如何整體把握高中數(shù)學課程,針對課程內(nèi)容進行主線

1、如何整體把握高中數(shù)學課程，針對課程內(nèi)容進行主線分析一 高中數(shù)學課程其實就是分成幾大板塊，如： 1 曲線 分為那些橢圓，圓，拋物線。2 函數(shù)，這個很重要，和別的聯(lián)系性也很強，3 概率 4立體幾何 立體感強的人容易一些 對于有的人就不是特別好學，親身體驗5向量 6集合 與函數(shù)有時會聯(lián)系在一起 7排列組合 印象回憶，也許不太全，但是這些都是重點，也是必考的。然后有得部分間是有聯(lián)系的，有的是毫無聯(lián)系性的，像毫無聯(lián)系性的，用我們老師的話說，就是無論你數(shù)學多爛，到了一個新的部分也一樣是和別人一樣，都是起步。二內(nèi)容主線：2.1函數(shù)主線20世紀初，在英國數(shù)學家貝利和德國數(shù)學家克萊因等人的大力倡導和推動下，函數(shù)

2、進入了中學數(shù)學?？巳R因提出了一個重要的思想以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學教育的內(nèi)容，他認為：“函數(shù)概念，應該成為數(shù)學教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學教材集中在它周圍，進行充分地綜合。”高中數(shù)學課程設(shè)計中，把函數(shù)作為貫穿整個高中數(shù)學課程始終的主線，這條線將延續(xù)到大學的數(shù)學中，我們知道，大學幾乎所有的專業(yè)都開設(shè)了高等數(shù)學，有文科的高等數(shù)學，有工科的高等數(shù)學，在數(shù)學系中，有數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)、信息與計算專業(yè)、統(tǒng)計數(shù)學專業(yè)，這些專業(yè)開設(shè)了不同高等數(shù)學內(nèi)容的課程，雖然，不同的專業(yè)開設(shè)不同的高等數(shù)學課程，但是，函數(shù)是這些高等數(shù)學課程的一條主線，在數(shù)學系課程中，尤顯突出，例如，數(shù)學分析、復變函數(shù)、實變函數(shù)

3、、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，這些課程都是把函數(shù)作為研究對象。函數(shù)、映射不僅是數(shù)學的基本研究對象，它們的思想滲透到幾乎每一個數(shù)學分支。在高中階段，如何認識函數(shù)的作用？如何把握函數(shù)的內(nèi)容？如何進行函數(shù)的教學？學生學完高中課程，在函數(shù)的學習中，應留下什么呢？每一個高中數(shù)學教師都應該認真思考這些問題。 1對函數(shù)的認識 （1）函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型把函數(shù)看作是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，通過探索，理解可以用變量與變量之間的依賴關(guān)系反映自然規(guī)律，這是我們認識現(xiàn)實世界的重要視角。在現(xiàn)實生活中，在其他學科中，有些變量和變量之間沒有依賴關(guān)系，例如，一般的說，

4、速度和濕度就沒有依賴關(guān)系；有些變量和變量之間存在著依賴關(guān)系，一個量的變化引起另一個量的變化。例如，在物理中刻畫物體運動時，路程隨著時間的變化而變化。又如，世界人口數(shù)量是隨著時間的變化而變化的。這些對象的變量之間都有著密切的依賴關(guān)系，而且，這種變量之間的依賴關(guān)系具有一個突出的特征，即當一個變量取定一個值時，依賴于這個變量的另一個變量有唯一確定的值。具有這種特征的變量之間的依賴關(guān)系在現(xiàn)實世界中大量存在。例如，在汽車的運動中，運動時間和速度是有依賴關(guān)系的兩個變量，在任何時刻，汽車只能有唯一的一個速度。又如，郵局按郵件的重量收取郵資，郵資與郵件的重量是有依賴關(guān)系的兩個變量，對同類型具有一定重量的郵件，

5、只能收取唯一確定的郵資。函數(shù)正是反映變量與變量之間這種依賴關(guān)系的，它是刻畫現(xiàn)實世界中自然規(guī)律的重要模型。這也是數(shù)學聯(lián)系實際的基礎(chǔ)。（2）函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁把函數(shù)看作是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁，即通常說的映射關(guān)系。在高中階段，函數(shù)的定義為：給定兩個實數(shù)集合A、B，對集合A的任一元素a，按照某種對應關(guān)系f，在集合B中存在唯一元素b與之對應，即f(a)=b。我們稱這個對應關(guān)系f為集合A到集合B的一個函數(shù)關(guān)系，簡稱函數(shù),記作：f: A B。這是用映射的觀點刻畫函數(shù)，它反映兩個數(shù)集之間的關(guān)系，在兩個數(shù)集之間架起了一座橋梁。這樣的看法反映了數(shù)學中的一種基本思想。在代數(shù)學中，同構(gòu)、同態(tài)都是構(gòu)架兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)的

6、橋梁。在拓撲學中，連續(xù)、同胚都是構(gòu)架兩個拓撲結(jié)構(gòu)的橋梁。這種思想滲透到每一個數(shù)學分支中。（3）函數(shù)是“圖形”函數(shù)關(guān)系是平面上點的集合，又可以看作平面上的一個“圖形”。在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件的曲線。因此，從某種意義上說，研究函數(shù)就是研究曲線的性質(zhì)，研究曲線的變化。運用這種看法，函數(shù)可以看作數(shù)形結(jié)合的載體之一。實際上，高中數(shù)學課程中的數(shù)形結(jié)合主要有三個載體：解析幾何、向量幾何、函數(shù)。在討論函數(shù)問題時，幫助學生養(yǎng)成畫函數(shù)圖形，并且用函數(shù)圖形思考問題的習慣。樹立“圖形意識”是掌握函數(shù)性質(zhì)、學好函數(shù)的關(guān)鍵。以上是認識函數(shù)的三個不同角度，它們可以幫助我們更全面地認識函數(shù)，也是學生在高中階段中應留

7、下的東西。這些對于進一步學習是很重要的。進入大學，在高等數(shù)學的學習中，我們還會學習認識函數(shù)的新的視角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函數(shù)作為一個整體，并討論整體的結(jié)構(gòu)。 2中學數(shù)學研究函數(shù)的什么性質(zhì)數(shù)學中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。因為，函數(shù)的變化特征反映了它所刻畫的自然規(guī)律的特征。在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性。也討論某些函數(shù)的奇偶性。單調(diào)性是在高中階段討論函數(shù)“變化”的一個最基本的性質(zhì)。就是當自變量增加（減少）時，函數(shù)值是增加還是減少？單調(diào)性反映的是某個范圍里函數(shù)的變化，不是函數(shù)的局部性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律。在高中數(shù)學課程中

