機(jī)器人導(dǎo)論第二章 空間描述和變換

1、第二章第二章 空間描述和變換空間描述和變換2.1 概述2.2 描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系2.3 映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換2.4 算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換2.5 總結(jié)和說(shuō)明2.6 變換算法2.7 變換方程2.8 姿態(tài)的其他描述方法2.9 自由矢量的變換2.10 計(jì)算分析2.1 概述概述v機(jī)器人操作：通過(guò)某種機(jī)構(gòu)使零件和工具在空間中運(yùn)動(dòng)。這自然就需要表達(dá)零件、工具以及機(jī)構(gòu)本身的位置和姿態(tài)。v如何定義和運(yùn)用表達(dá)操作臂位姿的數(shù)學(xué)量？我們必須定義坐標(biāo)系并并給出表達(dá)規(guī)則。v位姿的描述是表達(dá)線(xiàn)速度和角速度、力和力矩的基礎(chǔ)。v世界坐標(biāo)系：討論任何問(wèn)題都能夠參照這個(gè)坐標(biāo)系，定義的位姿都是參照世界坐標(biāo)系或者由世界

2、坐標(biāo)系定義的笛卡爾坐標(biāo)系。2.2 描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系 描述描述：用來(lái)確定一個(gè)操作系統(tǒng)處理的各種對(duì)象的特性。這些對(duì)象包括零件、工具和操作臂本身。在本節(jié)中，我們將討論位姿的描述以及包含這兩個(gè)描述的統(tǒng)一體：坐標(biāo)系。位置描述位置描述v一旦建立了坐標(biāo)系，我們就能用一個(gè)31位置矢量對(duì)世界坐標(biāo)系中的任何點(diǎn)進(jìn)行定位。其它坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系向量向相應(yīng)軸的投影注意：位置矢量必須附加信息，標(biāo)明是在哪一個(gè)坐標(biāo)系被定義的這個(gè)前置的上標(biāo)a標(biāo)明此位置矢量是在坐標(biāo)系a中定義的姿態(tài)姿態(tài)描述描述v對(duì)于一個(gè)剛體來(lái)說(shuō)，我們發(fā)現(xiàn)不僅經(jīng)常需要表示它在空間中的位置，還經(jīng)常需要描述空間中物體的姿態(tài)。v為了描

3、述剛體的姿態(tài)，我們將在剛體上固定一個(gè)坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對(duì)于參考系的表達(dá)。333131232221131211rrrrrrrrrzyxrbababaababababababababababbababaabzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxrzyxabababbababaabzyxrtbabaabrrr1v以上表明旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣3izyxrrababababababbatbazyxtbaabrrv(1)方向角v,稱(chēng)為向量oa的方向角v(2)方向余弦vcos,cos,cos稱(chēng)為向量oa的方向余弦222coscbaara222coscbabrb222coscbacrcv

4、(3)性質(zhì) cos,cos,cos,1coscoscos222rrrcbaoa62031612131612131p坐標(biāo)系坐標(biāo)系的描述的描述v完整描述圖中的操作手位姿所需的信息為位置和姿態(tài)v我們可在物體上任選一點(diǎn)描述其位置，為方便起見(jiàn)，將其作為連體坐標(biāo)系的原點(diǎn)。v在機(jī)器人學(xué)中，位置和姿態(tài)經(jīng)常成對(duì)出現(xiàn)，于是我們將此組合稱(chēng)作坐標(biāo)系，四個(gè)矢量為一組，表示了位置和姿態(tài)信息。旋轉(zhuǎn)矩陣原點(diǎn)位置矢量v坐標(biāo)系可用三個(gè)標(biāo)有箭頭單位矢量定義的坐標(biāo)系的主軸來(lái)描述；v從原點(diǎn)到另一點(diǎn)的箭頭表示了一個(gè)矢量，這個(gè)矢量表示了箭頭處的原點(diǎn)相對(duì)于箭尾所在坐標(biāo)系的位置；例如在圖中，箭頭方向表示c相對(duì)于a的關(guān)系而不是a相對(duì)于c的關(guān)系。

