高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)案

1、1.1 空間向量及其運(yùn)算1.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1. 理解空間向量的概念( 難點(diǎn) ) 2. 掌握空間向量的線性運(yùn)算( 重點(diǎn) ) 3. 掌握共線向量定理、共面向量定理及推論的應(yīng)用 ( 重點(diǎn)、難點(diǎn) ) 1. 通過空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng). 2. 借助向量的線性運(yùn)算、共線向量及共面向量的學(xué)習(xí)， 提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng) . 國慶期間，某游客從上海世博園(o) 游覽結(jié)束后乘車到外灘(a) 觀賞黃浦江，然后抵達(dá)東方明珠 (b) 游玩，如圖1，游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來表示這個過程？圖 1 圖 2 如果游客還要登上

2、東方明珠頂端(d)俯瞰上海美麗的夜景，如圖2，那么他實(shí)際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢？1空間向量(1) 定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量(2) 長度或模：空間向量的大小(3) 表示方法：幾何表示法：空間向量用有向線段表示；字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量a的起點(diǎn)是a，終點(diǎn)是b，也可記作：ab，其模記為 |a| 或|ab|. 2幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00 單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：a ab的相反向量：ba相等向量相同相等ab3. 空間向量的線性運(yùn)算(1) 向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法oboaocab減法caoaocab加法運(yùn)算律

3、交換律：abba結(jié)合律： (ab) ca(bc) (2) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義：實(shí)數(shù) 與空間向量a的乘積 a仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng) 0 時，a與向量a方向相同；當(dāng) 0 時，a與向量a方向相反；當(dāng) 0 時，a0；a的長度是a的長度的 | | 倍運(yùn)算律a結(jié)合律：(a) ( a) ( )a. b分配律： ( )aaa，(ab) ab. 思考：向量運(yùn)算的結(jié)果與向量起點(diǎn)的選擇有關(guān)系嗎？ 提示 沒有關(guān)系4. 共線向量(1) 定義： 表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量(2) 方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的

4、方向向量規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有 0a. (3) 共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b0) ，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)使ab. (4) 如圖，o是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點(diǎn)p，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)，使得opa. 5共面向量(1) 定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量(2) 共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y) ，使px ay b. (3) 空間一點(diǎn)p位于平面abc內(nèi)的充要條件： 存在有序?qū)崝?shù)對(x，y), 使apxabyac或?qū)?/p>

5、間任意一點(diǎn)o，有opoaxabyac. 思考： (1) 空間中任意兩個向量一定是共面向量嗎？(2) 若空間任意一點(diǎn)o和不共線的三點(diǎn)a，b，c，滿足op13oa13ob13oc，則點(diǎn)p與點(diǎn)a，b，c是否共面？ 提示 (1) 空間中任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一個平面的兩個向量，因此一定是共面向量(2) 由op13oa13ob13oc得opoa13(oboa) 13(ocoa) 即ap13ab13ac，因此點(diǎn)p與點(diǎn)a，b，c共面1思考辨析 ( 正確的打“”，錯誤的打“”)(1) 空間向量a，b，c，若ab，bc，則ac( ) (2) 相等向量一定是共線向量( ) (3) 三個空間向

6、量一定是共面向量( ) (4) 零向量沒有方向( ) 提示 (1) 若b0 時，a與c不一定平行(2) 相等向量一定共線，但共線不一定相等(3) 空間兩個向量一定是共面向量，但三個空間向量可能是共面的，也可以是不共面的(4) 零向量有方向，它的方向是任意的2 如圖所示， 在四棱柱abcd-a1b1c1d1所有的棱中， 可作為直線a1b1的方向向量的有( ) a1 個b2 個 c 3 個 d 4 個d 共四條ab，a1b1，cd，c1d1. 3點(diǎn)c在線段ab上，且 |ab| 5，|bc| 3，abbc，則 _. 53 因?yàn)閏在線段ab上，所以ab與bc方向相反， 又因 |ab| 5， |bc|

7、3，故 53. 4在三棱錐a-bcd中，若bcd是正三角形，e為其中心，則ab12bc32dead化簡的結(jié)果為 _0 延長de交邊bc于點(diǎn)f，連接af，則有ab12bcaf，32deadaddfaf，故ab12bc32dead0. 空間向量的有關(guān)概念【例 1】(1) 給出下列命題：若 |a| |b| ，則ab或ab；若向量a是向量b的相反向量，則|a| |b| ；在正方體abcd-a1b1c1d1中，aca1c1；若空間向量m，n，p滿足mn，np，則mp. 其中正確命題的序號是_(2) 如圖所示，在平行六面體abcd-abcd中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量aa相等的向量有 _；與向量ab相反的

