式 cos

17、=ss，式中是二面角，s是一面積為 s的平面圖形在另一面內(nèi)的射影面積。2六種距離（兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)與直線之間的距離、點(diǎn)與平面之間的距離、直線與直線之間的距離、直線與平面之間的距離、平面與平面之間的距離）的重點(diǎn)是點(diǎn)與平面之間的距離與異面直線間的距離。1）點(diǎn)與平面之間的距離：（1）概念；（ 2）求法有兩種 : 直接法：作點(diǎn)到平面的垂線，然后通過解三角形求垂線段長。等積法：把點(diǎn)面距看成是某個(gè)體積可求的錐體的高，利用等體積法求出高即點(diǎn)面距。2)異面直線間的距離：（ 1）概念；（ 2）求法有以下三種 : 直接應(yīng)用定義 (目前高考中不要求作法 ) ；利用線面距來求；也可利用面面距求之。三、多面體與旋轉(zhuǎn)體的

18、概念與性質(zhì)：1棱柱：兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)面的公共邊互相平行，這些面圍成的幾何體，稱為棱柱。其主要性質(zhì)有：1）側(cè)棱都相等且互相平行；2）側(cè)面都是平行四邊形；3）上下底面與平行于棱柱底面的截面是全等多邊形；4）過不相鄰兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形。特別地有，長方體的性質(zhì)：1）長方體一條對角線的平方等于同一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的平方和；2）設(shè) bd是長方體 ac 的一條對角線，（1）若 bd與 dd 、dc 、da所成的角分別為 、，則 cos2+cos2+cos2=1； （2）若 bd與平面 ac 、平面da、平面cd所成的角分別為、, 則 cos2+cos2+cos2=2

19、。2棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體叫棱錐 . 其主要性質(zhì)有：截面面積與底面面積之比為它們相似比的平方，所截得的棱錐的高與已知棱錐的高的比等于相似比。特別地有，正棱錐及性質(zhì)：（1） 正棱錐：底面題多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐。（2） 正棱錐的性質(zhì)：正棱錐的側(cè)棱相等；各側(cè)面都是全等的等腰三角形；正棱錐的斜高都相等； 正棱錐的高、 斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形；正棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形. 3球：定義（ 1）半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；定義（2）在空

20、間，到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合，就是球。其主要性質(zhì)有：（1）連結(jié)球心和截面圓心的直線垂直于截面；（2）球半徑的平方 =球心到截面圓的距離的平方 +截面圓的半徑的平方； （3）不過球心的截面截得的是球的小圓；經(jīng)過球心的截面截得的是球的大圓，且大圓是最大的截面圓。四、面、體積公式：1,chs柱側(cè)其中， c 為直棱柱或圓柱的底面周長（斜棱柱的直截面周長），h為柱體的側(cè)棱或母線長。2/2/1chs錐側(cè)，其中， c 為正棱錐或圓錐的底面周長，/h為正棱錐的斜高或圓錐的母線長。324 rs球，其中， r為球的半徑。4shv柱體，其中， s為柱體的底面積， h 為柱體的高。5shv3/1錐體，其中，

21、 s為錐體的底面積， h 為錐體的高。63/43rv球，其中， r為球的半徑。五、重要的數(shù)學(xué)思想和方法：一）六個(gè)基本思想：1等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：空間轉(zhuǎn)化為平面；平面與平面的平行、垂直轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行、垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行、垂直；點(diǎn)面距轉(zhuǎn)化為某個(gè)體積可求的錐體的高；異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距、線面距、面面距 等等 。無一不充滿等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想。 2實(shí)物特例的思想：我們利用手中的筆、三角板、翻折的試卷等實(shí)物去考查、研究線與線、線與面、面與面的關(guān)系或線、面的特殊位置而解決問題的一種想法，稱之為實(shí)物特例的思想。3函數(shù)的思想：函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。在立幾問題中，

22、根據(jù)幾何圖形的特征，建立有關(guān)幾何量的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)從而解決問題的想法。尤其是在解決最短距離、最大面、體積等問題時(shí)常常要用到。4分類討論思想：從通常意義上說，分類就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對象分成若干部分去解決。分類討論是數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，因此應(yīng)幫助學(xué)生掌握分類的思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和綜合解決問題的能力。研究平面與平面的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系都體現(xiàn)分類討論思想。5展開的思想：沿柱、錐的側(cè)棱或母線剪開展平或求最大、小值等等都要用到展開的思想。6極限的思想：利用“分割、求近似和、再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”的極限的思想求球的面、體積。二）四種

23、基本方法：1割補(bǔ)法：是“割體法”與“補(bǔ)體法”的統(tǒng)稱。把一個(gè)幾何體分成幾個(gè)熟悉的簡單的幾何體，從而得出原幾何體需要的結(jié)果的方法稱為割體法；把一個(gè)幾何體拼補(bǔ)成一個(gè)新的幾何體，通過對新幾何體的討論從而得出原幾何體需要的結(jié)果的方法稱為補(bǔ)體法。在解題過程中，有時(shí)要割，有時(shí)要補(bǔ)，有時(shí)既割又補(bǔ)。2等積法：把點(diǎn)面距看成是某個(gè)體積可求的錐體的高，利用等體積法求出高即點(diǎn)面距。3球面距離的求法： 1）求|ab| 的長； 2）求球心角 aob （弧度數(shù)）； 3）利用弧長公式 laob r得球面距離。4反證法：立幾問題中，很多問題從正面難易入手，則多采用反證法。第四章排列、組合、二項(xiàng)式定理、概率一、排列、組合、二項(xiàng)式定

24、理：1分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的理論基礎(chǔ)，這兩個(gè)原理的本質(zhì)區(qū)別在于分類與分步，分類用加法原理，分步用乘法原理。用加法原理的關(guān)鍵在于恰當(dāng)分類，做到“不重不漏”；用乘法原理的關(guān)鍵在于分步，要正確設(shè)計(jì)分步程序。2排列與組合的區(qū)別在于排列與順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)。它們的關(guān)系是：排列可分為“組合”和“全排”兩步。3mna =)!(!mnn=n(n1) (nm+1)；(記住共有m個(gè)因數(shù) !) ，!macmnmn=12) 1(1)m-(n1)-n(mmn；，( 這是最常用的兩個(gè)公式 ) 。)!(!mnnamn，)!( !mnmncmn。兩個(gè)規(guī)定：1! 0，11nc。兩個(gè)性質(zhì)：mnnmncc，

25、11mnmnmnccc(下同上差 1，下加 1，上取大 ) 。兩個(gè)結(jié)論：nnnnnncccc2210，1121mnmnmmmmmmccccc。4常見策略：(1) 特殊元素優(yōu)先安排； (2) 合理分類與準(zhǔn)確分步； (3) 排列組合混合問題先選后排； (4) 正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化； (5) 相鄰問題用捆綁法； (6) 不相鄰問題用插空法； (7) 定序問題用除法； (8) 分排問題直排法； (9) 元素相同用隔板法；（10）數(shù)字不大時(shí)用窮舉法；(11) 防止用“保證法”。6nnnnnnrrnrnnnnnnnnbcabcbacbacbacacba11222110)(。通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開式中第k+1 項(xiàng)的通項(xiàng)公式是： tk+