統(tǒng)計圖表、數(shù)據的數(shù)字特征、用樣本估計總體

1、 §11.2統(tǒng)計圖表、數(shù)據的數(shù)字特征、用樣本估計總體2014高考會這樣考1.考查樣本的頻率分布(分布表、直方圖、莖葉圖)中的有關計算，樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差)的計算主要以選擇題、填空題為主；2.考查以樣本的分布估計總體的分布(以樣本的頻率估計總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù))復習備考要這樣做1.理解統(tǒng)計中的常用術語：總體、個體、樣本、平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)；2.會利用頻率分布直方圖、莖葉圖對總體進行估計，尤其是頻率分布直方圖的應用更是高考考查的熱點1統(tǒng)計圖表統(tǒng)計圖表是表達和分析數(shù)據的重要工具，常用的統(tǒng)計圖表有條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、莖葉圖等

2、2數(shù)據的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據叫作這組數(shù)據的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(或最中間兩個數(shù)據的平均數(shù))叫作這組數(shù)據的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據的算術平均數(shù)，即(x1x2xn)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等(2)樣本方差、標準差標準差s ，其中xn是樣本數(shù)據的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標準差的平方通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差3用樣本估計總體(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是用樣本

3、的頻率分布估計總體的頻率分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據落在各小組內的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1.(3)在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區(qū)間從所加的左邊區(qū)間的中點開始，用線段依次連接各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區(qū)間的中點，就可以得到一條折線，稱之為頻率折線圖(4)當樣本數(shù)據較少時，用莖葉圖表示數(shù)據的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據的記錄和表示都帶來方便難點正本疑點清源1作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差；(2)確定組距和組數(shù)；(3)將數(shù)據分組；(4)列頻率分

4、布表；(5)畫頻率分布直方圖頻率分布直方圖能很容易地表示大量數(shù)據，非常直觀地表明分布的形狀2眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量(2)由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據有關，所以，任何一個樣本數(shù)據的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(3)眾數(shù)考查各數(shù)據出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據中的部分數(shù)據有關當一組數(shù)據中有不少數(shù)據多次重復出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題(4)某些數(shù)據的變動對中位數(shù)可能沒有影響中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據中，也可能不在所給數(shù)據中當一組數(shù)據中的個別數(shù)據變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢3利用頻率分布直方

5、圖估計樣本的數(shù)字特征(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)值(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點的橫坐標1(2011·江蘇)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據的方差s2_.答案3.2解析7，s2(107)2(67)2(87)2(57)2(67)23.2.2(2011·浙江)某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3 000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)根據

6、頻率分布直方圖推測，這3 000名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生數(shù)是_答案600解析由直方圖易得數(shù)學考試中成績小于60分的頻率為(0.0020.0060.012)×100.2，所以所求分數(shù)小于60分的學生數(shù)為3 000×0.2600.3(2012·湖南)如圖所示是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為_(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù))答案6.8解析依題意知，運動員在5次比賽中的分數(shù)依次為8,9,10,13,15，其平均數(shù)為11.由方差公式得s2(811)2(91

7、1)2(1011)2(1311)2(1511)2(941416)6.8.4一個容量為20的樣本，數(shù)據的分組及各組的頻數(shù)如下：10,20)，2；20,30)，3；30,40)，x；40,50)，5；50,60)，4；60,70)，2；則x_；根據樣本的頻率分布估計，數(shù)據落在10,50)的概率約為_答案40.7解析x20(23542)4，P0.7或P10.7.5某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有()A30輛 B40輛 C60輛 D80輛答案

8、B解析由題圖可知，車速大于或等于70 km/h的汽車的頻率為0.02×100.2，則將被處罰的汽車大約有200×0.240(輛).題型一頻率分布直方圖的繪制與應用例1某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽出60名學生，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求分數(shù)在70,80)內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據此估計本次考試中的平均分思維啟迪：利用各小長方形的面積和等于1求分數(shù)在70,80)內的頻率，再補齊頻率分

9、布直方圖解(1)設分數(shù)在70,80)內的頻率為x，根據頻率分布直方圖，有(0.0100.015×20.0250.005)×10x1，可得x0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示(2)平均分為x45×0.155×0.1565×0.1575×0.385×0.2595×0.0571(分)探究提高頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個直方圖上可以求出樣本數(shù)據在各個組的頻率分布根據頻率分布直方圖估計樣本(或者總體)的平均值時，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法某種袋裝產品的標準質量為每袋100克，但工人在包裝過程