8、，對于函數(shù)這個性質(zhì)的研究分成兩個階段。第一階段，安排在必修1中。要求理解單調(diào)性的圖形直觀，理解單調(diào)性的定義，通過大量的具體函數(shù)，理解單調(diào)性在研究函數(shù)中的作用。單調(diào)性與函數(shù)圖形有密切聯(lián)系，了解了函數(shù)的單調(diào)性，基本上就可以決定函數(shù)圖形的走勢；反過來，掌握了函數(shù)圖形的走勢，也就基本上了解了函數(shù)的單調(diào)性，這是掌握函數(shù)的最基本的東西；單調(diào)性與不等式聯(lián)系密切，單調(diào)性的形式化定義是借助于不等式給出的。反之，具體函數(shù)的單調(diào)性反映了一些不等關(guān)系。關(guān)于單調(diào)性的證明一定要把握好它的“度”，一般的只證明以下幾種函數(shù)的單調(diào)性：y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=x3, y=x-1, 

9、;y=.我們應該看到，還可以運用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來證明上述函數(shù)的單調(diào)性，這樣，我們就會有不同的思想、方法、工具研究函數(shù)。 對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的證明也不作要求，因為對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的嚴格證明是有難度的。學習了導數(shù)的知識，可以給出說明。第二階段，安排在選修系列1、2課程的導數(shù)及其應用中。導數(shù)是描述函數(shù)變化率的概念，導數(shù)概念可以幫助我們對“函數(shù)的變化”有進一步了解。在這一部分內(nèi)容中，要求學生理解導數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系：在一個區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在每一點的導數(shù)大于零，則函數(shù)是遞增的；如果函數(shù)在每一點的導數(shù)小于零，則函數(shù)是遞減的；反之，也可以用單調(diào)性判斷導數(shù)的符號。在一個區(qū)間內(nèi)，遞增函數(shù)如果

10、有導函數(shù)，那么每一點的導數(shù)大于或等于零；在一個區(qū)間內(nèi)，遞減函數(shù)如果有導函數(shù)，那么每一點的導數(shù)小于或等于零。這些結(jié)論的證明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的。此外，在高中階段，對嚴格單調(diào)性和單調(diào)性的區(qū)別不必深究，否則，會因小失大。對于一些對數(shù)學有興趣的同學，教師可以適當引導他們閱讀一些相關(guān)的參考書。周期性是中學階段學習函數(shù)的另一個基本的性質(zhì)。周期性反映了函數(shù)變化周而復始的規(guī)律。在我們的生活中，存在著大量的周期變化的現(xiàn)象，大到宇宙的變化，例如，在太陽系中，行星圍繞太陽的運動；小到粒子的變化。因此，學會用周期的觀點來看待周圍事物的變化是非常重要的。周期函數(shù)，比如，正弦和余弦函數(shù)、正切和余切函數(shù)

11、都是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型。用周期的觀點來研究周期函數(shù)，可以使我們集中研究函數(shù)在一個周期里的變化，在此基礎(chǔ)上，就可以了解函數(shù)在整個定義域內(nèi)的變化情況。在高中數(shù)學課程中，不討論一般函數(shù)的周期性，只討論基本的具體三角函數(shù)的周期性，例如，正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性。奇偶性也是我們在中學階段學習函數(shù)時要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應了函數(shù)圖形的對稱性質(zhì)，偶函數(shù)圖形是關(guān)于y軸對稱的，奇函數(shù)圖形是關(guān)于原點對稱的，奇偶性反應圖形的對稱與坐標系的選擇有關(guān)。奇偶性可以幫助我們用對稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。在高中數(shù)學課程中，對于一般函數(shù)的奇偶性，也不做深入討論，只討論基本的具體函數(shù)的奇

12、偶性，例如，簡單冪函數(shù)的奇偶性，如，y=x2,y=x3, y=x-1。    3具體函數(shù)模型了解函數(shù)的形式定義，僅僅是理解函數(shù)的一部分，理解函數(shù)一個重要方法，就是在頭腦中留住一批具體函數(shù)的模型。在高中階段，學生應留住哪些函數(shù)模型呢？如何讓學生把這些模型留在頭腦中，并能幫助思考問題？這是每位教師應該思考的問題。對于一個好的數(shù)學教育工作者，要幫助學生對每一個抽象的數(shù)學概念，使他們在頭腦中都有一批具體的“模型”。要幫助學生養(yǎng)成這樣一種學習數(shù)學的好習慣。冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，這些函數(shù)是最基本的，也是最重要的。還有簡單的分段函數(shù)，一些有實際背景

13、的函數(shù)，等等。這些都是基本的、重要的函數(shù)模型。（1） 線性函數(shù)y=ax+b與冪函數(shù)相聯(lián)系，它的圖形是一條直線；它是函數(shù)關(guān)系中最常見的，也是最簡單的；在很多情況下，例如，在研究比較復雜的函數(shù)時，我們常常用它在一點附近的線性函數(shù)來近似表示，“以直代曲”是微分的基本思想。（2）正整數(shù)指數(shù)冪函數(shù)正整數(shù)指數(shù)冪函數(shù)y=xn也是基本的函數(shù)，它們的代數(shù)和構(gòu)成我們熟悉的多項式函數(shù)，這些函數(shù)都是“好”的函數(shù)。所謂好，是指它具有任意階導數(shù)，非常的光滑。此外，它們還有一個極為重要的性質(zhì)，對于任意一個“好的函數(shù)”，在一定范圍內(nèi)都可以用多項式函數(shù)來近似地表示，在高等數(shù)學中，稱為泰勒公式，這是高等數(shù)學的重要結(jié)果之一，它就是

14、建立在正整數(shù)指數(shù)冪函數(shù)的基礎(chǔ)上的。這也是為什么冪函數(shù)重要和基本的原因之一。在高中階段，對冪函數(shù)不做一般的討論，僅僅討論幾種簡單的情況：例如，y=x3, y=x-1, y=。 一元二次函數(shù)是最重要的一類多項式函數(shù)，在高中階段，我們對這類函數(shù)作了詳細的研究，我們應該很好掌握這一類函數(shù)。（3）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)本身都是重要的函數(shù)，在刻畫自然規(guī)律時，它們是用的最多的函數(shù)，也是最基本的函數(shù)；同時，它們是好函數(shù)，它們具有任意階導數(shù)。我們從兩個角度認識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。一個角度是運算，從運算的角度認識指數(shù)、對數(shù)的運算規(guī)律，利用運算的規(guī)律研究函數(shù)；另一個角度是函數(shù)，從函