5、v一個(gè)參考系可以用一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于另一坐標(biāo)系的關(guān)系來(lái)描述。坐標(biāo)系的圖形表示坐標(biāo)系的圖形表示2.3 映射映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換在機(jī)器人學(xué)的許多問(wèn)題中，需要用不同的參考坐標(biāo)系來(lái)表達(dá)同一個(gè)量。在上節(jié)中介紹了位置、姿態(tài)和坐標(biāo)系的描述方法；現(xiàn)在為了描述從一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系的變換，我們討論映射的數(shù)學(xué)方法。關(guān)于平移坐標(biāo)系的映射關(guān)于平移坐標(biāo)系的映射兩個(gè)坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)borgabapppb不同于a的只是平移，可用矢量表示b的原點(diǎn)相對(duì)于a的位置這個(gè)例子說(shuō)明了如何將一個(gè)矢量從一個(gè)坐標(biāo)系映射到另一個(gè)坐標(biāo)系。映射的概念，即描述一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系的變換。關(guān)于關(guān)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的

6、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射映射v我們已知矢量相對(duì)于某坐標(biāo)系b的定義 ，怎樣求矢量相對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)系a的定義 ？且這兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。pbpazyxabababbababaabzyxrv例2.1 圖中表示坐標(biāo)系b相對(duì)于坐標(biāo)系a繞 軸旋轉(zhuǎn)30度。這里 軸指向?yàn)橛杉埫嫦蛲狻zb繞 軸旋轉(zhuǎn)30度zv在a中寫(xiě)出b單位矢量，將它們按列組成旋轉(zhuǎn)矩陣，得到:000. 1000. 0000. 0000. 0866. 0500. 0000. 0500. 0866. 0rab已知：求出 ：pa0 . 00 . 20 . 0pb000. 0732. 1000. 1prpbaba這里， 的作用是將相對(duì)于坐標(biāo)系a描述的 映射到

7、。注意:從映射的角度看，原矢量p在空間并沒(méi)有改變，我們只不過(guò)求出了這個(gè)矢量相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系的新的描述。abrpbpa10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxrrrv這些旋轉(zhuǎn)變換可以通過(guò)右圖推導(dǎo)zbzaybxbyaybxbxappppppppcossinsincoszbybxbzayaxapppppp1000cossin0sincos關(guān)于關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射一般坐標(biāo)系的映射v問(wèn)題：我們已知矢量相對(duì)某坐標(biāo)系b的描述，想求出它相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系a的描述。v一般的情形：v（1）坐標(biāo)系b和坐標(biāo)系a不具有相同的姿態(tài)v（2）坐標(biāo)系b和坐標(biāo)系a原點(diǎn)不重合v(1)在坐標(biāo)系

8、b和坐標(biāo)系a之間有一個(gè)矢量偏移v(2) b 相對(duì)于a有旋轉(zhuǎn)，用 描述v問(wèn)題：給出 ，試著計(jì)算rabpbpaaborgpborgababpprpaptpbaba110001pprpbborgaaba111000333231232221131211333231232221131211333231232221131211zayaxazbybxbbozaboyaboxazabozazbybxbyaboyazbybxbxaboxazbybxbbozaboyaboxazbybxbboababzayaxaappppppprrrprrrprrrppprprprppprprprppprprprpppppprrr

9、rrrrrrpprppppv上式的一般映射矩陣可以寫(xiě)為:v齊次變換矩陣,綜合表示了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合v上式可以寫(xiě)為:v vp點(diǎn)在a和b中的位置矢量分別增廣為:v而齊次變換公式和變換矩陣變?yōu)?v 11010pprpbbaabatbbbbtaaaazyxzyx1,1pp10,0baababbabaprtptpv齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)v所謂齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來(lái)表示.有一個(gè)特定的投影附加于n維空間,也可以把它看作一個(gè)附加于每個(gè)矢量的比例系數(shù). v三維直三維直v角坐標(biāo)角坐標(biāo) twwzwywxv v齊次齊次v坐標(biāo)坐標(biāo)顯然顯然,齊次坐標(biāo)表達(dá)并不是唯一的齊次坐標(biāo)表達(dá)并不是唯一