8、向量有_( 要求寫出所有適合條件的向量) (1) (2)bb，cc，ddba，ba，cd，cd(1) 對于，向量a與b的方向不一定相同或相反，故錯；對于，根據(jù)相反向量的定義知|a| |b| ，故正確；對于，根據(jù)相等向量的定義知，aca1c1，故正確；對于，根據(jù)相等向量的定義知正確(2) 根據(jù)相等向量的定義知，與向量aa相等的向量有bb，cc，dd. 與向量ab相反的向量有ba，ba，cd，cd. 解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)(1) 關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向(2) 注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說

9、明了共線向量不具備傳遞性單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1. 兩個向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同 . 若兩個向量模相等, 方向相反 , 則它們?yōu)橄喾聪蛄? 跟進(jìn)訓(xùn)練 1下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個數(shù)是( ) 長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；平行且模相等的兩個向量是相等向量；若ab，則 |a| |b| ；兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同a0 b1 c2 d3 b 根據(jù)向量的定義，知長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量，正確；平行且模相等的兩個向量可能是相等向量，也可能是相反向量，不正確；當(dāng)ab時，也有 |a|b

10、| ，不正確；只要模相等、方向相同，兩個向量就是相等向量，與向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)無關(guān)，不正確綜上可知只有正確，故選b. 空間向量的線性運(yùn)算【例 2】(1) 如圖所示，在正方體abcd-a1b1c1d1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量ac1的有( ) (abbc) cc1；(aa1a1d1) d1c1；(abbb1) b1c1；(aa1a1b1) b1c1. a1 個 b 2 個 c 3 個 d 4 個(2) 已知正四棱錐p-abcd，o是正方形abcd的中心，q是cd的中點(diǎn)， 求下列各式中x，y，z的值oqpqypczpa；paxpoypqpd. 思路探究 (1) 合理根據(jù)向量的三角形和平行四邊形法則

11、，以及在平行六面體中，體對角線向量等于從同一起點(diǎn)出發(fā)的三條棱向量的和如ac1abadaa1. (2) 根據(jù)數(shù)乘向量及三角形或平行四邊形法則求解(1) d對于， (abbc) cc1accc1ac1；對于， (aa1a1d1)d1c1ad1d1c1ac1；對于， (abbb1) b1c1ab1b1c1ac1；對于， (aa1a1b1)b1c1ab1b1c1ac1. (2) 解如圖，oqpqpopq12(papc) pq12pc12pa，yz12. o為ac的中點(diǎn)，q為cd的中點(diǎn)，papc2po，pcpd 2pq，pa2popc，pc2pqpd，pa2po2pqpd，x2，y 2. 1空間向量加法

12、、減法運(yùn)算的兩個技巧(1) 巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接(2) 巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果2利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1) 數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量(2) 明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì) 跟進(jìn)訓(xùn)練 2已知空間四邊形abcd，連接ac，bd，設(shè)m，g分別是bc，cd的中點(diǎn)，則mgabad等于( ) a32dbb3m

13、g c 3gm d 2mgbmgabadmg(abad) mgdbmgbdmg2mg3mg. 共線問題【例 3】(1) 設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知abe1ke2，bc5e14e2，dce12e2，且a，b，d三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k_. (2) 如圖所示，已知四邊形abcd，abef都是平行四邊形且不共面，m，n分別是ac，bf的中點(diǎn)，判斷ce與mn是否共線 思路探究 (1) 根據(jù)向量共線的充要條件求解(2) 根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，把mn表示成ce的形式，再根據(jù)向量共線的充要條件求解(1)1adabbccd (e1ke2) (5e1 4e2) (e12e2) 7e1(k6)e2. 設(shè)

14、adab，則 7e1(k 6)e2(e1ke2) ，所以7kk6，解得k1. (2) 解法一：因?yàn)閙，n分別是ac，bf的中點(diǎn)，且四邊形abcd，四邊形abef都是平行四邊形，所以mnmaaffn12caaf12fb. 又因?yàn)閙nmcceebbn12caceaf12fb，以上兩式相加得ce2mn，所以cemn，即ce與mn共線法二：因?yàn)樗倪呅蝍bef為平行四邊形，所以連接ae時，ae必過點(diǎn)n. ceaeac2an2am 2(anam) 2mn. 所以cemn，即ce與mn共線證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對于空間三點(diǎn)p，a，b可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線(1) 存在實(shí)數(shù)，使papb成立(2)