10、中一般有誤差，規(guī)定誤差在2克以內的產品均合格由于操作熟練，某工人在包裝過程中不稱重直接包裝，現(xiàn)對其包裝的產品進行隨機抽查，抽查30袋產品獲得的數(shù)據如下：質量(單位：克)數(shù)量(單位：袋)90,94)294,98)698,102)12102,106)8106,1102(1)根據表格中的數(shù)據繪制產品質量的頻率分布直方圖；(2)估計該工人包裝的產品的平均質量的估計值是多少解(1)頻率分布直方圖如下：(2)×92×96×100×104×108100.27(克)題型二莖葉圖的應用例2某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個優(yōu)良品種B進行對照

11、試驗兩種小麥各種植了25畝，所得畝產數(shù)據(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出數(shù)據的莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據，有什么優(yōu)點？(3)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產量及其穩(wěn)定性進行比較，

12、寫出統(tǒng)計結論思維啟迪：作莖葉圖時，將高位(十位與百位)作為莖，低位(個位)作為葉，逐個統(tǒng)計；根據莖葉圖分析兩組數(shù)據的特點，可以得出結論解(1)如下圖(2)由于每個品種的數(shù)據都只有25個，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時記錄新的數(shù)據(3)通過觀察莖葉圖可以看出：品種A的畝產平均數(shù)(或均值)比品種B高；品種A的畝產標準差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產穩(wěn)定性較差探究提高(1)莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據，便于記錄及表示，能反映數(shù)據在各段上的分布情況(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)

13、據求出數(shù)據的數(shù)字特征，進一步估計總體情況(1)如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是_答案64解析甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36，甲、乙得分中位數(shù)之和為283664.(2)甲、乙兩個體能康復訓練小組各有10名組員，經過一段時間訓練后，某項體能測試結果的莖葉圖如圖所示，則這兩個小組中體能測試平均成績較高的是_組答案甲解析甲75.5，乙75.4，甲>乙題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,

14、5.(1)分別計算兩組數(shù)據的平均數(shù)；(2)分別計算兩組數(shù)據的方差；(3)根據計算結果，估計一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些思維啟迪：根據公式計算平均數(shù)和方差，然后利用平均數(shù)和方差的意義進行估計解(1)甲(86786591047)7(環(huán))，乙(6778678795)7(環(huán))(2)由方差公式s2(x1)2(x2)2(xn)2可求得s3.0(環(huán)2)，s1.2(環(huán)2)(3)由甲乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當；又s>s，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動大，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定探究提高平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾

15、數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小(1)如右圖是某電視臺綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據的平均數(shù)和方差分別為()A84,4.84 B84,1.6C85,4 D85,1.6答案D解析由莖葉圖可知評委打出的最低分為79，最高分為93，其余得分為84,84,86,84,87，故平均分為85，方差為3×(8485)2(8685)2(8785)21.6.(2)(2012·山東)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據恰好是A樣本數(shù)據每個

16、都加2后所得數(shù)據，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應相同的是()A眾數(shù) B平均數(shù)C中位數(shù) D標準差答案D解析對樣本中每個數(shù)據都加上一個非零常數(shù)時不改變樣本的方差和標準差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變統(tǒng)計圖表識圖不準致誤典例：(5分)從某校高三年級隨機抽取一個班，對該班50名學生的高校招生體檢表中的視力情況進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示：若某高校A專業(yè)對視力的要求在0.9以上，則該班學生中能報A專業(yè)的人數(shù)為_易錯分析解題中易出現(xiàn)審題不仔細，又對所給圖形沒有真正理解清楚，將矩形的高誤認為頻率或者對“0.9以上”的含義理解有誤解析該班學生視力在0.9以上的頻率為(1.000.750.25)

17、15;0.20.4，故能報A專業(yè)的人數(shù)為0.4×5020.答案20溫馨提醒頻率分布條形圖的縱軸(矩形的高)表示頻率；頻率分布直方圖的縱軸(矩形的高)表示頻率與組距的比值，其各小組的頻率等于該小組上的矩形的面積.方法與技巧1用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用在計數(shù)和計算時一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計2莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據的分布情況的莖葉圖由所有樣本數(shù)據構成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記

18、錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作3若取值x1，x2，xn的頻率分別為p1，p2，pn，則其平均值為x1p1x2p2xnpn；若x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則ax1b，ax2b，axnb的平均數(shù)為ab，方差為a2s2.失誤與防范頻率分布直方圖的縱坐標為頻率/組距，每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內的頻率；條形圖的縱坐標為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2011·四川)有一個容量為66的樣本，數(shù)據的分組及各組的頻數(shù)如下：11.