10、的,隨隨w值的不同而不同值的不同而不同.在計(jì)算機(jī)圖學(xué)中在計(jì)算機(jī)圖學(xué)中,w 作為通用比例因子作為通用比例因子,它可取任意正值它可取任意正值,但在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分析中但在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分析中,總是取總是取w=1. tzyxv v機(jī)器人的坐標(biāo)變換主要包括平移和旋轉(zhuǎn)變換,平移是矩陣相加運(yùn)算,旋轉(zhuǎn)則是矩陣相乘,綜合起來(lái)可以表示為p = m1*p + m2(m1旋轉(zhuǎn)矩陣,m2為平移矩陣,p為原向量,p為變換后的向量).引入齊次坐標(biāo)的目的主要是合并矩陣運(yùn)算中的乘法和加法,合并后可以表示為p = m*p的形式.即它提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法. v為

11、什么要引進(jìn)齊次坐標(biāo)為什么要引進(jìn)齊次坐標(biāo),它有什么優(yōu)點(diǎn)它有什么優(yōu)點(diǎn)?v例2.2 圖2-8表示了一個(gè)坐標(biāo)系b，它繞坐標(biāo)系a的 軸旋轉(zhuǎn)了30度，沿 平移10個(gè)單位，再沿 平移5個(gè)單位。已知 ，求 。axayz圖2-8 經(jīng)平移和旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系btb0 . 00 . 70 . 3p pav坐標(biāo)系b的定義為：按照b的定義和已知條件進(jìn)行變換：已知：10000 . 0000. 1000. 0000. 00 . 5000. 0866. 0500. 00 .10000. 0500. 0866. 0tab0 . 00 . 70 . 3pb000. 0562.12098. 9ptpbaba2.4 算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換

12、算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換算子：用于坐標(biāo)系間點(diǎn)的映射的通用數(shù)學(xué)表達(dá)式，包括點(diǎn)的平移算子、矢量旋轉(zhuǎn)算子和平移加旋轉(zhuǎn)算子。平移算子空間點(diǎn)的平移與此點(diǎn)向另一個(gè)坐標(biāo)系的映射具有相同的數(shù)學(xué)描述。當(dāng)一個(gè)矢量相對(duì)于一個(gè)坐標(biāo)系“向前移動(dòng)”時(shí)，既可以認(rèn)為是矢量“向前移動(dòng)”，也可以認(rèn)為坐標(biāo)系“向后移動(dòng)”，二者的數(shù)學(xué)表達(dá)式是相同的，只不過(guò)是觀(guān)察位置不同。如圖2-9表示矢量 怎樣通過(guò)矢量 進(jìn)行平移。這里，矢量 給出了進(jìn)行平移的信息。1apaqaq運(yùn)算結(jié)果是得到一個(gè)新的矢量2apqppaaa12用矩陣算子寫(xiě)出平移變換，有： 12pqdpaqa算子dq可被看成是一個(gè)特殊形式的齊次變換： 1000100010001zyxqqq

13、qqd旋轉(zhuǎn)算子旋轉(zhuǎn)矩陣還可以用旋轉(zhuǎn)變換算子來(lái)定義，它將一個(gè)矢量 用旋轉(zhuǎn)r變換成一個(gè)新的矢量 。通常，當(dāng)一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣作為算子時(shí)，就無(wú)需寫(xiě)出下標(biāo)或上標(biāo)，因?yàn)樗簧婕皟蓚€(gè)坐標(biāo)系。因此可寫(xiě)為：1ap2ap12prpaa矢量經(jīng)某一旋轉(zhuǎn)r得到的旋轉(zhuǎn)矩陣與一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系經(jīng)某一旋轉(zhuǎn)r得到的旋轉(zhuǎn)矩陣是相同的。盡管將旋轉(zhuǎn)矩陣看作為一個(gè)算子是很簡(jiǎn)單的，但是我們將用另一個(gè)符號(hào)定義旋轉(zhuǎn)算子以明確地說(shuō)明是繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的： 12prpaka 1000010000cossin00sincoszr例2.3 圖2-10給出一個(gè)矢量 。計(jì)算繞 軸旋轉(zhuǎn)30度得到的新矢量 。2ap1ap將矢量繞 軸旋轉(zhuǎn)30度得到的旋轉(zhuǎn)矩陣

