2013年福建省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

1、2013年福建省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求的.1（5分）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2（5分）已知集合A=1，a，B=1，2，3，則“a=3”是“AB“的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3（5分）雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離等于（）ABCD4（5分）某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），

2、90，100加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（）A588B480C450D1205（5分）滿足a，b1，0，1，2，且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（）A14B13C12D106（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k=10，則該算法的功能是（）A計(jì)算數(shù)列2n1的前10項(xiàng)和B計(jì)算數(shù)列2n1的前9項(xiàng)和C計(jì)算數(shù)列2n1的前10項(xiàng)和D計(jì)算數(shù)列2n1的前9項(xiàng)和7（5分）在四邊形ABCD中，=（1，2），=（4，2），則該四邊形的面積為（）ABC5D108（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，

3、x0（x00）是f（x）的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（）AxR，f（x）f（x0）Bx0是f（x）的極小值點(diǎn)Cx0是f（x）的極小值點(diǎn)Dx0是f（x）的極小值點(diǎn)9（5分）已知等比數(shù)列an的公比為q，記bn=am（n1）+1+am（n1）+2+am（n1）+m，cn=am（n1）+1am（n1）+2am（n1）+m，（m，nN*），則以下結(jié)論一定正確的是（）A數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為qmB數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為q2mC數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為D數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為10（5分）設(shè)S，T是R的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f（x）滿足：（i）T=f（x）|xS；（ii

4、）對(duì)任意x1，x2S，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1）f（x2），那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”，以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是（）AA=N*，B=NBA=x|1x3，B=x|x=8或0x10CA=x|0x1，B=RDA=Z，B=Q二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置.11（4分）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為 12（4分）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是 13（4分）如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sin

5、BAC=，AB=3，AD=3，則BD的長為 14（4分）橢圓：=1（ab0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F2=2MF2F1，則該橢圓的離心率等于 15（4分）當(dāng)xR，|x|1時(shí)，有如下表達(dá)式：1+x+x2+xn+=兩邊同時(shí)積分得：dx+xdx+x2dx+xndx+=dx從而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+×（）n+1+=ln2請根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：×+×（）2+×（）3+×（）n+1= 三、解答題：本大題共5小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說

6、明、證明過程或演算步驟.16（13分）某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為x，求x3的概率；（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？17（13分）已知函數(shù)f（x）=xalnx（aR）（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1）處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值18（

7、13分）如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，A9和B1，B2，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi，交于點(diǎn)（1）求證：點(diǎn)都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；（2）過點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若OCM與OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程19（13分）如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，ABDC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k0）（1）求證：CD平面ADD1A1（2）若直線AA1與平面AB1C

8、所成角的正弦值為，求k的值（3）現(xiàn)將與四棱柱ABCDA1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫出f（k）的解析式（直接寫出答案，不必說明理由）20（14分）已知函數(shù)f（x）=sin（wx+）（w0，0）的周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式（2）是否存在x0（），使

9、得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由；（3）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，n）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)本題設(shè)有（21）、（22）、（23）三個(gè)選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.21（7分）選修42：矩陣與變換已知直線l：ax+y=1在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：x+by=1（I）求實(shí)數(shù)a，b的值（II）若點(diǎn)P（x0，y0）在直線l上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)22（7分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極

10、軸建立極坐標(biāo)系已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為，且點(diǎn)A在直線l上（）求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；（）圓C的參數(shù)方程為，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系23設(shè)不等式|x2|a（aN*）的解集為A，且（）求a的值（）求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x2|的最小值2013年福建省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求的.1（5分）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【分析】求出復(fù)數(shù)z，復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到選項(xiàng)【解答】解

11、：因?yàn)閺?fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，所以z=12i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義，基本知識(shí)的考查2（5分）已知集合A=1，a，B=1，2，3，則“a=3”是“AB“的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】先有a=3成立判斷是否能推出AB成立，反之判斷“AB”成立是否能推出a=3成立；利用充要條件的題意得到結(jié)論【解答】解：當(dāng)a=3時(shí)，A=1，3所以AB，即a=3能推出AB；反之當(dāng)AB時(shí)，所以a=3或a=2，所以AB成立，推不出a=3故“a=3”是“AB”的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)評(píng)

