高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.2.2間接證明學(xué)案蘇教版選修2-2-蘇教版高中選修2-2數(shù)學(xué)學(xué)

1、2.2.2 間接證明1. 理解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)，會(huì)運(yùn)用反證法證明簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題.( 重點(diǎn)、難點(diǎn) ) 2. 利用反證法證明時(shí)，對(duì)結(jié)論的假設(shè)否定.( 易錯(cuò)點(diǎn) ) 基礎(chǔ)初探 教材整理間接證明閱讀教材 p85“例 1”以上部分，完成下列問(wèn)題. 1. 間接證明：(1) 定義：不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明 . (2) 常用方法：反證法. 2. 反證法(1) 基本過(guò)程：反證法證明時(shí)，要從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定( 即肯定原命題). (2) 證題步驟：1. 判斷正誤：(1) 反證法屬于間接證明問(wèn)題的一種方法.( ) (2

2、) 反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾.( ) (3) 反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理.( ) (4) 用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)應(yīng)該是至少兩個(gè)鈍角.( ) 【答案】(1) (2) (3) (4) 2. 用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)角不大于60”時(shí)，正確的反設(shè)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01580047】【解析】“至少有一個(gè)角不大于60”的否定為“所有三角形的內(nèi)角均大于60”.【答案】假設(shè)三個(gè)內(nèi)角均大于60 質(zhì)疑手記 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn) 1：_ 解惑： _ 疑問(wèn) 2：_ 解惑： _ 疑問(wèn) 3：_ 解惑

3、： _ 小組合作型 利用反證法證明否定性命題(1) 用反證法證明：“若方程ax2bxc0，且a，b，c都是奇數(shù)，則方程沒(méi)有整數(shù)根”，正確的假設(shè)是方程存在實(shí)數(shù)根x0為_(kāi). (2) 已知三個(gè)正整數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：a，b，c不成等差數(shù)列 . 【自主解答】(1) 要證明的結(jié)論是“方程沒(méi)有整數(shù)根”，故應(yīng)假設(shè)：方程存在實(shí)數(shù)根x0為整數(shù) . 【答案】整數(shù)(2) 假設(shè)a，b，c成等差數(shù)列，則ac2b，即ac2ac4b. 又a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac，即bac，所以ac 2ac4ac，所以ac 2ac0，即 (ac)20，所以ac，從而abc，所以a，b，c可以成等差數(shù)列，這

4、與已知中“a，b，c不成等差數(shù)列”相矛盾. 原假設(shè)錯(cuò)誤，故a，b，c不成等差數(shù)列 . 1. 用反證法證明否定性命題的適用類(lèi)型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類(lèi)問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法. 2. 反證法證明問(wèn)題的一般步驟 再練一題 1.(2016 晉州高二檢測(cè))設(shè)數(shù)列 an是公比為q的等比數(shù)列，sn是它的前n項(xiàng)和 . 求證：數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 . 【證明】假設(shè)數(shù)列 sn 是等比數(shù)列，則s22s1s3，即a21(1 q)2a1a1(1 qq2) ，因?yàn)閍10，所以 (1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾 . 所以數(shù)列 s

5、n不是等比數(shù)列 . 用反證法證明存在性問(wèn)題已知a，b，c(0,1) ，求證： (1 a)b，(1 b)c，(1 c)a不能都大于14. 【精彩點(diǎn)撥】“不能都大于”的含義為“至少有一個(gè)小于或等于”其對(duì)立面為“全部大于”.【自主解答】假設(shè) (1 a)b，(1b)c，(1c)a都大于14. a，b，c(0,1) ，1a0,1 b0,1 c0. 1ab21ab1412. 同理1bc212，1ca212. 三式相加得1ab21bc21ca232，即3232，矛盾 . 所以 (1a)b，(1b)c，(1 c)a不能都大于14. 應(yīng)用反證法常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)，直

6、接證明不易入手且討論較復(fù)雜. 這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n1 個(gè)p或q 綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n1 個(gè)p且q 綈p或綈q 再練一題 2. 已知a，b，c，dr，且abcd1，acbd1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù) . 【證明】假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)閍bcd1，所以 (ab)(cd) 1. 又(ab)(cd) acbdadbcacbd，所以acbd1，這與已知acbd1 矛盾，所以a，b，c，d

