數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、    數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用    張芝華摘要：數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的橋梁，是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過(guò)程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想呢？我們可以通過(guò)實(shí)例來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力和實(shí)踐能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；學(xué)生：g642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：a ：1674-9324（2014）09-0244-02高等數(shù)學(xué)是高校經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)的一門主要基礎(chǔ)課程，教學(xué)中一個(gè)重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)模型則是溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，實(shí)際上就

2、是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過(guò)程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，我認(rèn)為可以從分析處理教材、組織教學(xué)內(nèi)容、選擇教學(xué)方法等方面入手，在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)造能力，這是一個(gè)有效的方法。下面通過(guò)實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)建模講解。例1：計(jì)算復(fù)利息問(wèn)題。設(shè)本金為a0，利率為r，期數(shù)為t，如果每期結(jié)算一次，則本利和a為：a=a0（1+r）'.如果每期結(jié)算m次，t期本利和am為：am=a0（1+）m.在現(xiàn)實(shí)世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算，m，得到下面的極限：a0（1+）m.這個(gè)式子反映了現(xiàn)實(shí)世界中一些事物生長(zhǎng)或消失的數(shù)量規(guī)律，

3、因此，它不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的極限。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化起見(jiàn)，在上式中，令n=，則當(dāng)m時(shí)n，可得：a0（1+）mt=a0（1+）nrt=a01+nrt因此，問(wèn)題歸結(jié)為求極限：（1+）n.這個(gè)極限就是我們高等數(shù)學(xué)中講得重要極限，可以證明：（1+）n=e.例2：養(yǎng)魚問(wèn)題：某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng) 萬(wàn)尾，乙種魚放養(yǎng)x萬(wàn)尾，收獲時(shí)，兩種魚的收獲量分別為 （3-x-y）x和（4-x-2y）y，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)（>>0）。解：設(shè)產(chǎn)魚總量為z，則z=3x+4y-x2-2ay2-2xy由極值的必要條件得方程組：=3-2x-2y=0=4-4y-2y=0得唯一解：x=

4、 y=由a=-2，b=-2，c=-4，得到b2-ac=42-82=-4（22-2）.由題設(shè)>>0，故b2-ac<0，且a<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。x與y分別為甲、乙兩種魚的放養(yǎng)數(shù)。通過(guò)上例的分析我們看到利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。例3：廣告問(wèn)題。設(shè)某產(chǎn)品銷售單價(jià)為5萬(wàn)元，可變成本為每單位3.75萬(wàn)元。又設(shè)產(chǎn)品經(jīng)廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費(fèi)a有關(guān)系式x=200，求使產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大的廣告投入。解：依題意總收益函數(shù)為r=xp=5×200=1000.c（x）=3.75x+c（0）=3.75×200=750.于是利潤(rùn)函數(shù)

5、為l=1000-750-c（0）-a=250-a-c（0）.令l'=-1=0的a*=1252=15625（萬(wàn)元），又l''=-a<0知a*為最優(yōu)的廣告投入，使利潤(rùn)最大。通過(guò)上例的分析我們看到利用極值可以求利潤(rùn)最大問(wèn)題，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。例4：人口問(wèn)題。maltlhus于18世紀(jì)末在研究了人口統(tǒng)計(jì)資料后，提出在人口的自然增長(zhǎng)過(guò)程中，單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口總數(shù)成正比。記時(shí)刻t的人口數(shù)量為n（t），考慮 t到t+t時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)率量，根據(jù)maltlhus理論，有n（t+t）-n（t）=rn（t）t，其中r為比例系數(shù)，而增長(zhǎng)量與t成正比，在上式中令 t0，有=rn，？

6、圯=rn，n（t0）=n0r>0容易求得解為n（t）=n0（t）e.此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的一階微分方程=rx的模型，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。endprint摘要：數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的橋梁，是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過(guò)程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想呢？我們可以通過(guò)實(shí)例來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力和實(shí)踐能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；學(xué)生：g642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：a ：1674-9324（2014）09-0244-02高等數(shù)學(xué)是高校經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)的一門主要基礎(chǔ)課程，教學(xué)中一個(gè)重要任務(wù)就是

7、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)模型則是溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過(guò)程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，我認(rèn)為可以從分析處理教材、組織教學(xué)內(nèi)容、選擇教學(xué)方法等方面入手，在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)造能力，這是一個(gè)有效的方法。下面通過(guò)實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)建模講解。例1：計(jì)算復(fù)利息問(wèn)題。設(shè)本金為a0，利率為r，期數(shù)為t，如果每期結(jié)算一次，則本利和a為：a=a0（1+r）'.如果每期結(jié)算m次，t期本利和am為：am=a0（1+）m.在現(xiàn)實(shí)世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是