12、】本題考查利用充要條件的定義判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件3（5分）雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離等于（）ABCD【分析】由對(duì)稱性可取雙曲線的頂點(diǎn)（2，0），漸近線，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到頂點(diǎn)到漸近線的距離【解答】解：由對(duì)稱性可取雙曲線的頂點(diǎn)（2，0），漸近線，則頂點(diǎn)到漸近線的距離d=故選：C【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握雙曲線的頂點(diǎn)、漸近線方程及得到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵4（5分）某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名

13、，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（）A588B480C450D120【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率，然后根據(jù)頻數(shù)=頻率×總數(shù)可求出所求【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60（分）的頻率為110×（0.005+0.015）=0.8 由于該校高一年級(jí)共有學(xué)生600人，利用樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級(jí)模塊測試成績不低于60（分）的人數(shù)為600×0.8=480人故選：B【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查頻率、頻數(shù)、統(tǒng)計(jì)和概率等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力5（5分）滿足a，b1，0，1，2，且關(guān)于

14、x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（）A14B13C12D10【分析】由于關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)根，所以分兩種情況：（1）當(dāng)a0時(shí)，方程為一元二次方程，那么它的判別式大于或等于0，由此即可求出a的取值范圍；（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程為2x+b=0，此時(shí)一定有解【解答】解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，方程為2x+b=0，此時(shí)一定有解；此時(shí)b=1，0，1，2；即（0，1），（0，0），（0，1），（0，2）四種（2）當(dāng)a0時(shí)，方程為一元二次方程，=44ab0，ab1所以a=1，1，2，此時(shí)a，b的對(duì)數(shù)為（1，0），（1，2），（1，1），（1，1），（1，1），（1，0），（

15、1，1），（2，1），（2，0），共9種，關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為13種，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）0方程沒有實(shí)數(shù)根，在解題時(shí)要注意分類討論思想運(yùn)用考查分類討論思想6（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k=10，則該算法的功能是（）A計(jì)算數(shù)列2n1的前10項(xiàng)和B計(jì)算數(shù)列2n1的前9項(xiàng)和C計(jì)算數(shù)列2n1的前10項(xiàng)和D計(jì)算數(shù)列2n1的前9項(xiàng)和【分析】從賦值框給出的兩個(gè)變量的值開始，逐漸分析寫出程序運(yùn)行的每一步，便可得到程序框圖表示的算法的功能【解答】解

16、：框圖首先給累加變量S和循環(huán)變量i賦值，S=0，i=1；判斷i10不成立，執(zhí)行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判斷i10不成立，執(zhí)行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判斷i10不成立，執(zhí)行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；判斷i10不成立，執(zhí)行S=1+2+22+29，i=10+1=11；判斷i10成立，輸出S=1+2+22+29算法結(jié)束故則該算法的功能是計(jì)算數(shù)列2n1的前10項(xiàng)和故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律7（5分）在四邊形ABCD中，=（1，2），=（4，2），則該四邊形的面

17、積為（）ABC5D10【分析】通過向量的數(shù)量積判斷四邊形的形狀，然后求解四邊形的面積即可【解答】解：因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，=0，所以四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，又，該四邊形的面積：=5故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積判斷四邊形的形狀是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力8（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，x0（x00）是f（x）的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（）AxR，f（x）f（x0）Bx0是f（x）的極小值點(diǎn)Cx0是f（x）的極小值點(diǎn)Dx0是f（x）的極小值點(diǎn)【分析】A項(xiàng)，x0（x00）是f（x）的極大值點(diǎn)，不一定是最大值點(diǎn)，故不正確；B項(xiàng)，f（x）是把

18、f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此，x0是f（x）的極大值點(diǎn)；C項(xiàng)，f（x）是把f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，因此，x0是f（x）的極小值點(diǎn)；D項(xiàng)，f（x）是把f（x）的圖象分別關(guān)于x軸、y軸做對(duì)稱，因此x0是f（x）的極小值點(diǎn)【解答】解：對(duì)于A項(xiàng)，x0（x00）是f（x）的極大值點(diǎn)，不一定是最大值點(diǎn)，因此不能滿足在整個(gè)定義域上值最大，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，f（x）是把f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此，x0是f（x）的極大值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，f（x）是把f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，因此，x0是f（x）的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，f（x）是把f（x）的圖象分別關(guān)于x軸、y軸做對(duì)稱，因此x0是