15、數(shù)的角度認識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的規(guī)律。對數(shù)函數(shù)（底數(shù)大于1）、多項式函數(shù)（例如，y=x2）、指數(shù)函數(shù)（底數(shù)大于1），這三類函數(shù)都是隨著自變量的增加而增加，但是，它們增長的速度是不同的，對數(shù)函數(shù)最慢，多項式函數(shù)快一些，指數(shù)函數(shù)最快，在實際中，我們常常分別稱為：對數(shù)增長，多項式增長，指數(shù)增長，這些是刻畫增長的最基本的模式。（4）三角函數(shù)周期現(xiàn)象是現(xiàn)實世界最基本的現(xiàn)象之一，三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象最基本的模型，三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等等。很多現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象都可以用這些三角函數(shù)表示。三角函數(shù)也是最基本的周期函數(shù)，通過三角函數(shù)可以幫助我們更好地理解周期函數(shù)；三角函數(shù)也都是好的函數(shù)，

16、具有任意階導數(shù)；三角函數(shù)的代數(shù)和可以用來表示更多的函數(shù)（包括那些好的和不好的函數(shù)，如，某些不連續(xù)的函數(shù)），構(gòu)成三角級數(shù)的理論，它是數(shù)學中分析學的基本內(nèi)容，它還是重要的一個數(shù)學分支調(diào)和分析、小波分析的基礎(chǔ)，小波分析是圖像壓縮技術(shù)的基礎(chǔ)，具有極為廣泛的應用。綜上所述，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)都是最基本的初等函數(shù)，高中數(shù)學的最重要的任務(wù)之一就是要把這些基本初等函數(shù)模型留在學生腦子里，這些模型是思考其他函數(shù)問題的基礎(chǔ)。對于上述基本初等函數(shù)模型，我們希望學生在腦子里留下三方面的東西：背景，從函數(shù)模型的實際背景的角度把握函數(shù)；圖像，從幾何直觀的角度把握函數(shù)；基本變化，從代數(shù)的角度把握函數(shù)的變化

17、情況，如，指數(shù)函數(shù)（底數(shù)大于1）變化之所以快是因為指數(shù)運算將和變?yōu)榉e，對數(shù)函數(shù)（底數(shù)大于1）變化之所以慢是因為對數(shù)運算將積變?yōu)楹?。對于函?shù)的教學，教師應該有一個全面的設(shè)計，思考一下，高一上學期做什么，下學期做什么，高二上學期做什么，高三下學期做什么。通過函數(shù)的教學，要使函數(shù)在學生頭腦中扎下根。    4函數(shù)與其他內(nèi)容的聯(lián)系 函數(shù)作為高中數(shù)學的一條主線，貫穿于整個高中數(shù)學課程中。特別是在方程、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機變量等內(nèi)容中都突出的體現(xiàn)了函數(shù)思想。 （1）函數(shù)與方程用函數(shù)的觀點看待方程，可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點的橫坐標，即零點的橫

18、坐標，因此，解方程f(x)=0就是求函數(shù)y=f(x)的零點的橫坐標，從而，方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了思考函數(shù)圖形與x軸的交點問題。函數(shù)圖形與x軸的交點是函數(shù)的局部性質(zhì)，如何利用函數(shù)的整體性質(zhì)來討論函數(shù)的局部性質(zhì)？這是解決方程問題的基本思想。具體來說，如果函數(shù)y=f(x)連續(xù)，且y=f(x) 在區(qū)間a,b兩端點的值異號，即f(a) f(b)<0，那么函數(shù)圖像會從（a, f(a)）點出發(fā)一定會穿過x軸到達（b, f(b)）點，即方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)有解，原因就是由于函數(shù)不間斷。如果函數(shù)有這一性質(zhì)我們就可以運用二分法求出方程的近似解。例如，判斷方程x2x6=0的根的

19、存在性。我們可以考察函數(shù)f(x)x2x6，其圖像為拋物線，如圖。容易看出，f(0)= 60，f(4)= 60，f(4)=140，由于函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)曲線，因此點B(0, 6)與點C(4, 6)之間的那部分曲線必然穿過x軸，即在區(qū)間(0, 4)內(nèi)必有一點x1，使f(x1)0；同樣，在區(qū)間(4, 0)內(nèi)也必有一點x2，使f(x2)0。所以，方程x2x6=0有兩個實根。我們可以用學過的解方程的方法來驗證這個結(jié)論。二分法本質(zhì)上就是用函數(shù)的整體性質(zhì)：“函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，且端點函數(shù)值異號，”去尋求函數(shù)圖像與x軸的交點。除了二分法外，在數(shù)學分析中，還有一些用整體性質(zhì)討論方程近似求解的方法。這些方法都

20、是從整體看待局部。例如，切線法，如果一個函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間有一階導數(shù)，則可用切線法求方程f(x)=0的解；又如，割線法，如果一個函數(shù)y=f(x) 在閉區(qū)間有二階導數(shù)，則可用割線法求方程f(x)=0的解。在“計算方法”中可以證明：切線法比二分法快，割線法比切線法快。這是因為，割線法比切線法要求函數(shù)具有更好的性質(zhì)，切線法比二分法要求函數(shù)具有更好的性質(zhì)。有了近似逼近求方程解的思想，解方程的視野界開闊了，微積分的作用也就體現(xiàn)出來了。在初中，解方程的思路只局限在用恒等變形來解方程，時間和精力主要花在恒等變形上。（2）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負的正整數(shù)集，有時也可以為自然數(shù)集

21、，或者自然數(shù)集的子集。自然數(shù)是離散的，因此，數(shù)列通常稱為離散函數(shù)，離散函數(shù)是相對于定義域為實數(shù)或者實數(shù)的區(qū)間上的函數(shù)而言的。數(shù)列作為離散函數(shù)，在數(shù)學中有著自己的重要地位。在高中和大學，我們所遇到的大部分函數(shù)都是“好函數(shù)”，“好函數(shù)”不僅是連續(xù)的，而且是可導的，像冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等都是好函數(shù)，它們具有任意階導數(shù)。數(shù)列在研究這些連續(xù)函數(shù)中發(fā)揮著重要作用。在高中階段，主要討論一些特殊的數(shù)列等差、等比數(shù)列的性質(zhì)。等差數(shù)列、等比數(shù)列都是基本的數(shù)學模型，在我們?nèi)粘＝?jīng)濟生活中許多經(jīng)濟問題都可以歸結(jié)為等差數(shù)列、等比數(shù)列模型。例如，存貸款、教育儲蓄、分期付款、商家返卷等等問題，都可以用等差數(shù)

22、列、等比數(shù)列來刻畫。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。 （3）函數(shù)與不等式函數(shù)y=f(x) 的圖像把坐標系的橫坐標軸分成若干部分區(qū)域，一部分區(qū)域是使函數(shù)值等于0，即；一部分區(qū)域是使函數(shù)值大于0，即 ；一部分區(qū)域是使函數(shù)值小于0，即。用函數(shù)的觀點看，就是確定使函數(shù)圖像y=f(x)在軸上方或下方的的區(qū)域。這樣，我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。例如，解一元二次不等式。首先分析函數(shù)的圖像與軸有三種關(guān)系：不相交、有一個交點、有兩個交點。如果再考慮函數(shù)的圖像（拋物線）的開口方向，就有六種情況：開口向上的三種情況和開口