14、與一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系 軸旋轉(zhuǎn)30度得到的旋轉(zhuǎn)矩陣是相同的。因此，正確的旋轉(zhuǎn)算子是zz000. 1000. 0000. 0000. 0866. 0500. 0000. 0500. 0866. 00 .30zr已知求得 為0 . 00 . 20 . 01pa2ap000. 0732. 1000. 10 .3012prpazaz變換算子與矢量和旋轉(zhuǎn)矩陣一樣，坐標(biāo)系還可以用變換算子來(lái)定義。在這個(gè)定義中，只涉及到一個(gè)坐標(biāo)系，所以符號(hào)t沒(méi)有上下標(biāo)。算子t將一個(gè)矢量 平移并旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)新的矢量：1ap12ptpaa經(jīng)旋轉(zhuǎn)r和平移q的齊次變換矩陣與一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系經(jīng)旋轉(zhuǎn)r和平移q的齊次變換矩

15、陣是相同的。一個(gè)變換通常被認(rèn)為是由一個(gè)廣義旋轉(zhuǎn)矩陣和位置矢量分量組成的齊次變換的形式。例2.4 圖2-11給出一個(gè)矢量 。將其繞 軸旋轉(zhuǎn)30度并沿 軸平移10個(gè)單位，沿 軸平移5個(gè)單位，已知 ，求 。1ap1370tap 進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)的算子t為：2ap10000 . 0000. 1000. 0000. 00 . 5000. 0866. 0500. 00 .10000. 0500. 0866. 0t0 . 00 . 70 . 31pa000. 0562.12098. 912ptpaazaxay已知將t看做算子：2.5 總結(jié)總結(jié)和說(shuō)明和說(shuō)明首先介紹了平移的概念，然后介紹了旋轉(zhuǎn)的概念，最后介紹了旋

16、轉(zhuǎn)和平移的一般情況。介紹了一個(gè)包括姿態(tài)和位置信息的4x4齊次變換矩陣，作為表示坐標(biāo)系的一般工具。給出了齊次變換矩陣的三個(gè)定義：（1）它是坐標(biāo)系的描述。 表示相對(duì)于坐標(biāo)系a的坐標(biāo)系b。特別是， 的各列是坐標(biāo)系b主軸方向上的單位矢量， 確定了b的原點(diǎn)。（2）它是變換映射。 是映射 。（3）它是變換算子。 將 變換為 。tababraborgptabbappt1ap2ap由此可見(jiàn)，坐標(biāo)系和變換都可用位置矢量加上姿態(tài)來(lái)描述。一般來(lái)說(shuō)坐標(biāo)系主要是用于描述，而變換常用來(lái)表示映射或算子。變換是平移和旋轉(zhuǎn)的組合;但有時(shí)在純旋轉(zhuǎn)（或純平移）情況下也常用變換這個(gè)術(shù)語(yǔ)。2.6 變換算法變換算法本節(jié)介紹變換的乘法和變

17、換的逆運(yùn)算。這兩個(gè)基本運(yùn)算組成了一套功能完備的變換算子。v混合變換（乘法變換）v已知 ，求已知坐標(biāo)系c相對(duì)于坐標(biāo)系b，并且已知坐標(biāo)系b相對(duì)于坐標(biāo)系a。pcpav即，我們知道v答案：v步驟(1)將 變換成 ：v步驟(2)將 變換成 ：v步驟(3)聯(lián)立步驟(1)、(2)，消去中間項(xiàng) ，得到pcpapbpbpbv給定已知的b 和 c的描述：v可以得到從 c到a的齊次變換矩陣：逆變換逆變換v 已知坐標(biāo)系b相對(duì)于坐標(biāo)系a 的描述，即已知怎樣求a相對(duì)于b的描述？v 一個(gè)可能的方法：直接對(duì)矩陣 求逆v另一種方法：利用變換的性質(zhì)求逆，即利用矩陣 的特殊結(jié)構(gòu)tabtabv步驟1) 由 計(jì)算出v步驟2) 由 計(jì)算

18、出v上式的左邊是坐標(biāo)系b的原點(diǎn)在b中的描述，所以左邊=0rabrbaborgapaorgbpv步驟3)綜上，計(jì)算 的方法如下：v上式是求齊次逆變換的一般且非常有用的方法v注意，使用符號(hào)tba1abbatt1000prrtborgatabtabba一般,若1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaont則10001apopnptzyxzyxzyxaaaooonnntzyxtzyxtzyxtzyxaaaooonnnpppaonp,例2.5 圖2-13表示坐標(biāo)系b繞坐標(biāo)系a的 軸旋轉(zhuǎn)30度，沿 軸平移4個(gè)單位，沿 軸平移3單位，于是得到 ，求 。abtbat定義坐標(biāo)系b：10000 . 0