19、5,15.5)215.5,19.5)419.5,23.5)923.5,27.5)1827.5,31.5)1131.5,35.5)1235.5,39.5)739.5,43.5)3根據樣本的頻率分布估計，數(shù)據落在31.5,43.5)的概率約是()A. B. C. D.答案B解析由條件可知，落在31.5,43.5)的數(shù)據有127322(個)，故所求概率約為.2為了了解高三學生的數(shù)學成績，抽取了某班60名學生，將所得數(shù)據整理后，畫出其頻率分布直方圖(如圖)，已知從左到右各長方形高的比為235631，則該班學生數(shù)學成績在(80,100)之間的學生人數(shù)是()A32 B27 C24 D33答案D解析8010

20、0之間兩個長方形高占總體的比例為，即為頻數(shù)之比，x33.3在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：90899095939493去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據的平均值和方差分別為()A92,2 B92,2.8 C93,2 D93,2.8答案B解析去掉最高分95和最低分89后，剩余數(shù)據的平均數(shù)為92，方差為s2(9092)2(9092)2(9392)2(9492)2(9392)2(44141)2.8.4如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為A和B，樣本標準差分別為sA和sB，則()A.A>B，sA>sB B.A<B，sA>sBC.A

21、>B，sA<sB D.A<B，sA<sB答案B解析A中的數(shù)據都不大于B中的數(shù)據，所以A<B，但A中的數(shù)據比B中的數(shù)據波動幅度大，所以sA>sB.二、填空題(每小題5分，共15分)5(2012·廣東)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標準差等于1，則這組數(shù)據為_(從小到大排列)答案1,1,3,3解析假設這組數(shù)據按從小到大的順序排列為x1，x2，x3，x4，則又s1，(x12)2(x22)22.同理可求得(x32)2(x42)22.由x1，x2，x3，x4均為正整數(shù)，且(x1，x2)，(x3，x4)均為圓(x2)2

22、(y2)22上的點，分析知x1，x2，x3，x4應為1,1,3,3.6(2012·山東)如圖是根據部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：)數(shù)據得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是20.5,26.5，樣本數(shù)據的分組為20.5,21.5)，21.5，22.5)，22.5,23.5)，23.5,24.5)，24.5,25.5)，25.5，26.5已知樣本中平均氣溫低于22.5 的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5 的城市個數(shù)為_答案9解析最左邊兩個矩形面積之和為0.10×10.12×10.22，總城市數(shù)為11÷0.2250，最右面矩形面積為

23、0.18×10.18，50×0.189.7將容量為n的樣本中的數(shù)據分成6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組數(shù)據的頻率之比為234641，且前三組數(shù)據的頻數(shù)之和等于27，則n_.答案60解析第一組至第六組數(shù)據的頻率之比為234641，前三組頻數(shù)和為·n27，故n60.三、解答題(共22分)8(10分)甲乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據圖和上面算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價解(1)由圖像可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，1

24、2分，12分，14分甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高9(12分)(2012·廣東)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成 績分組區(qū)間是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求圖中a的值；(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；

25、(3)若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學成績在50,90)之外的人數(shù).分數(shù)段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445解(1)由頻率分布直方圖知(2a0.020.030.04)×101，解得a0.005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學生語文成績的平均分為55×0.005×1065×0.04×1075×0.03×1085×0.02×1095×0.005×1073(分)(3)由頻率分布直方圖知

26、語文成績在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分數(shù)段的人數(shù)依次為0.005×10×1005,0.04×10×10040,0.03×10×10030,0.02×10×10020.由題中給出的比例關系知數(shù)學成績在上述各分數(shù)段的人數(shù)依次為5,40×20,30×40,20×25.故數(shù)學成績在50,90)之外的人數(shù)為100(5204025)10.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1(2011·重慶)從一堆蘋果中任取10

27、只，稱得它們的質量如下(單位：克)：12512012210513011411695120134則樣本數(shù)據落在114.5,124.5內的頻率為()A0.2 B0.3 C0.4 D0.5答案C解析落在114.5,124.5內的樣本數(shù)據為120,122,116,120，共4個，故所求頻率為0.4.2為了了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖所示由于不慎將部分數(shù)據丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學生數(shù)為b，則a，b的值分別為()A0.27,78 B0.27,83C2.7,78

28、 D2.7,83答案A解析由題意，4.5到4.6之間的頻率為0.09,4.6到4.7之間的頻率為0.27，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設公差為d，則有6×0.2715d10.010.030.09，解得d然后可求得各組頻率(也可用排除法)3一個樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a、b是方程x25x40的兩根，則這個樣本的方差是()A3 B4 C5 D6答案C解析x25x40的兩根是1,4.當a1時，a,3,5,7的平均數(shù)是4，當a4時，a,3,5,7的平均數(shù)不是1.a1，b4.則方差s2×(14)2(34)2(54)2(74)25，故選C.二、填空題(每小題5分，共15分)4從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據繪制成頻率分布直方圖(如圖)由圖中數(shù)據可知a_.若要從身高在120,130)，130,140)，140,150三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140,150內的學生中選取的人數(shù)應為_答案0.0303解析小矩形的面積等于頻率，除120,130)外的頻率和為0.700，a0.030.由題意知，身高在120,13