23、向下的三種情況。對于每一種情況，我們都能根據(jù)函數(shù)圖象確定出的范圍（的范圍可能是一個區(qū)間，也可能是兩個區(qū)間的并，也可能只有一個點或是空集）。因此，解一元二次不等式的問題就歸結(jié)為以下算法：第一步，確定函數(shù)圖象的開口方向（根據(jù)的符號判斷）；第二步，確定函數(shù)圖象與軸的關(guān)系（根據(jù)判別式判斷）；第三步，確定的范圍。用函數(shù)的觀點來討論不等式的問題，無論是對于理解函數(shù)的思想，還是解不等式的有關(guān)問題，都是非常有益的，有助于更好的理解這些知識本身和解決有關(guān)問題。 （4）函數(shù)與線性規(guī)劃線性規(guī)劃問題是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點看，首先，要確定目標函數(shù)，用目標函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，在這里，

24、目標函數(shù)實際上是二元函數(shù)，在具體問題中，學生是不難接受這個概念；接著，需要確定目標函數(shù)的可行域（由約束條件確定目標函數(shù)的定義域），用平面區(qū)域圖形可以非常清晰地表達可行域（目標函數(shù)的定義域）的特征，可行域的邊界是由“直線圍成的區(qū)域”，其邊界上定點的個數(shù)是有限的；最后，討論目標函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題，為此，認識目標函數(shù)的變化趨勢，使用等高線（其上函數(shù)值相等的平面上的直線）可以直觀地給出了目標函數(shù)的變化趨勢。解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標函數(shù)；第二步，確定目標函數(shù)的可行域；第三步，確定目標函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。 例1 某醫(yī)院用甲、乙

25、兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐，甲種原料每10 g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價3元；乙種原料每10 g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價2元。若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，試問：應如何使用甲、乙兩種原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費用最省？解： 首先，確定目標函數(shù)。設(shè)甲、乙兩種原料分別用10x g和10y g；病人需要使用的費用為： z3x2y；然后，確定目標函數(shù)的可行域（定義域）。病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為：5x+7y35；     同理，對鐵質(zhì)的要求可以表示為：10x+4y40；這樣，問題成為求目標函數(shù)在可行域（有約束條

26、件確定）上的最小值?；蛘哒f，在約束條件下，求目標函數(shù)z=3x+2y的最小值。最后，求目標函數(shù)在可行域上的最小值。做出可行域，如圖。令z0，作直線l0：3x+2y=0。                              由圖形可知，把直線l0平移至點A時, z取最小值.   

27、0;   由      得A()                        即需甲種原料（g），乙種原料3=30（g）時，費用最省。（5）函數(shù)與算法在算法中，最基本和重要的結(jié)構(gòu)之一是循環(huán)結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)是理解算法的一個難點，難在對于循環(huán)變量的理解。循環(huán)結(jié)構(gòu)是通過給循環(huán)變量賦值來實現(xiàn)循環(huán)的

28、，給循環(huán)變量每賦一次值，就執(zhí)行一次循環(huán)。循環(huán)變量使得循環(huán)體得以“循環(huán)”，循環(huán)變量控制了循環(huán)的“開始” 和“結(jié)束”，是刻畫循環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。用函數(shù)來刻畫循環(huán)變量，把循環(huán)變量看作“運算次數(shù)”的函數(shù)。循環(huán)結(jié)構(gòu)中的循環(huán)變量分為兩種形式。一種循環(huán)變量的值可以取“運算次數(shù)”，以此來控制循環(huán)次數(shù)。例如，從1000個數(shù)中選出最大數(shù)的算法，首先，選擇一個數(shù)，然后，任選一個數(shù)與之比較，留下大的數(shù)，這算作一次運算，再進行重復，循環(huán)變量的值可以取“運算次數(shù)”，“運算次數(shù)”達到999次，算法就可以結(jié)束。 另一種循環(huán)變量的值可以取“運算結(jié)果”。是控制結(jié)果精確度的變量，例如用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間0,1上的一個近似解

29、的算法，區(qū)間0,1是有解區(qū)域，每作一次運算，就得到縮小的新有解區(qū)域，循環(huán)變量的值可以取為有解區(qū)域的長度，也可以稱為精確度。那么，在這個算法過程中，循環(huán)變量達到要求的精確度，算法就可以結(jié)束。 循環(huán)變量體現(xiàn)了函數(shù)的思想。因為“循環(huán)”的過程是依賴于循環(huán)變量取值的變化而一步步實現(xiàn)的，這種依賴關(guān)系體現(xiàn)了函數(shù)的思想。在算法設(shè)計中，選擇適當?shù)难h(huán)變量是得到好算法的關(guān)鍵。 總之，在高中課程中，函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、算法、導數(shù)及其應用，包括概率統(tǒng)計中的隨機變量等，以及選修系列3、4中的大部分專題內(nèi)容，都與函數(shù)有著密切的聯(lián)系。用函數(shù)（映射）的思想去理解這些內(nèi)容，是非常重要的一個出發(fā)點。反過

30、來，通過這些內(nèi)容的學習，可以加深對于函數(shù)思想的認識。實際上，在整個高中數(shù)學課程中，都需要不斷地體會、理解“函數(shù)思想”給我們帶來的“好處”。  3.2 幾何主線1幾何的教育功能我們常常聽到這樣的一些詞，空間想象能力，“幾何直觀”能力，把握圖形能力，幾何洞察能力，等等，這些詞都是一些數(shù)學家提出來的，“空間想象能力”是我國著名數(shù)學家華羅庚提出的，“幾何直觀”能力是本世紀最著名的數(shù)學家希爾伯特提出的，他寫了一本重要的著作“直觀幾何”，“把握圖形能力”是著名數(shù)學家、本世紀最有影響的數(shù)學教育家弗賴登塔爾提出的，“幾何洞察能力”是由著名華人數(shù)學家項武義提出的（我們沒有能考證這些詞是否是由

31、他們最早提出的）。這些詞的內(nèi)涵可能有些不同，我們感到這些詞的基本含義是相同的，這些能力不僅對數(shù)學研究是極為重要的、基本的，對于數(shù)學教育、對于數(shù)學課程的設(shè)計同樣是重要的、基本的。培養(yǎng)幾何直觀能力不僅僅是幾何課程的任務(wù)，而且是整個數(shù)學課程的基本任務(wù)。因此，幾何是貫穿于整個高中數(shù)學課程中的主線之一，在其他的數(shù)學內(nèi)容學習中，也要強調(diào)通過直觀，通過圖形來認識相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學本質(zhì)。高中數(shù)學課程中，幾何的作用主要在于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和推理論證能力。這兩種能力對于學生思維的發(fā)展和對數(shù)學本質(zhì)的理解都是非常重要的。在高中數(shù)學課程中，幾何是“圖”“文”并茂的內(nèi)容，它把數(shù)學所特有的邏輯思維和形象思維有機地結(jié)合起來