19、000. 1000. 0000. 00 . 3000. 0866. 0500. 00 . 4000. 0500. 0866. 0tab計(jì)算得到：10000 . 0000. 1000. 0000. 0598. 0000. 0866. 0500. 0964. 4000. 0500. 0866. 0tbazaxay2.7 變換方程變換方程圖2-14表示坐標(biāo)系d可以用兩種不同的方式表達(dá)成變換相乘的形式。第一個(gè)第二個(gè)將兩個(gè)表達(dá)式構(gòu)造成一個(gè)變換方程tttaduaudttttcdbcubudtttttcdbcubadua如有n個(gè)未知變換和n個(gè)變換方程，這個(gè)變換可由變換方程解出。設(shè)式（2-50）中的所有變換除

20、了外均已知。這里，有一個(gè)變換方程和一個(gè)未知變換，很容易解出：11ttttcdudubbc在圖2-15中，c的兩個(gè)可能的描述為：ttttdcdauauc1tttbcubuc還可用式（2-52）和式（2-53）解出tttttdadcbcubua1例2.6 假定已知圖2-16中變換描述了操作臂指端的坐標(biāo)系t，它是相對(duì)于操作臂基座的坐標(biāo)系b的，又已知工作臺(tái)相對(duì)于操作臂基座的空間位置（因?yàn)橐阎c工作臺(tái)相連的坐標(biāo)系s是），并且已知工作臺(tái)上螺旋的坐標(biāo)系相對(duì)于工作臺(tái)坐標(biāo)系的位置，即。計(jì)算螺旋相對(duì)操作手的位姿。由公式推導(dǎo)（按照要求和我們的理解）得到相對(duì)于操作手坐標(biāo)系的螺旋坐標(biāo)系為：ttttsgbsbttg12.

21、8 姿態(tài)的其他描述方法姿態(tài)的其他描述方法33旋轉(zhuǎn)矩陣是一種特殊的各列相互正交的單位矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣也可被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，“標(biāo)準(zhǔn)”是指其行列式的值為+1.能否用少于九個(gè)數(shù)字來(lái)表示一個(gè)姿態(tài)。線(xiàn)性代數(shù)的結(jié)論告訴我們，對(duì)于任何正交矩陣r，存在一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣s，滿(mǎn)足 sisir313zz000 xyxysssssss任何33旋轉(zhuǎn)矩陣可用三個(gè)參量確定。顯然，旋轉(zhuǎn)矩陣的九個(gè)分量線(xiàn)性相關(guān)。實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣r很容易寫(xiě)出六個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的分量。如上所述，假定r為三列：rxyz這三個(gè)矢量是參考坐標(biāo)系中某坐標(biāo)系的單位軸。每個(gè)矢量都是單位矢量，且相互垂直，所以9個(gè)矩陣元素有6個(gè)約束：000111zyzxyxzyx自

22、然要問(wèn)是否能找到這樣一種姿態(tài)表示法，用三個(gè)參量就能簡(jiǎn)單進(jìn)行表述。本節(jié)將給出幾個(gè)姿態(tài)表示法。沿著三個(gè)垂直的軸的平移運(yùn)動(dòng)比較直觀(guān)，而旋轉(zhuǎn)似乎不太直觀(guān)。例2.7 考慮兩個(gè)旋轉(zhuǎn)，一個(gè)繞軸 轉(zhuǎn)30度，而另一個(gè)繞 軸轉(zhuǎn)30度：000. 1000. 0000. 0000. 0866. 0500. 0000. 0500. 0866. 030zr866. 0500. 0000. 0500. 0866. 0000. 0000. 0000. 0000. 130xr87. 043. 025. 050. 075. 043. 000. 050. 087. 0303087. 050. 000. 043. 0-75. 050