19、f（x）的極小值點(diǎn)，故D正確故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題9（5分）已知等比數(shù)列an的公比為q，記bn=am（n1）+1+am（n1）+2+am（n1）+m，cn=am（n1）+1am（n1）+2am（n1）+m，（m，nN*），則以下結(jié)論一定正確的是（）A數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為qmB數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為q2mC數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為D數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為【分析】，當(dāng)q=1時(shí)，bn=mam（n1），bn+1=mam（n1）+m=mam（n1）=bn，此時(shí)是常數(shù)列，可判斷A，B兩個(gè)選項(xiàng)由于等比數(shù)列an的公比為q

20、，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，=，得出即可判斷出C，D兩個(gè)選項(xiàng)【解答】解：，當(dāng)q=1時(shí)，bn=mam（n1），bn+1=mam（n1）+m=mam（n1）=bn，此時(shí)是常數(shù)列，選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；當(dāng)q1時(shí)，=，此時(shí)，選項(xiàng)B不正確，又bn+1bn=，不是常數(shù)，故選項(xiàng)A不正確，等比數(shù)列an的公比為q，=，=，故C正確D不正確綜上可知：只有C正確故選：C【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵10（5分）設(shè)S，T是R的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f（x）滿足：（i）T=f（x）|xS；（ii）對(duì)任意x1，x2S，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1）

21、f（x2），那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”，以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是（）AA=N*，B=NBA=x|1x3，B=x|x=8或0x10CA=x|0x1，B=RDA=Z，B=Q【分析】利用題目給出的“保序同構(gòu)”的概念，對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)中給出的兩個(gè)集合，利用所學(xué)知識(shí)，找出能夠使兩個(gè)集合滿足題目所給出的條件的函數(shù)，即B是函數(shù)的值域，且函數(shù)為定義域上的增函數(shù)排除掉是“保序同構(gòu)”的，即可得到要選擇的答案【解答】解：對(duì)于A=N*，B=N，存在函數(shù)f（x）=x1，xN*，滿足：（i）B=f（x）|xA；（ii）對(duì)任意x1，x2A，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1）f（x2），所以選項(xiàng)A是“保序同構(gòu)”；對(duì)于A=x|1

22、x3，B=x|x=8或0x10，存在函數(shù)，滿足：（i）B=f（x）|xA；（ii）對(duì)任意x1，x2A，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1）f（x2），所以選項(xiàng)B是“保序同構(gòu)”；對(duì)于A=x|0x1，B=R，存在函數(shù)f（x）=tan（），滿足：（i）B=f（x）|xA；（ii）對(duì)任意x1，x2A，當(dāng)x1x2時(shí)，恒有f（x1）f（x2），所以選項(xiàng)C是“保序同構(gòu)”；前三個(gè)選項(xiàng)中的集合對(duì)是“保序同構(gòu)”，由排除法可知，不是“保序同構(gòu)”的只有D故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義題，考查了函數(shù)的定義域和值域，考查了函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查了不同類型函數(shù)的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案

23、填寫在答題卡的相應(yīng)位置.11（4分）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出（0，1）上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)a所對(duì)應(yīng)圖形的長度，及事件“3a10”對(duì)應(yīng)的圖形的長度，并將其代入幾何概型計(jì)算公式，進(jìn)行求解【解答】解：3a10即a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為P=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)12（4分）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正

24、方形，則該球的表面積是12【分析】由三視圖可知，組合體是球內(nèi)接正方體，正方體的棱長為2，求出球的半徑，然后求出球的表面積即可【解答】解：由三視圖可知，組合體是球內(nèi)接正方體，正方體的棱長為2，球的直徑就是正方體的體對(duì)角線的長，所以2r=，r=，所以球的表面積為：4r2=12故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，球的內(nèi)接體以及球的表面積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力13（4分）如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，則BD的長為【分析】由BAC=BAD+DAC，DAC=90°，得到BAC=BAD+90°，代入并利用誘

