2016高考數(shù)學大一輪復習14.3坐標系與參數(shù)方程教師用書理蘇教版

1、§14.3坐標系與參數(shù)方程1極坐標系(1)極坐標系的建立：在平面上取一個定點O，叫做極點，從O點引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個極坐標系設M是平面內一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的極徑，記為，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做點M的極角，記為.有序數(shù)對(，)叫做點M的極坐標，記作M(，)(2)極坐標與直角坐標的關系：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(，)，則它們之間的關系為xco

2、s_，ysin_.另一種關系為2x2y2，tan .2簡單曲線的極坐標方程(1)直線的極坐標方程 (R)表示過極點且與極軸成角的直線；cos a表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；sin b表示過且平行于極軸的直線；sin()1sin(1)表示過(1，1)且與極軸成角的直線方程(2)圓的極坐標方程2rcos 表示圓心在(r,0)，半徑為|r|的圓；2rsin 表示圓心在，半徑為|r|的圓；r表示圓心在極點，半徑為|r|的圓3曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變量t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值上式所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，則稱上式為該曲線

3、的參數(shù)方程，其中變量t稱為參數(shù)4一些常見曲線的參數(shù)方程(1)過點P0(x0，y0)，且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓的方程(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓方程1(a>b>0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線方程y22px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))1在極坐標系中，直線sin()2被圓4截得的弦長為_答案42已知點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上，則PF_.答案43直線(t為參數(shù))的傾斜角為_答案50°4(2014·天津)在以O為極點的極坐標系中，圓4sin 和直線sin a相交于A，B兩點若A

4、OB是等邊三角形，則a的值為_答案3解析由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24.由sin a可得ya.設圓的圓心為O，ya與x2(y2)24的兩交點A，B與O構成等邊三角形，如圖所示由對稱性知OOB30°，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B點的坐標為(a，a)又B在x2y24y0上，(a)2a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)或a3.題型一極坐標與直角坐標的互化例1在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos()1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點(1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；(2)設MN的中點為P，求

5、直線OP的極坐標方程解(1)由cos()1得(cos sin )1.從而C的直角坐標方程為xy1，即xy2.當0時，2，所以M(2,0)當時，所以N(，)(2)M點的直角坐標為(2,0)N點的直角坐標為(0，)所以P點的直角坐標為(1，)則P點的極坐標為(，)，所以直線OP的極坐標方程為(R)思維升華直角坐標方程化為極坐標方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應注意對變形過程的檢驗在

6、極坐標系中，已知圓2cos 與直線3cos 4sin a0相切，求實數(shù)a的值解將極坐標方程化為直角坐標方程，得圓的方程為x2y22x，即(x1)2y21，直線的方程為3x4ya0.由題設知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有1，解得a8或a2.故a的值為8或2.題型二參數(shù)方程與普通方程的互化例2已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0<)和(tR)，求它們的交點坐標解將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程分別為y21 (0y1，<x)和y2x，聯(lián)立解得交點為.思維升華(1)參數(shù)方程化為普通方程常用的消參技巧有代入消元、加減消元、平方后再加減消元等對于與角有關的參數(shù)方程，經(jīng)常用到的公式有sin2cos

7、21,1tan2等(2)在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，還要注意其中的x，y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性(2014·重慶)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為sin24cos 0(0，0<2)，則直線l與曲線C的公共點的極徑_.答案解析參數(shù)方程化為普通方程為yx1.由sin24cos 0，得2sin24cos 0，其對應的直角坐標方程為y24x0，即y24x.由可得故直線和拋物線的交點坐標為(1,2)，故交點的極徑為.題型三極坐標、參數(shù)方程的綜合應用例3在直角坐標平面

8、內，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系曲線C的極坐標方程是4cos ，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，M，N分別為曲線C、直線l上的動點，求MN的最小值解化極坐標方程4cos 為直角坐標方程x2y24x0，所以曲線C是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓化參數(shù)方程(t為參數(shù))為普通方程xy30.圓心到直線l的距離d，此時，直線與圓相離，所以MN的最小值為2.思維升華涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解轉化后可使問題變得更加直觀，它體現(xiàn)了化歸思想的具體運用(1)(2014·陜西)在極坐標系中，點(2，)到直線sin()1的