23、. 025. 043. 0-87. 03030zxxzrrrr旋轉(zhuǎn)矩陣一般不是互逆的，即 與 不同。abbcr rbacbr rzx因?yàn)樾D(zhuǎn)既可被看作算子又可被看作是對(duì)姿態(tài)的描述，因此毋庸置疑對(duì)于不同的用途就有不同的表示法。旋轉(zhuǎn)矩陣可作為算子，、當(dāng)乘以矢量時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣就起到旋轉(zhuǎn)運(yùn)算的作用。但是，用旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)確定姿態(tài)有些不便。一個(gè)計(jì)算機(jī)終端操作員在輸入一個(gè)機(jī)械手的期望姿態(tài)時(shí)，需要煩瑣地輸入一個(gè)九個(gè)元素的正交矩陣。而一種只需三個(gè)數(shù)的表示法就顯得簡(jiǎn)便些。12種歐拉角坐標(biāo)系：x-y-z x-z-yy-x-z y-z-xz-x-y z-y-xx-y-x x-z-xy-x-y y-z-yz-x-z z-y

24、-z12種固定角坐標(biāo)系：x-y-z x-z-yy-x-z y-z-xz-x-y z-y-xx-y-x x-z-xy-x-y y-z-yz-x-z z-y-zx-y-z固定角坐標(biāo)系描述坐標(biāo)系b姿態(tài)的一種方法：首先將坐標(biāo)系b和一個(gè)參考坐標(biāo)系a重合。先將b繞 旋轉(zhuǎn) 角，再繞 旋轉(zhuǎn) 角，最后繞 轉(zhuǎn) 角。每個(gè)旋轉(zhuǎn)都是繞著固定參考坐標(biāo)系a的軸。我們規(guī)定這種姿態(tài)的表示法為x-y-z固定角坐標(biāo)系?！肮潭ā币辉~是指旋轉(zhuǎn)是在固定（即不運(yùn)動(dòng)的）參考坐標(biāo)系中確定的。有時(shí)把它們定義為回轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏轉(zhuǎn)角。axayaz cssccssccsscrrrrxyzxyzab000010010010000,ccscssccss

25、ccssscssscsccssscccrxyzab,333231232221131211,rrrrrrrrrrxyzabcrcracrcrarrra/,/2tan/,/2tan2tan33321121212112,3122,122tan0 . 00 .90rra22,122tan-0 . 00 .90-rraatan2（y，x）計(jì)算tan-1（y/x）時(shí)，可根據(jù)x和y的符號(hào)可判別求得的角所在的象限。例如，atan2（-2,-2）=-135，而atan2（2,2）=45，一個(gè)反正切函數(shù)的解可能被丟失。我們經(jīng)常在360的范圍內(nèi)計(jì)算角度，因此一般應(yīng)用atan2函數(shù)。注意，當(dāng)兩個(gè)解都是0時(shí)，atan2

26、成為不定的。有時(shí)稱(chēng)它為“4象限反正切”，一些編程語(yǔ)言庫(kù)中對(duì)其作了預(yù)定義。z-y-x歐拉角坐標(biāo)系b的另一種表示法如下：首先將坐標(biāo)系b和一個(gè)已知參考坐標(biāo)系a重合。先將b繞 旋轉(zhuǎn) 角，再繞 旋轉(zhuǎn) 角，最后繞 旋轉(zhuǎn) 角。在這種表示法中，每次都是繞運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系b的各軸旋轉(zhuǎn)而不是繞固定坐標(biāo)系a的各軸旋轉(zhuǎn)。這樣三個(gè)一組的旋轉(zhuǎn)被稱(chēng)為歐拉角。注意每次旋轉(zhuǎn)所繞的軸的方位取決于上次的旋轉(zhuǎn)。由于三個(gè)旋轉(zhuǎn)分別是繞著z,y和x，所以稱(chēng)這種表示法為z-y-x歐拉角。bzbybxrrrrbbbbabab 001000010000100abzyxz y xrrrrcscssccsscsc abz y xc cc s ss cc