15、對空間任一點(diǎn)o，有opoatab(tr) (3) 對空間任一點(diǎn)o，有opxoayob(xy1) 跟進(jìn)訓(xùn)練 3. 如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，e在a1d1上，且a1e2ed1，f在對角線a1c上，且a1f23fc. 求證：e，f，b三點(diǎn)共線 證明 設(shè)aba，adb，aa1c，因?yàn)閍1e2ed1，a1f23fc，所以a1e23a1d1，a1f25a1c，所以a1e23ad23b，a1f25(acaa1) 25(abadaa1) 25a25b25c，所以efa1fa1e25a415b25c25a23bc. 又ebea1a1aab23bcaa23bc，所以ef25eb，所以e，f，b三

16、點(diǎn)共線 . 向量共面問題 探究問題 1什么樣的向量算是共面向量？ 提示 能夠平移到同一個平面內(nèi)的向量稱為共面向量2能說明p，a，b，c四點(diǎn)共面的結(jié)論有哪些？ 提示 (1) 存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得apxabyac. (2) 空間一點(diǎn)p在平面abc內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z) 使得opxoayobzoc( 其中xyz1) (3) 四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的方向向量與另外兩點(diǎn)的方向向量共線，如pabc. 3已知向量a，b，c不共面，且p3a2bc，mabc，nabc，試判斷p，m，n是否共面 提示 設(shè)pxmyn，即 3a2bcx(abc) y(abc) (xy)a( xy)b(xy)c.

17、 因?yàn)閍，b，c不共面，所以xy3，xy2，xy1，而此方程組無解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面【例 4】已知a，b，c三點(diǎn)不共線，o為平面abc外一點(diǎn)，若點(diǎn)m滿足om13oa13ob13oc. (1) 判斷ma，mb，mc三個向量是否共面；(2) 判斷m是否在平面abc內(nèi) 思路探究 (1) 根據(jù)向量共面的充要條件，即判斷是否maxmbymc；(2) 根據(jù) (1) 的結(jié)論，也可以利用omxoayobzoc中xyz是否等于1. 解(1) oaoboc 3om，oaom(omob) (omoc) ，mabmcmmbmc，向量ma，mb，mc共面(2) 由(1) 知向量ma，mb，mc

18、共面，而它們有共同的起點(diǎn)m，且a，b，c三點(diǎn)不共線，m，a，b，c共面，即m在平面abc內(nèi)1 變條件 若把本例中條件“om13oa13ob13oc”改為“oa 2ob6op3oc”，點(diǎn)p是否與點(diǎn)a、b、c共面 解3op3ocoa2ob3op(oaop) (2ob2op) ，3cppa2pb，即pa 2pb3pc. 根據(jù)共面向量定理的推論知：點(diǎn)p與點(diǎn)a，b，c共面2 變條件 若把本例條件變成“opoc 4oaob”，點(diǎn)p是否與點(diǎn)a、b、c共面 解設(shè)opoaxabyac(x，yr)，則oaxabyacoc4oaob，oax(oboa) y(ocoa) oc4oaob，(1xy4)oa(1 x)ob

19、(1 y)oc0，由題意知oa，ob，oc均為非零向量，所以x，y滿足：1xy40，1x0，1y0，顯然此方程組無解，故點(diǎn)p與點(diǎn)a，b，c不共面3 變解法 上面兩個母題探究，還可以用什么方法判斷？ 解(1) 由題意知，op16oa13ob12oc. 1613121，點(diǎn)p與點(diǎn)a、b、c共面(2) op 4oaoboc，而 41121.點(diǎn)p與點(diǎn)a、b、c不共面解決向量共面的策略1若已知點(diǎn)p在平面abc內(nèi)，則有apxabyac或opxoayobzocxyz1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù). 2證明三個向量共面或四點(diǎn)共面，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成

20、，將其中一個向量用另外兩個向量來表示. 1一些特殊向量的特性(1) 零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的(2) 單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1. (3) 兩個向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄?.opoaxabyac稱為空間平面abc的向量表達(dá)式由此可知空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個不共線向量唯一確定3證明 ( 或判斷 )a，b，c三點(diǎn)共線時，只需證明存在實(shí)數(shù)，使abbc( 或abac)即可，也可用“對空間任意一點(diǎn)o，有octoa(1 t)ob”來證明a，b，c三點(diǎn)共線4空間一點(diǎn)p位于平面mab內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y) ，使mpxmaymb，滿足這個關(guān)系式的點(diǎn)都在平面mab內(nèi)；反之，平面mab內(nèi)的任一點(diǎn)都滿足這個關(guān)系式這個充要條件常用于證明四點(diǎn)共面5 直線的方向向量是指與直線平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無窮多個，它們的方向相同或相反6向量p與向量a，