25、導(dǎo)公式化簡sinBAC，求出cosBAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cosBAD的值，利用余弦定理即可求出BD的長【解答】解：ADAC，DAC=90°，BAC=BAD+DAC=BAD+90°，sinBAC=sin（BAD+90°）=cosBAD=，在ABD中，AB=3，AD=3，根據(jù)余弦定理得：BD2=AB2+AD22ABADcosBAD=18+924=3，則BD=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，誘導(dǎo)公式，以及垂直的定義，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵14（4分）橢圓：=1（ab0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)

26、M滿足MF1F2=2MF2F1，則該橢圓的離心率等于【分析】由直線可知斜率為，可得直線的傾斜角=60°又直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F2=2MF2F1，可得，進(jìn)而設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、橢圓的定義及其邊角關(guān)系可得，解出a，c即可【解答】解：如圖所示，由直線可知傾斜角與斜率有關(guān)系=tan，=60°又橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足MF1F2=2MF2F1，設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，則，解得該橢圓的離心率e=故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系、勾股定理、含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義、離心率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理

27、能力和計(jì)算能力即數(shù)形結(jié)合的思想方法15（4分）當(dāng)xR，|x|1時(shí)，有如下表達(dá)式：1+x+x2+xn+=兩邊同時(shí)積分得：dx+xdx+x2dx+xndx+=dx從而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+×（）n+1+=ln2請根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：×+×（）2+×（）3+×（）n+1=【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n，兩邊同時(shí)積分整理后，整理即可得到結(jié)論【解答】解：二項(xiàng)式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n，對(duì)Cn0+Cn1x+

28、Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n兩邊同時(shí)積分得：從而得到如下等式：=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是道好題，解決問題的關(guān)鍵在于對(duì)Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n，兩邊同時(shí)積分，要是想不到這一點(diǎn)，就變成難題了三、解答題：本大題共5小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16（13分）某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽

29、獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為x，求x3的概率；（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？【分析】（1）記“他們的累計(jì)得分X3”的事事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=5”，由題意知，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，先根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)立事件的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式即可求出他們的累計(jì)得分x3的概率（2）設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，甲小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X1），都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)

30、期望為E（3X2）根據(jù)題意知X1B（2，），X2B（2，），利用貝努利概率的期望公式計(jì)算即可得出E（2X1）E（3X2），從而得出答案【解答】解：（1）由題意知，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，記“他們的累計(jì)得分X3”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=5”，因?yàn)镻（X=5）=，P（A）=1P（X=5）=；即他們的累計(jì)得分x3的概率為（2）設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X1）都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X2）由已知可得，X1B（2，）

31、，X2B（2，），E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，從而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，由于E（2X1）E（3X2），他們選擇甲方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，確定X服從的分布是解題的關(guān)鍵17（13分）已知函數(shù)f（x）=xalnx（aR）（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1）處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值【分析】（1）把a(bǔ)=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線方程的點(diǎn)斜式寫直線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函

32、數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知，當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，函數(shù)在定義域（0，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當(dāng)a0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x2lnx，因而f（1）=1，f（1）=1，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1）處的切線方程為y1=（x1），即x+y2=0（2）由，x0知：當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，函數(shù)f（x）為（0，+）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無極值；當(dāng)a0時(shí)，由f（x）=0，解得x=a又當(dāng)x（0，a）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（a，+）時(shí)，f（x）0從而函數(shù)f（x）在x=a處取得極

33、小值，且極小值為f（a）=aalna，無極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值aalna，無極大值【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想，屬中檔題18（13分）如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，A9和B1，B2，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi，交于點(diǎn)（1）求證：點(diǎn)都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；（2）過點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若O

34、CM與OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程【分析】（I）由題意，求出過且與x軸垂直的直線方程為x=i，Bi的坐標(biāo)為（10，i），即可得到直線OBi的方程為聯(lián)立方程，即可得到Pi滿足的方程；（II）由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+10，與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，及利用面積公式SOCM=SOCN，可得|x1|=4|x2|即x1=4x2聯(lián)立即可得到k，進(jìn)而得到直線方程【解答】（I）證明：由題意，過且與x軸垂直的直線方程為x=i，Bi的坐標(biāo)為（10，i），直線OBi的方程為設(shè)Pi（x，y），由，解得，即x2=10y點(diǎn)都在同一條拋物線上，拋物線E的方程為x2=10y（