9、距離是_(2)在極坐標系中，點A的坐標為(2，)，曲線C的方程為2cos ，則OA(O為極點)所在直線被曲線C所截弦的長度為_答案(1)1(2)解析(1)點(2，)化為直角坐標為(，1)，直線sin()1化為(sin cos )1，yx1，即xy10，點(，1)到直線xy10的距離為1.(2)由題意知直線OA的直角坐標方程為xy0，曲線C的直角坐標方程為x2y22x，即(x1)2y21，易知曲線C為圓，且圓心C到直線OA的距離為，故直線OA被曲線C所截弦的長度為2.參數(shù)的幾何意義不明致誤典例：(10分)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標系xOy的O點為極點，Ox方向為極軸，選擇相

10、同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為2cos()(1)求直線l的傾斜角；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，求AB.易錯分析不明確直線的參數(shù)方程中的幾何意義導致錯誤規(guī)范解答解(1)直線的參數(shù)方程可以化為2分根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，直線l經(jīng)過點(0，)，傾斜角為60°.4分(2)直線l的直角坐標方程為yx，6分2cos()的直角坐標方程為(x)2(y)21，8分所以圓心(，)到直線l的距離d.所以AB.10分溫馨提醒對于直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))來說，要注意t是參數(shù)，而則是直線的傾斜角與此類似，橢圓參數(shù)方程的參數(shù)有特別的幾何意義，它表示離心角.方法與技巧1曲線的極坐標方程

11、與直角坐標系的互化思路：對于簡單的我們可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有時需要作適當?shù)淖兓?，如將式子的兩邊同時平方，兩邊同時乘以等2參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧：代入消元、加減消元、平方后加減消元等，經(jīng)常用到公式：cos2sin21,1tan2.3利用曲線的參數(shù)方程來求解兩曲線間的最值問題非常簡捷方便，是我們解決這類問題的好方法失誤與防范1極徑是一個距離，所以0，但有時可以小于零極角規(guī)定逆時針方向為正，極坐標與平面直角坐標不同，極坐標與P點之間不是一一對應的，所以我們又規(guī)定0,0<2，來使平面上的點與它的極坐標之間是一一對應的，但仍然不包括極點2在將曲線的參數(shù)方

12、程化為普通方程時，還要注意其中的x，y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性.A組專項基礎訓練(時間：50分鐘)1(2014·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，求線段AB的長解將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.2已知曲線C的參數(shù)方程為0,2)，曲線D的極坐標方程為sin().(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；(2)曲線C與曲線D有無公共點？試說明理由解(1)由0,2)得x2y1，x1,1(2)由sin()得曲線D的普通

13、方程為xy20.得x2x30.解得x1,1，故曲線C與曲線D無公共點3(2013·福建)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為(，)，直線l的極坐標方程為cos()a，且點A在直線l上(1)求a的值及直線l的直角坐標方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關系解(1)由點A(，)在直線cos()a上，可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2，從而直線l的直角坐標方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x1)2y21，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r1，因為圓心C到直線l的距離d<1

14、，所以直線l與圓C相交4在極坐標系中，P是曲線12sin 上的動點，Q是曲線12cos上的動點，試求PQ的最大值解12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，PQmax6618.5在極坐標系中，已知三點M、N(2,0)、P.(1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標；(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上解(1)由公式得M的直角坐標為(1，)；N的直角坐標為(2,0)；P的直角坐標為(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三點在一條直線上6在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C

15、：x2y236變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點坐標解圓x2y236上任一點為P(x，y)，伸縮變換后對應的點的坐標為P(x，y)，則4x29y236，即1.曲線C在伸縮變換后得橢圓1，其焦點坐標為(±，0)B組專項能力提升(時間：30分鐘)1(2014·福建)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍解(1)直線l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216.(2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心到直線l的距離d4，解得2a2.2已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別

16、為2，22cos()2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程解(1)由2知24，所以x2y24；因為22cos()2，所以22(cos cos sin sin )2，所以x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為xy1.化為極坐標方程為cos sin 1，即sin().3(2013·課標全國)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(0,0<2)解(1)C1的參數(shù)方程為.(x4)2(y5)225(cos2tsin2t)25，即C1的直角坐標方程為(x4)2(y5)225，把xcos ，ysin 代入(x4)2(y5)225，化簡得：28cos 10sin 160.(2)C2的直角坐標方程為x2y22y，解方程組得或.C1與C2交點的直角坐標為(1,1)，(0,2)C1與C2交點的極坐標為，.4在直角坐標系xOy中，以