32、。幾何思想主要體現(xiàn)在幾何直觀能力，即把握圖形的能力。幾何直觀能力主要包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形語言來思考問題的能力。借助幾何這個載體，可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。但僅僅把幾何作為培養(yǎng)形式推理能力載體的認識是片面的。在中學數(shù)學課程中重視幾何內(nèi)容是我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)，也是共識。但是，如何運用幾何思想、把握圖形的能力去學習其它的數(shù)學內(nèi)容，卻沒有引起足夠的重視。在實驗區(qū)聽課時，最令我們感到遺憾的是：教師不太喜歡“畫圖”，講解析幾何時也不畫圖。事實上，幾何學能夠給我們提供一種直觀的形象，通過對圖形的把握，可以發(fā)展空間想象能力，這種能力是非常重要的，無論是數(shù)學本身、數(shù)學學習本身，還是在其他方面，都

33、是一種基本能力。搞藝術(shù)的人就經(jīng)常說，這種空間想象能力與他們藝術(shù)上的想象能力、藝術(shù)創(chuàng)作能力是一種殊途同歸的感覺。英國著名數(shù)學家M.阿蒂亞曾說過，幾何是數(shù)學中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位，而代數(shù)則是數(shù)學中有序思維占主導地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對詞更好，即洞察與嚴格，兩者在真正的數(shù)學研究中起著本質(zhì)的作用。即，幾何是直觀邏輯，代數(shù)是有序邏輯。這表明，幾何學不只是一個數(shù)學分支，而且是一種思維方式，這種思維方式滲透到數(shù)學的所有分支。因此，培養(yǎng)學生的幾何直觀能力、把握圖形的能力應成為高中學習幾何的主要目的。我們知道，邏輯推理是數(shù)學的基本思維形式，在中學階段，幾何是培養(yǎng)學生推理論證能力的重要

34、載體，但是，這里我們要說的是，我們還應該認識到幾何更本質(zhì)的作用，這就是上面我們所說的：應當重視培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形的語言來思考問題的能力等。在高中數(shù)學課程中，我們更加關(guān)注通過對整體圖形的把握去培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力；關(guān)注在空間想象能力培養(yǎng)中人的認識規(guī)律，并概括了人們認識和探索幾何圖形的位置關(guān)系和有關(guān)性質(zhì)的規(guī)律，建議通過“直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算”等學習過程，培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力，這對幾何課程的學習應該是有幫助的。例如，在立體幾何的學習中，建議從對空間幾何體的整體觀察入手，認識整體圖形，再以長方體為載體，直觀認識空間點、線、面的位置關(guān)系，抽象

35、出有關(guān)概念，并用數(shù)學語言表述有關(guān)性質(zhì)與判定。事實上，相關(guān)研究表明，個體的認識是先從對整體的認識開始的。大家知道，在立體幾何的學習中，異面直線和異面直線之間的距離是比較難理解的兩個概念，如果先講平行平面，那么，異面直線就是兩個平行平面中的兩條不平行的直線，而異面直線之間的距離問題，也會因為平行平面間距離的確定性而變得容易理解了。這也體現(xiàn)了整體把握圖形的優(yōu)越性。2中學幾何研究的對象中學幾何主要是研究圖形的位置關(guān)系和度量的。最基本的幾何圖形是點、線、面，由線可圍成平面圖形，由面可圍成幾何體。中學幾何研究的圖形可分為兩類，一類是直邊或直面圖形，例如，直線，由直線圍成的三角形，由平面圍成的四面體、長方體

36、等；另一類是曲邊或曲面圖形，例如，圓，球等。在中學幾何中，基本幾何圖形點、線、面之間的位置關(guān)系主要有平行、垂直、包含（如點在直線上，線在平面內(nèi)，線與線、面與面重合等），由基本圖形圍成的平面圖形之間的關(guān)系主要有全等、相似、位似等。圖形的度量主要有夾角、長度、面積、體積等。 3幾何研究圖形的方法中學幾何研究圖形的方法主要有：綜合幾何的方法，解析法，向量幾何的方法，函數(shù)的方法等。綜合幾何的方法是利用幾何的方法研究圖形的性質(zhì)，即用已知的基本圖形的性質(zhì)去研究組合圖形的性質(zhì)。這種方法的基本特點就是把復雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形，把空間的圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。例如，把兩條線段相等問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形全

37、等關(guān)系或一個三角形內(nèi)兩邊的相等關(guān)系，空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)化為平面上兩直線的垂直（如，三垂線定理），利用三視圖研究空間幾何體等。在綜合幾何方法中，平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等是研究綜圖形性質(zhì)的基本方法。解析幾何的方法是利用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)。用解析幾何方法研究圖形，首先要建立坐標系，建立起“點”與“數(shù)對”之間的一一對應關(guān)系。然后是建立幾何圖形與方程之間的聯(lián)系。再通過用代數(shù)的方法研究方程來實現(xiàn)研究幾何圖形性質(zhì)的目的。值得注意的是，同一個幾何圖形，由于建立坐標系時坐標原點的選擇不同，在不同坐標系下方程的代數(shù)表現(xiàn)形式是不同的，用解析幾何方法研究圖形時，常常需要通過代數(shù)的方法把表示幾何圖形的方程化成標

38、準形式。解析幾何方法很好地體現(xiàn)了數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合的思想：可以用代數(shù)的方法討論幾何的問題，也可以用幾何圖形表示代數(shù)的性質(zhì)。向量幾何的方法就是用向量及其運算來研究幾何圖形的位置關(guān)系和度量問題。用向量及其運算可以表示幾何圖形，例如，用向量表示點，用兩個不共線向量的線性組合表示平面，用向量的數(shù)量積表示由一個點和一個法向量確定的平面等。用向量的運算可以研究幾何圖形的位置關(guān)系和度量。例如，利用向量的數(shù)乘運算、數(shù)量積運算可以刻畫線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系，利用向量的數(shù)量積運算可以度量角度、長度、面積、體積等。用向量法研究幾何圖形有時比解析幾何方法中的坐標法更具有優(yōu)越性。這是因為，向量是自由向量，不需要

39、選擇原點，這就使得向量方法更加靈活、方便。例如，求兩條異面直線的距離，用向量方法就比較簡單。只要求出這兩條異面直線的公垂線的方向向量，再在這兩條直線上分別任意取一個點，由這兩個點確定的向量在公垂線的方向向量上的投影的長度就是兩異面直線間的距離。函數(shù)的方法就是利用函數(shù)的性質(zhì)，比如，單調(diào)性，來研究圖形的性質(zhì)。也就是說，用函數(shù)來表示幾何圖形，再利用函數(shù)的性質(zhì)來研究幾何圖形的性質(zhì)。這種方法與解析幾何方法是一致的。4幾何內(nèi)容的設(shè)計幾何課程的設(shè)計分為兩部分。一部分是將“把握圖形”的能力作為指導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終。另一部分是設(shè)計了相應的幾何內(nèi)容?！鞍盐請D形”的能力，幾何直觀能力，幾何（圖形）洞察