35、II）由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+10，聯(lián)立消去y得到x210kx100=0，此時(shí)0，直線與拋物線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)為M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=10k，x1x2=100，SOCM=4SOCN，|x1|=4|x2|x1=4x2聯(lián)立，解得直線l的方程為即為3x+2y20=0或3x2y+20=0【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸方法、計(jì)算能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、函數(shù)與方程得思想方法、分析問題和解決問題的能力19（13分）如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，AB

36、DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k0）（1）求證：CD平面ADD1A1（2）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值（3）現(xiàn)將與四棱柱ABCDA1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫出f（k）的解析式（直接寫出答案，不必說明理由）【分析】（1）取DC得中點(diǎn)E，連接BE，可證明四邊形ABED是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得BECD，即CDAD，又側(cè)棱AA1底面ABCD，

37、可得AA1DC，利用線面垂直的判定定理即可證明（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與斜線的方向向量的夾角即可得出；（3）由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出f（k）【解答】（1）證明：取DC的中點(diǎn)E，連接BE，ABED，AB=ED=3k，四邊形ABED是平行四邊形，BEAD，且BE=AD=4k，BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，BEC=90°，BECD，又BEAD，CDAD側(cè)棱AA1底面ABCD，AA1CD，AA1AD=A，CD

38、平面ADD1A1（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1），設(shè)平面AB1C的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則，取y=2，則z=6k，x=3設(shè)AA1與平面AB1C所成角為，則=，解得k=1，故所求k=1（3）由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出f（k）=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線線、線面的位置關(guān)系、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量求線面角、柱體的定義積表面積、

39、勾股定理的逆定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力20（14分）已知函數(shù)f（x）=sin（wx+）（w0，0）的周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式（2）是否存在x0（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由；（3）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，n）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)【分析】（1）依題意，可

40、求得=2，=，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；（2）依題意，當(dāng)x（，）時(shí)，sinx，0cosxsinxcos2xsinxcos2x，問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）內(nèi)是否有解通過G（x）0，可知G（x）在（，）內(nèi)單調(diào)遞增，而G（）0，G（）0，從而可得答案；（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等價(jià)于關(guān)于x的方程a=，xk（kZ）問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x（0，）（，2）的交點(diǎn)情況通過其導(dǎo)數(shù)，列表分析即可求得答案【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=sin（x+）（0

41、，0）的周期為，=2，又曲線y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為，（0，），故f（）=sin（2×+）=0，得=，所以f（x）=cos2x將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x）的圖象，g（x）=sinx（2）當(dāng)x（，）時(shí)，sinx，0cos2x，sinxcos2xsinxcos2x，問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）內(nèi)是否有解設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x2cos2x，x（，），則G（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2

42、x（2sinx），x（，），G（x）0，G（x）在（，）內(nèi)單調(diào)遞增，又G（）=0，G（）=0，且G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（，）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0，即存在唯一零點(diǎn)x0（，）滿足題意（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，當(dāng)sinx=0，即x=k（kZ）時(shí)，cos2x=1，從而x=k（kZ）不是方程F（x）=0的解，方程F（x）=0等價(jià)于關(guān)于x的方程a=，xk（kZ）現(xiàn)研究x（0，）（，2）時(shí)方程a=的解的情況令h（x）=，x（0，）（，2），則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x（0，）（，2）的交點(diǎn)情況h（x）=，令

43、h（x）=0，得x=或x=，當(dāng)x變換時(shí)，h（x），h（x）的變化情況如下表：x（0，）（，）（，）（，2）h（x）+00+h（x）11當(dāng)x0且x趨近于0時(shí)，h（x）趨向于，當(dāng)x且x趨近于時(shí)，h（x）趨向于，當(dāng)x且x趨近于時(shí)，h（x）趨向于+，當(dāng)x2且x趨近于2時(shí)，h（x）趨向于+，故當(dāng)a1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，）內(nèi)無交點(diǎn)，在（，2）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在（，2）內(nèi)無交點(diǎn)；當(dāng)1a1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在（，2）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；由函數(shù)h（x）的周期性，可知當(dāng)a±1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，n）內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)n，使得直線y=a與曲線y=h（x）在（0，n