7、中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù). 探究共研型 利用反證法證明唯一性命題探究 1 反證法解題的實(shí)質(zhì)是什么？【提示】否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾，從而證明原結(jié)論正確. 探究 2 應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，可以把下列哪些作為條件使用_. 結(jié)論的反設(shè)；已知條件；定義、公理、定理等；原結(jié)論. 【提示】反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是從命題結(jié)論的假設(shè)( 即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件) 及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果. 【答案】已知直線m與直線a和b分別交于a，b兩點(diǎn)，且ab. 求證：過(guò)a，b，m有且只有一個(gè)平面. 【精彩點(diǎn)撥】“有且只有”表示“存

8、在且惟一”，因此在證明時(shí)， 要分別從存在性和惟一性兩方面來(lái)考慮. 【自主解答】因?yàn)閍b，所以過(guò)a，b有一個(gè)平面. 又因?yàn)閙aa，mbb，所以aa，bb，所以a，b. 又因?yàn)閍m，bm，所以m?，即過(guò)a，b，m有一個(gè)平面，如圖 . 假設(shè)過(guò)a，b，m還有一個(gè)平面異于平面，則a?，b?，a?，b?，這與ab，過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面矛盾. 因此，過(guò)a，b，m有且只有一個(gè)平面. 用反證法證明惟一性命題的一般思路證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和惟一性. 當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個(gè)”“惟一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，可先證“存在性”，由于假設(shè)“惟一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因

9、此可用反證法證其惟一性. 再練一題 3. 若函數(shù)f(x) 在區(qū)間 a，b 上的圖象連續(xù)，且f(a)0，且f(x) 在a，b上單調(diào)遞增，求證：f(x) 在(a，b) 內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01580048】【證明】由于f(x) 在a，b 上的圖象連續(xù)，且f(a)0，即f(a) f(b)m，則f(n)f(m) ，即 00，矛盾；若nm，則f(n)f(m) ，即 02；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是 _( 填序號(hào) ). 【解析】假設(shè)a，b均不大于 1，即a1，b1.則均有可能成立，故不能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”，故選 . 【答案】4. 用反證法證明“一

10、個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：abc9090c180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤；所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角；假設(shè)abc中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)a90，b90.上述步驟的正確順序?yàn)開(kāi). 【解析】由反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟可知，上述步驟的順序應(yīng)為. 【答案】5. 若a，b，c互不相等，證明：三個(gè)方程ax22bxc0，bx22cxa 0，cx22axb0 至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根. 【證明】假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加得a22abb2b2 2bcc2c2 2aca20， (ab)2(bc)2(ca)20，abc

11、. 這與a，b，c互不相等矛盾. 假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根. 我還有這些不足：(1)_ (2)_ 我的課下提升方案：(1)_ (2)_ 2.3 數(shù)學(xué)歸納法1. 了解數(shù)學(xué)歸納法原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.( 重點(diǎn) ) 2. 數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題.( 難點(diǎn) ) 3. 歸納遞推的論證.( 易錯(cuò)點(diǎn) ) 基礎(chǔ)初探 教材整理數(shù)學(xué)歸納法閱讀教材 p88，完成下列問(wèn)題. 數(shù)學(xué)歸納法公理對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，可以用數(shù)學(xué)歸納法公理：如果(1) 當(dāng)n取第一個(gè)值n0( 例如n01,2 等) 時(shí)結(jié)論正確；(2) 假設(shè)當(dāng)nk(k n*，且kn0) 時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)

12、nk1 時(shí)結(jié)論也正確 . 那么，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立 . 1. 判斷正誤：(1) 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可.( ) (2) 數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.( ) (3) 與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.( ) (4) 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn3時(shí)所取的第一個(gè)n的值為 1.( ) 【答案】(1) (2) (3) (4) 2. 若f(n) 1121312n1，則當(dāng)n1 時(shí)f(n) 為_(kāi). 【解析】當(dāng)n1 時(shí)，f(n) 11213116. 【答案】116 質(zhì)疑手記 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn) 1：_ 解惑： _ 疑問(wèn)

