線段垂直平分線的性質(zhì)

1、猜測猜測1 1：線段線段垂直平分線垂直平分線上的上的點(diǎn)點(diǎn)到這條線段到這條線段兩個(gè)兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的的距離相等距離相等。已知：如圖，直線已知：如圖，直線MN線段線段AB,垂足為垂足為C, 且且AC=CB.求證：求證：PA=PBABPMNC證明：證明：MNAB 于點(diǎn)于點(diǎn)C （已知）（已知）, PCA= PCB=90（垂直的定義）（垂直的定義） 在在 PAC和和PBC中，中， AC=BC（已知）（已知）, PCA= PCB（已證）（已證）, PC=PC（公共邊）（公共邊） PAC PBC（SAS）. PA=PB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.定理：線段定理：線段垂直平分線垂直平分線

2、上的上的點(diǎn)點(diǎn)到這條線段兩個(gè)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的的距離相等距離相等。ABPMNPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線在線段段AB的垂的垂直平分線直平分線上上線段垂直平分線線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等離相等ABPMN點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上（已知）的垂直平分線上（已知）PA=PB（線段（線段垂直平分線垂直平分線上的上的點(diǎn)點(diǎn)和這條線段和這條線段兩個(gè)兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的的距離相等距離相等。 ）猜測：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)猜測：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等距離相等的點(diǎn)，的點(diǎn)，在這條線段的在這條線段的垂直平分線垂直平分線上。上。已知：如圖，已知：如圖，PA=PB求證：求證

3、：P在在AB的垂直平分線上的垂直平分線上證明：過證明：過P點(diǎn)作點(diǎn)作MNAB，垂足為，垂足為ABPMN定理：線段定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離距離相等相等。PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線在線段段AB的垂的垂直平分線直平分線上上逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等距離相等的點(diǎn)，在這條線段的點(diǎn)，在這條線段的的垂直平分線上垂直平分線上。點(diǎn)點(diǎn)P在線在線段段AB的垂的垂直平分線直平分線上上PA=PB PA=PB（已知）（已知）點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等距離相等的點(diǎn)，在

4、這條線段的點(diǎn)，在這條線段的的垂直平分線上垂直平分線上）ABPMN例例已知：如圖，已知：如圖，AB=AC=8cm ,DE是是AB邊的中垂線邊的中垂線交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E，BC=6cm，求，求BEC的周長的周長EDBCA證明：證明： DE是是AB邊的中垂線邊的中垂線 （已知），（已知），AE=BE（線段（線段垂直平分線垂直平分線上的點(diǎn)上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等距離相等）AE+EC=BE+EC=8cm （等式性質(zhì)）（等式性質(zhì)）.AC=8cm（已知）（已知）, CBEC=BE+EC+BC =8+6=14cm又又 BC=6cm（已知）（已知）有垂直平分有垂直平分線，就有等線，就有等腰三角形的腰三角形的產(chǎn)生產(chǎn)生例例 已知已知:如圖如圖,ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：求證：（）（）PA=PB=PC; （）點(diǎn)（）點(diǎn)P在邊在邊AC的垂直平分線上的垂直平分線上BACDEFGPPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段BCBC的的垂直平分線上垂直平分線上PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ABAB的垂的垂直平分線直平分線上分析：分析：定理：線段定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的的距離相等距離相等。逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)逆定理：到一條線段