40、力，空間想象力等等，這些說法在很大程度上具有同樣的含義?！鞍盐請D形”的能力或幾何直觀能力是利用圖形生動形象地描述數(shù)學問題，直觀地反映和揭示思考、討論問題的思路，揭示豐富多彩的數(shù)學思想。幾何直觀在幾何課程本身的學習中發(fā)揮著不可替代的作用，并且貫穿在整個數(shù)學學習中，在數(shù)學的研究中起巨大的威力也是不可替代的。將“把握圖形”的能力、幾何直觀能力作為指導思想，貫穿在整個高中數(shù)學課程的始終，是設(shè)計幾何課程的基本思想。例如，在函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的學習中，強調(diào)函數(shù)圖形的作用是貫穿始終的，要求把對函數(shù)思想的認識、函數(shù)性質(zhì)的理解、函數(shù)的應用與函數(shù)圖形的掌握有機地聯(lián)系起來。又如，討論統(tǒng)計問題時，描述和表示數(shù)據(jù)是反映統(tǒng)計規(guī)

41、律的重要手段，圖形和圖表是直觀、生動呈現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律的基本方式。在高中數(shù)學課程中，介紹了直方圖、扇形土、莖葉圖，等等。實際上，并不限于這些圖形，我們還可以選擇其它的圖形，選擇的原則就是根據(jù)具體問題，直觀地反映統(tǒng)計數(shù)據(jù)的規(guī)律，一目了然。在討論線性規(guī)劃問題時，有兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，一個是對可行域（目標函數(shù)的定義域）的理解，另一個是認識目標函數(shù)的變化趨勢。平面區(qū)域圖形非常清晰地表達了可行域（目標函數(shù)的定義域）的特征，等高線直觀地給出了目標函數(shù)的變化趨勢。 框圖（包括算法框圖）雖然不是幾何研究的對象，但是，它利用最簡單的圖形直觀地反映了完成一項工作的邏輯關(guān)系和順序，這正是幾何給我們的一種幫助。我們可以舉出很多這

42、樣的實例，它們屬于其它的數(shù)學領(lǐng)域，但是在研究的過程中，“幾何思想”發(fā)揮了重要作用。實際上，越抽象的數(shù)學，越需要直觀圖形的支持。在高層次的思考中，“抽象思維”和“形象思維”是密不可分的，“形象思維”在數(shù)學上的體現(xiàn)就是“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學素質(zhì)。培養(yǎng)“把握圖形”能力、幾何直觀能力是數(shù)學課程的基本目標之一。高中數(shù)學課程中的幾何內(nèi)容是分層設(shè)計的，大體上包括三大部分：一部分在必修課程中，一部分在選修1、2課程中，一部分在選修3、4的課程中。必修課程的幾何內(nèi)容由三塊內(nèi)容組成：立體幾何初步，解析幾何初步，平面向量。立體幾何初步，解析幾何初步安排在必修課程數(shù)學2中，

43、平面向量安排在必修課程數(shù)學4中；選修1、2課程的幾何內(nèi)容也由三塊內(nèi)容組成，圓錐曲線與方程，空間向量與立體幾何。圓錐曲線與方程分別安排在選修1-1和選修2-1中，空間向量與立體幾何安排在選修2-1中；在選修3、4課程中，也設(shè)置了幾何的專題內(nèi)容?！傲Ⅲw幾何初步”主要是通過直觀圖、三視圖，認識空間的基本幾何圖形：柱、錐、球、臺等，并以長方體為載體，認識點、線、面的基本關(guān)系和基本性質(zhì)，其重點是定性地理解圖形的性質(zhì)、位置關(guān)系，幫助學生建立起空間想象能力、幾何直觀能力。一些嚴格的論證和定量的分析圖形放在選修2中。以長方體為載體認識點線面的位置關(guān)系，有助于幫助學生通過具體的模型過渡到抽象定義，從自然語言過渡

44、到數(shù)學語言，逐步習慣用圖形的語言進行表達和思考。多角度地認識圖形，從整體到局部，從局部到整體，從外到里，從里到外，特別是從整體到局部，長方體是非常好的載體。不嚴格地說，高中立體幾何的內(nèi)容都可以體現(xiàn)在長方體中?！敖馕鰩缀纬醪健钡闹攸c是幫助學生理解解析幾何的基本思想數(shù)形結(jié)合的思想?！白鴺讼怠笔墙馕鰩缀位舅枷氲闹饕M成部分?！爸苯亲鴺讼怠笔窃跀?shù)軸的基礎(chǔ)上形成的概念，它可以幫助我們用“數(shù)對”表示平面上的點，建立起“點”與“數(shù)對”之間的一一對應關(guān)系，形成一座代數(shù)與幾何之間的橋梁。解析幾何的另一個主要思想是建立方程與曲線之間的聯(lián)系。在解析幾何初步中，主要是以直線與圓為載體，幫助學生理解：在直角坐標系中，

45、每一條直線可以用形如ax+by=c的方程（或其他形式的方程）表示，滿足方程ax+by=c的解組成的圖像是一條直線，對于圓也有同樣的性質(zhì)。這些內(nèi)容可以幫助學生初步形成如下的觀念：可以用“方程”表示“曲線”，反之，“曲線”是“方程”的圖像。在此基礎(chǔ)上，可以用代數(shù)的方法討論幾何的問題，反之，代數(shù)的性質(zhì)可以用幾何圖形表示，在思考解析幾何問題時，這是相輔相成、不可偏廢的兩個方面。在選修1、2中，都延續(xù)了解析幾何的內(nèi)容，設(shè)計了“圓錐曲線與方程”。圓錐曲線一直是中學課程一個重要內(nèi)容，有兩個重要的物理背景支持著圓錐曲線的地位。一個背景是，在我們生活的宇宙中，許多物體的運動軌跡可以用圓錐曲線、近似的用圓錐曲線表

46、示；另一個背景是光學，大部分光學儀器都是利用圓錐曲線（面）的性質(zhì)制作的。這些都是圓錐曲線成為中學數(shù)學中基礎(chǔ)知識的理由。在數(shù)學上，研究圓錐曲線有兩種方法，綜合幾何的方法和解析幾何的方法。高中數(shù)學課程選修1、2中選擇解析幾何的方法。在選修4的“幾何證明選講”中，運用了綜合幾何的方法。圓錐曲線（圓錐曲面）又稱作二次曲線（圓錐曲面），它是體現(xiàn)解析幾何本質(zhì)的最好載體。二次曲線的代數(shù)表示是二元二次方程，如何利用方程的系數(shù)確定曲線的形狀，揭示這個規(guī)律成為數(shù)學的經(jīng)典內(nèi)容。在大學數(shù)學系的課程中，以這個內(nèi)容（圓錐曲面）為核心的解析幾何是最基礎(chǔ)的課程。高中數(shù)學課程中的圓錐曲線部分主要介紹了三類圓錐曲線的標準方程，強