13、2：_ 解惑： _ 疑問(wèn) 3：_ 解惑： _ 小組合作型 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(1)用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 等 式1 2 3 (n 3) n3n42(nn*) 時(shí)，第一步驗(yàn)證n1 時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是_.( 填序號(hào) ) 1；12；123；1234. (2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn) 2n13 (2n1)(nn*) ，“從k到k1”左端增乘的代數(shù)式為_(kāi). 【自主解答】(1) 當(dāng)n1 時(shí)，左邊應(yīng)為1234，故選 d. (2) 令f(n) (n1)(n2)(nn) ，則f(k) (k1)(k2)(kk)，f(k 1) (k 2)(k 3)(kk)(2k 1)(2k 2) ， 所

14、 以fk1fk2k12k2k12(2k1). 【答案】(1) (2)2(2k 1) 數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1. 驗(yàn)證是基礎(chǔ)找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定是1. 2. 遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k1”的過(guò)程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化 . 關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由nk到nk1 時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng). 3. 利用假設(shè)是核心在第二步證明nk1 成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“nk時(shí)命題成立”作為條件來(lái)導(dǎo)出“nk1”，在書(shū)寫(xiě)f(k1) 時(shí)，一定要把包含f(k) 的式子寫(xiě)出來(lái)，尤其是f(k) 中的最后一項(xiàng)，這是

15、數(shù)學(xué)歸納法的核心，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法 . 再練一題 1. 下面四個(gè)判斷中，正確的是_.( 填序號(hào) ) 式子 1kk2kn(nn*) 中，當(dāng)n1 時(shí)，式子的值為1；式子 1kk2kn1(nn*) 中，當(dāng)n1 時(shí)，式子的值為1k；式子 1121312n1(nn*) 中，當(dāng)n1 時(shí)，式子的值為11213；設(shè)f(n) 1n11n213n1(n n*) ，則f(k 1) f(k) 13k213k313k 4. 【解析】中，n 1 時(shí)，式子 1k；中，n1 時(shí)，式子 1；中，n1 時(shí)，式子 11213；中，f(k1)f(k) 13k213k313k41k1. 故正確的是. 【答案】用數(shù)學(xué)歸

16、納法證明不等式(1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n11n21nn1324(n2，nn*)的過(guò)程中，由nk推導(dǎo)nk1 時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_. (2) 證明：不等式112131n2n(nn*). 【精彩點(diǎn)撥】(1) 寫(xiě)出當(dāng)nk時(shí)左邊的式子， 和當(dāng)nk1 時(shí)左邊的式子， 比較即可 . (2) 在由nk到nk1 推導(dǎo)過(guò)程中利用放縮法，在利用放縮時(shí)，注意放縮的度. 【自主解答】(1) 當(dāng)nk1 時(shí)左邊的代數(shù)式是1k21k 312k112k2，增加了兩項(xiàng)12k1與12k2，但是少了一項(xiàng)1k1，故不等式的左邊增加的式子是12k112k21k112k12k2. 【答案】12k12k2(2) 當(dāng)n 1

17、時(shí)，左邊 1，右邊 2，左邊 右邊，不等式成立. 假設(shè)當(dāng)nk(k1 且kn*) 時(shí)，不等式成立，即 112131k2k. 則當(dāng)nk 1 時(shí)，112131k1k12k1k12kk11k11324. 假設(shè)當(dāng)nk(k2 且kn*) 時(shí)不等式成立，即1k11k212k1324，那么當(dāng)nk1 時(shí)，1k21k312k11k21k312k12k 112k21k11k11k11k21k312k12k112k21k 1132412k112k21k1132412k112k21324122k1k11324. 這就是說(shuō)，當(dāng)nk1 時(shí)，不等式也成立. 由可知，原不等式對(duì)任意大于1 的正整數(shù)都成立. 歸納猜想證明已知數(shù)列

18、 an 的前n項(xiàng)和為sn，其中ansnn2n 1且a113. (1) 求a2，a3；(2) 猜想數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式，并證明. 【精彩點(diǎn)撥】(1) 令n2,3 可分別求a2，a3. (2) 根據(jù)a1，a2，a3的值，找出規(guī)律，猜想an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【自主解答】(1)a2s2222 1a1a26，a113，則a2115，類(lèi)似地求得a3135. (2) 由a1113，a2135，a3157，猜得：an12n12n1. 證明：當(dāng)n1 時(shí)，由 (1) 可知等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)猜想成立，即ak12k12k1，那么，當(dāng)nk1 時(shí)，由題設(shè)ansnn2n1，得akskk2k1，ak1sk1k12

19、k1，所以skk(2k1)akk(2k1)12k12k1k2k1，sk1(k1)(2k1)ak1，ak1sk 1sk(k1)(2k1)ak1k2k1. 因此，k(2k 3)ak 1k2k1，所以ak112k 12k312k112k11. 這就證明了當(dāng)nk1 時(shí)命題成立 . 由可知命題對(duì)任何nn*都成立 . 1. “歸納猜想證明”的一般環(huán)節(jié)2. “歸納猜想證明”的主要題型(1) 已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和 . (2) 由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問(wèn)題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在. (3) 給出一些簡(jiǎn)單的命題(n1,2,3 ，) ，猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題 .