27、s cs srs cs s sc cs s cc ssc sc c z-y-z歐拉角坐標(biāo)系b的另一種表示法為：首先將坐標(biāo)系b和一個(gè)已知參考坐標(biāo)系a重合。先將b繞 旋轉(zhuǎn) 角，再繞 旋轉(zhuǎn) 角，最后繞 旋轉(zhuǎn) 角。相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系b的旋轉(zhuǎn)描述是一個(gè)歐拉角描述。因?yàn)槿齻€(gè)旋轉(zhuǎn)是依次繞z,y和z，所以稱(chēng)為此描述為z-y-z歐拉角。按上一節(jié)的推導(dǎo)，可得到等效矩陣 ,abz y zc s cs cc c ss cc srs c cc ss c sc cs ss cs sc bzbybz從等效矩陣得出z-y-z歐拉角介紹如下：已知 111213212223313233,abz y zrrrrrrrrrr 2231

28、323323133231tan2,tan2/,/tan2/,/arrrarsrsarsrs11,12-2tan0 . 00 . 0rra11,12-2tan0 . 00 .180rra ,abz y zc s cs cc c ss cc srs c cc ss c sc cs ss cs sc 其他角坐標(biāo)系的表示法已經(jīng)介紹了三種表示姿態(tài)的慣用方法：x-y-z固定角、z-y-x歐拉角和z-y-z歐拉角。每個(gè)表示法均需要按一定順序進(jìn)行三次繞主軸的旋轉(zhuǎn)。這些表示法是24種表示法中的典型方法，且都被稱(chēng)作角坐標(biāo)系表示法。其中，12種為固定角坐標(biāo)系，另12種為歐拉角坐標(biāo)系。注意到由于二者的對(duì)偶性，對(duì)于繞主

29、軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣實(shí)際上只有12種唯一的參數(shù)表示法。等效軸角坐標(biāo)系表示法符號(hào) 表示繞一個(gè)給定軸 旋轉(zhuǎn)30度的方位。這是一個(gè)等效軸角坐標(biāo)系表示法的例子。如果軸的方向是一般方向，任何方位都可通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)妮S和角度來(lái)得到。30.0xrx坐標(biāo)系b的表述如下：首先將坐標(biāo)系b和一個(gè)已知參考坐標(biāo)系a重合將b繞矢量 按右手定則旋轉(zhuǎn) 角。 cos0sin010sin0coscossin0sincos0011yxrr 1000cossin0sincoszr yxxxyzxzkxyzyyyzxxzyyzxzzk k vck k vk sk k vk srk k vk sk k vck k vk sk k vk s

30、k k vk sk k vcak從一個(gè)給定的旋轉(zhuǎn)矩陣求出 和 ，這個(gè)逆問(wèn)題大部分留在習(xí)題中，單在此給出一部分結(jié)果。如果 333231232221131211rrrrrrrrrrkab21cos332211rrra122131132332sin21rrrrrrk那么k例2.8 坐標(biāo)系b最初與坐標(biāo)系a重合。我們使坐標(biāo)系b繞矢量 旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角 ，求坐標(biāo)系b的描述。0 . 10 . 00 . 00 . 00 . 0866. 0354. 0354. 00 . 0354. 0933. 0067. 00 . 0354. 0067. 0933. 0tab到此為止，我們討論過(guò)的所有旋轉(zhuǎn)都是繞經(jīng)過(guò)參考系原點(diǎn)的軸進(jìn)行

31、。如果我們遇到的問(wèn)題不屬于這種情況時(shí)，我們可以定義另外一個(gè)坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系的原點(diǎn)在軸上，為此將這類(lèi)問(wèn)題簡(jiǎn)化為“經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的軸”的情況來(lái)解決，然后再求解這個(gè)變換方程。0.707 0.70 70.0tak 30例2.9 坐標(biāo)系b最初與坐標(biāo)系a重合。我們使坐標(biāo)系b繞矢量 旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角 ，求坐標(biāo)系b的描述。0 . 10 . 00 . 00 . 00 . 30 . 10 . 00 . 00 . 20 . 00 . 10 . 00 . 10 . 00 . 00 . 1taa0 . 10 . 00 . 00 . 00 . 30 . 10 . 00 . 00 . 20 . 00 . 10 . 00 . 10 . 00 . 00 . 1tbb0 . 10 . 00 . 00 . 00 . 0866. 0354. 0354. 00 . 0354. 0933. 0067. 00 . 0354. 0067. 0933. 0tab0.707 0.70 70.0tak 30最后，我們可以用一個(gè)變換方程來(lái)計(jì)算要求的坐標(biāo)系