47、調(diào)從幾何性質(zhì)到建立方程的過程。例如，從幾何來說，橢圓是到兩個定點距離之和為定長的點的集合，從直角坐標系的選擇，到橢圓標準方程的建立；從對標準方程的分析，到得出橢圓一系列的幾何性質(zhì)等，較全面地展示了解析幾何研究問題的過程。在高中階段，對圓錐曲線的討論是初步的，主要目的是進一步理解解析幾何的思想。向量是幾何的一個基本內(nèi)容，它既可以看作是代數(shù)的內(nèi)容，也可以看作幾何的內(nèi)容。需要說明的是，很多內(nèi)容究竟是屬于代數(shù)還是屬于幾何，僅僅是看我們強調(diào)的方面。向量是幾何對象，這一點常常容易被忽視。向量可以用來表示空間中的點、線、面。如果以坐標系的原點為起點，向量就與空間中的點建立了一一對應關(guān)系；一點和一個非零向量可

48、以唯一確定一條直線，它通過這個點且與給定向量平行；同樣，一個點和一個非零向量，可以唯一確定一個平面，它過這個點且與給定向量垂直。在高維空間中，這種表示十分有用，用向量還可以表示曲線，曲面。因此，向量可以描述、刻畫和替代幾何中的基本研究對象點、線、面，從這方面來看，它是幾何研究的對象。“向量是幾何研究對象”，這一認識很重要。在立體幾何中，可用向量來討論空間中點、線、面之間的位置關(guān)系；判斷線線、線面、面面的平行與垂直，通過向量的運算來度量幾何體：計算長度、角度、面積等。因此，向量是連接幾何和代數(shù)的一座天然“橋梁”，它進一步地體現(xiàn)了解析幾何的思想，是體會數(shù)形結(jié)合思想的重要載體，在以后的學習中，這座“

49、橋”會發(fā)揮出更大的作用。有人認為，中學數(shù)學中引入向量，用向量來處理幾何問題，是因為用向量比用綜合法簡單、容易。這種看法是不全面的。雖然有許多問題，用向量處理確實比用綜合法簡單，但也可以找到用綜合法處理比用向量法更簡單的問題。向量之所以被引入到中學，這是因為向量在數(shù)學中占有重要的地位。向量作為一個既有方向又有大小的量，在數(shù)學中是一個最基本的概念，而且，它有著豐富的物理背景，在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展中起著不可替代的作用，二維向量與其運算構(gòu)成了非常重要的“線性空間”的模型。是代數(shù)、幾何、泛函分析等基礎(chǔ)學科研究的基本內(nèi)容。在選修2中，設(shè)計了空間向量與立體幾何的內(nèi)容。希望在“理工和經(jīng)濟”方面發(fā)展的學生需要學習這

50、部分內(nèi)容。這部分內(nèi)容的定位是“定量地”思考立體幾何問題?！岸俊卑瑑蓚€含義。一方面，嚴格地討論基本圖形的位置關(guān)系，即反映點與點、直線與直線、直線與平面、平面與平面等的位置關(guān)系；另一方面，從距離、角度去定量地討論基本圖形的關(guān)系。我們知道，討論立體幾何問題有兩種基本思路。一個是綜合法，一個是向量法。在這里強調(diào)使用向量的方法，是因為這種方法將來應用的面更廣一些。這是高中數(shù)學課程的一個變化。綜合幾何的方法也是很重要的，在 “幾何證明選講” 專題中，能更好地體現(xiàn)綜合幾何方法的意義。在選修1、2的幾何內(nèi)容中，突出了利用解析幾何的思想討論幾何問題。這樣，在高中階段，學生就初步地了解了討論幾何問題的兩種方法

51、：綜合法和解析法。選修3課程有兩個專題與幾何有直接的關(guān)系，它們是“球面幾何”與“歐拉公式與閉曲面分類”。選修4中，與幾何有直接關(guān)系的有以下專題：“幾何證明選講”，“坐標系與參數(shù)方程”，“矩陣與變換”，“統(tǒng)籌與圖論初步”等。在其它一些專題中，例如，在“對稱與群”中，對稱性主要是通過圖形展示的。正如前面反復強調(diào)的，幾何直觀，空間想象，把握圖形，運用圖形語言等等，都是貫穿在整個數(shù)學課程中的基本思想。 3.3 運算主線對數(shù)學最樸實的理解是：數(shù)學就是“算”，即“運算”?！斑\算”包括兩方面，一個是“運算的對象”，一個是“運算的規(guī)律”?！皵?shù)”、“字母”（代數(shù)式）、“指數(shù)”、“對數(shù)”、“三角函數(shù)”、

52、“向量”等等都是運算對象?！敖Y(jié)合律”、“a+(-a)=0”（即加一項，減一項）、“交換律”、各種“分配律”等等都是運算規(guī)律。“運算”幾乎滲透到數(shù)學的每一個角落，運算是貫穿數(shù)學的基本脈絡(luò)，是貫穿數(shù)學課程的主線，在高中數(shù)學課程中，發(fā)揮著不可替代的作用。1對運算的認識運算是數(shù)學學習的一個基本內(nèi)容。運算對象的不斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索。從小學開始，學生所接觸的運算對象在不斷地擴展，從整數(shù)到分數(shù)，從正數(shù)到負數(shù)，從有理數(shù)到實數(shù)、復數(shù)，從數(shù)到字母、到多項式等。數(shù)的運算，字母、多項式運算，向量運算，函數(shù)、映射、變換運算，矩陣運算等，都是數(shù)學中的基本運算。從數(shù)的運算到字母運算，是運算的一次跳躍。數(shù)的運算可

53、以用來刻畫具體問題中的數(shù)量關(guān)系，解決一個一個有關(guān)數(shù)量關(guān)系的具體問題。而字母運算則可以刻畫蘊涵規(guī)律的一類問題，解決一類問題。例如，a+(b+c)=(a+b)=c,就刻畫了數(shù)運算的一個基本規(guī)律結(jié)合律。同時，字母運算也是表達函數(shù)關(guān)系、刻畫普遍規(guī)律的工具。從數(shù)運算進入字母運算，是學生數(shù)學學習中的一次質(zhì)變，學生對運算的理解也會產(chǎn)生一個跳躍。從數(shù)的運算，到向量運算，是認識運算的又一次跳躍。運算是一類映射，在代數(shù)中，最常見的運算這樣的映射：A×AA，它是二元映射，實數(shù)的加法和乘法運算就是二元映射，但是，并不是二元映射都是運算，實際上，大部分二元映射不是運算，只有滿足運算規(guī)律的二元映射才可以成為運算