20、 再練一題 3. 已知函數(shù)yf(n)(n n*) ，設(shè)f(1) 2，且任意的n1，n2 n*，有f(n1n2) f(n1) f(n2). (1) 求f(2) ，f(3) ，f(4) 的值；(2) 試猜想f(n)的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明. 【解】(1) 因?yàn)閒(1) 2，f(n1n2) f(n1) f(n2) ，所以f(2) f(11) f(1) f(1) 224，f(3) f(2 1)f(2) f(1) 222 238. f(4) f(3 1)f(3) f(1) 232 2416. (2) 猜想：f(n)2n(nn*). 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1 時(shí)，f(1) 212，所以猜想正確

21、. 假設(shè)當(dāng)nk(k1，kn*) 時(shí)猜想正確，即f(k) 2k，那么當(dāng)nk1 時(shí)，f(k1) f(k) f(1) 2k2 2k1，所以，當(dāng)nk1 時(shí)，猜想正確. 由知，對(duì)任意的nn*，都有f(n) 2n. 探究共研型 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題探究 1 數(shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值是否一定為1? 【提示】不一定，如證明n邊形的內(nèi)角和為(n2)180時(shí)，第一個(gè)值為n03. 探究 2 數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟之間有怎樣的聯(lián)系？【提示】第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟(1) 而缺少步驟 (2) 就作出判斷，可能得出不正確的結(jié)論. 因?yàn)閱慰坎襟E(1) ，無(wú)

22、法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)列命題是否正確，我們無(wú)法判定，同樣只有步驟(2) 而缺少步驟 (1) 時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1) 這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2) 也就沒(méi)有意義了. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3 (n1)3(n2)3能被 9 整除 (nn*). 【精彩點(diǎn)撥】在第二步時(shí)注意根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行拼湊. 【自主解答】(1) 當(dāng)n1 時(shí)， 13233336 能被 9 整除，所以結(jié)論成立；(2) 假設(shè)當(dāng)nk(k n*，k1)時(shí)結(jié)論成立，即k3(k1)3(k2)3能被 9 整除 . 則當(dāng)nk 1 時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3 k3

23、(k 1)3(k 2)3 9k227k27 k3(k 1)3(k 2)3 9(k23k3). 因?yàn)閗3(k 1)3(k2)3能被 9 整除， 9(k23k3) 也能被 9 整除，所以 (k1)3(k2)3(k3)3也能被 9 整除，即nk1 時(shí)結(jié)論也成立. 由(1)(2)知命題對(duì)一切nn*成立 . 與正整數(shù)有關(guān)的整除性問(wèn)題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明的關(guān)鍵在于第二步，根據(jù)歸納假設(shè)，將nk1 時(shí)的式子進(jìn)行增減項(xiàng)、倍數(shù)調(diào)整等變形，使之能與歸納假設(shè)聯(lián)系起來(lái). 再練一題 4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“n35n能被 6 整除”的過(guò)程中，當(dāng)nk1 時(shí)，對(duì)式子 (k1)35(k1)應(yīng)變形為 _. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01580051】【解析】由nk成立推證nk1 成立時(shí)必須用上歸納假設(shè)，(k1)35(k 1)(k35k) 3k(k1) 6. 【答案】(k35k) 3k(k1) 6 1. (2016成都高二檢測(cè))在用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an11an21a(a1，nn*) 時(shí)，在驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)，等式左邊為_(kāi). 【答案】1aa22. 在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，用到1n11n212n，若設(shè)f(k) 1k11k21k312k(kn*) ，則f(k1) f(k) _. 【解析】由題意f(k) 1k11k 212k，f(k1) 1k 21k312k12k 112k2，則f(k1) f(k) 1