54、，即代數(shù)運算。數(shù)的運算、多項式運算都是A×AA型的代數(shù)運算，例如，就加法運算來說，它們滿足結(jié)合律、由0元、a+(-a)=0，還滿足分配律。在初中階段，所有的代數(shù)內(nèi)容都離不開運算，例如，代數(shù)基本公式，因式分解，方程，不等式，函數(shù)，等等。向量是可以“算”的，向量的加法、減法運算的特征是兩個向量通過加法、減法運算得到第三個向量，也滿足結(jié)合律、由0元、a+(-a)=0，同時滿足分配律，所以，向量的加法、減法運算是屬于A×AA型的代數(shù)運算；向量的數(shù)乘運算的特征是一個數(shù)與一個向量通過數(shù)乘運算得到一個向量，它滿足一系列運算規(guī)則，例如，結(jié)合律：（ab）= a(b)，分配律：a(+)，等等。

55、所以，數(shù)與向量的數(shù)乘夜是一種運算，是屬于A×BB型的代數(shù)運算；向量的數(shù)量積的特征是兩個向量通過數(shù)量積運算得到一個數(shù)，同樣，它也滿足一系列運算規(guī)律，例如，分配律： (+)=+，等等，所以向量的數(shù)量積也是一種運算，即屬于A×AB型的代數(shù)運算。向量運算不同于數(shù)的運算，它涵蓋了三種類型的代數(shù)運算。與數(shù)的運算相比，向量運算擴充了運算的對象。向量運算更加清晰地展現(xiàn)了三種類型的代數(shù)運算的特征以及代數(shù)運算的功能，同時，向量運算具有與數(shù)運算不同的一些運算律，這對于學生進一步理解其它數(shù)學運算、發(fā)展學生的運算能力具有基礎(chǔ)作用。因此，從數(shù)的運算到向量運算，是學生數(shù)學學習中的又一次質(zhì)變，學生對運算的

56、理解也會更上一層樓。指數(shù)運算、對數(shù)運算、三角運算、導函數(shù)運算等，從形式上看，它們都是AA型的映射，但是，它們滿足一些運算規(guī)律，例如，指數(shù)滿足：等規(guī)律。通常把具有運算規(guī)律的映射稱為“算子”，也有稱之為一元運算。例如，求函數(shù)的導函數(shù)也是一種運算，它滿足兩個函數(shù)和的導函數(shù)等于先求導再求和，這是運算的規(guī)律，當然，它還滿足其他的規(guī)律。這是對運算的認識是又一次飛躍。在以后的學習中，運算對象還要進一步拓展。上述種種運算的學習，為學生今后進一步學習其它數(shù)學運算，體會數(shù)學運算的意義以及運算在建構(gòu)數(shù)學系統(tǒng)中的作用，奠定了基礎(chǔ)。運算是貫穿于整個數(shù)學課程的主線之一。用這種思想認識高中的數(shù)學對提高數(shù)學素養(yǎng)，提高解決問題

57、的能力是非常有用的。義務(wù)教育階段數(shù)學課程中的運算主要是數(shù)的運算和代數(shù)式的運算，高中階段的運算除了數(shù)的運算和代數(shù)式的運算外，還有向量運算，指數(shù)運算、導函數(shù)運算等函數(shù)運算以及矩陣運算等。2運算的作用（1）運算與推理運算本身是代數(shù)研究的重要內(nèi)容，項武義教授認為代數(shù)問題就是運用運算和運算法則解決的問題，這樣概括是有道理的。在某種意義說，在中學階段，解方程問題，解不等式問題，一些函數(shù)性質(zhì)的研究，等等，都是代數(shù)問題。代數(shù)問題的基本特點是不僅要證明在什么條件下“解”存在，而且，要把“解”具體地構(gòu)造出來，這是一種構(gòu)造性的證明，運算和運算律是構(gòu)成代數(shù)推理的基本要素。例如，討論二元一次方程組時，不僅要證明在什么條

58、件下二元一次方程組無解、有解，而且，還會把“解”具體地構(gòu)造出來；又如，利用向量證明問題時，可以把要證明的問題結(jié)果“算”出來。在運算過程中，每一步運算所依據(jù)是運算規(guī)律，運算規(guī)律的作用類似于幾何證明中的公理，它是代數(shù)推理的前提和基本依據(jù)。運算過程本身就是代數(shù)推理的過程。因此，運算與推理有著密切的聯(lián)系，可以說，運算也是一種推理，運算可以“證明問題”，這是高中數(shù)學學習需要“留給學生”的最重要的思想，因此，運算的學習對于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力同樣具有重要作用。（2）運算與算法在一定意義下，算法是通過計算機解決問題的，算法由計算機實現(xiàn)，構(gòu)成算法的基本要素是運算。計算機能完成的運算主要包括：算術(shù)運算（、&#

59、215;、÷），邏輯運算（與、或、非等），關(guān)系運算（、等），函數(shù)運算，等等。因此，運算是算法的基本要素，算法的設(shè)計要以運算和運算律為依據(jù)。使用各種運算和運算規(guī)律對于理解算法、選擇算法、優(yōu)化算法具有重要作用。算法與證明的關(guān)系，我們參考算法的論述。（3）運算與恒等變形在解決數(shù)學問題的過程中，需要進行有各種各樣的恒等變形，把復雜問題變成簡單問題，例如，在解決一元二次方程時，我們通過配方方法，實現(xiàn)了降冪的目的，把一元二次方程變成一元一次方程，配方就是通過恒等變形完成的，這些恒等變形是通過反復利用運算規(guī)律實現(xiàn)的。又如，在三角函數(shù)等內(nèi)容的學習中，無論是證明，還是求解，都是在運用各種三角函數(shù)基本運算法則進行恒等變形，通過恒等變形把我們不會解的問題變成我們會解的問題。因此，運算和運算法則的學習，對于理解恒等變形的原理，提高恒等變形的能力是非常重要的。3運算內(nèi)容的設(shè)計在高中數(shù)學課程中，主要有幾部分內(nèi)容集中的介紹了運算：指數(shù)運算；對數(shù)運算；三角函數(shù)運算；向量運算，包括平面向量和空間向量；復數(shù)運算；導數(shù)運算；等等。 高中數(shù)學課程在必修數(shù)學4和選修2-1中安排了平面向量與空間向量的內(nèi)容；在選修1-2和選修2-2中安排了數(shù)系擴充與復數(shù)引入的內(nèi)容；在必修課程的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)中也安排了有關(guān)的運算，在選修1、2課程的導數(shù)及其應用中還有安排了導函數(shù)運算的內(nèi)容。向量進入中學，這是中學課程的