8、立即產(chǎn)生立即結(jié)算，m，得到下面的極限：a0（1+）m.這個(gè)式子反映了現(xiàn)實(shí)世界中一些事物生長(zhǎng)或消失的數(shù)量規(guī)律，因此，它不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的極限。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化起見(jiàn)，在上式中，令n=，則當(dāng)m時(shí)n，可得：a0（1+）mt=a0（1+）nrt=a01+nrt因此，問(wèn)題歸結(jié)為求極限：（1+）n.這個(gè)極限就是我們高等數(shù)學(xué)中講得重要極限，可以證明：（1+）n=e.例2：養(yǎng)魚問(wèn)題：某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng) 萬(wàn)尾，乙種魚放養(yǎng)x萬(wàn)尾，收獲時(shí)，兩種魚的收獲量分別為 （3-x-y）x和（4-x-2y）y，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)（>>0）。解：設(shè)產(chǎn)魚總量為z，則z=3x+

9、4y-x2-2ay2-2xy由極值的必要條件得方程組：=3-2x-2y=0=4-4y-2y=0得唯一解：x= y=由a=-2，b=-2，c=-4，得到b2-ac=42-82=-4（22-2）.由題設(shè)>>0，故b2-ac<0，且a<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。x與y分別為甲、乙兩種魚的放養(yǎng)數(shù)。通過(guò)上例的分析我們看到利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。例3：廣告問(wèn)題。設(shè)某產(chǎn)品銷售單價(jià)為5萬(wàn)元，可變成本為每單位3.75萬(wàn)元。又設(shè)產(chǎn)品經(jīng)廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費(fèi)a有關(guān)系式x=200，求使產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大的廣告投入。解：依題意總收益函數(shù)為r=xp=5&

10、#215;200=1000.c（x）=3.75x+c（0）=3.75×200=750.于是利潤(rùn)函數(shù)為l=1000-750-c（0）-a=250-a-c（0）.令l'=-1=0的a*=1252=15625（萬(wàn)元），又l''=-a<0知a*為最優(yōu)的廣告投入，使利潤(rùn)最大。通過(guò)上例的分析我們看到利用極值可以求利潤(rùn)最大問(wèn)題，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。例4：人口問(wèn)題。maltlhus于18世紀(jì)末在研究了人口統(tǒng)計(jì)資料后，提出在人口的自然增長(zhǎng)過(guò)程中，單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口總數(shù)成正比。記時(shí)刻t的人口數(shù)量為n（t），考慮 t到t+t時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)率量，根據(jù)maltlhus理論，

11、有n（t+t）-n（t）=rn（t）t，其中r為比例系數(shù)，而增長(zhǎng)量與t成正比，在上式中令 t0，有=rn，？圯=rn，n（t0）=n0r>0容易求得解為n（t）=n0（t）e.此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的一階微分方程=rx的模型，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。endprint摘要：數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的橋梁，是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過(guò)程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想呢？我們可以通過(guò)實(shí)例來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力和實(shí)踐能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；學(xué)生：g642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：a ：1674

12、-9324（2014）09-0244-02高等數(shù)學(xué)是高校經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)的一門主要基礎(chǔ)課程，教學(xué)中一個(gè)重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)模型則是溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過(guò)程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，我認(rèn)為可以從分析處理教材、組織教學(xué)內(nèi)容、選擇教學(xué)方法等方面入手，在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)造能力，這是一個(gè)有效的方法。下面通過(guò)實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)建模講解。例1：計(jì)算復(fù)利息問(wèn)題。設(shè)本金為a0，利率為r，期數(shù)為t，如果每期結(jié)算一次，則本利和a為：a=a0（1+r）'

13、;.如果每期結(jié)算m次，t期本利和am為：am=a0（1+）m.在現(xiàn)實(shí)世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算，m，得到下面的極限：a0（1+）m.這個(gè)式子反映了現(xiàn)實(shí)世界中一些事物生長(zhǎng)或消失的數(shù)量規(guī)律，因此，它不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的極限。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化起見(jiàn)，在上式中，令n=，則當(dāng)m時(shí)n，可得：a0（1+）mt=a0（1+）nrt=a01+nrt因此，問(wèn)題歸結(jié)為求極限：（1+）n.這個(gè)極限就是我們高等數(shù)學(xué)中講得重要極限，可以證明：（1+）n=e.例2：養(yǎng)魚問(wèn)題：某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng) 萬(wàn)尾，乙種魚放養(yǎng)x萬(wàn)尾，收獲時(shí)，兩種魚的收獲量分別為 （3-x-

14、y）x和（4-x-2y）y，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)（>>0）。解：設(shè)產(chǎn)魚總量為z，則z=3x+4y-x2-2ay2-2xy由極值的必要條件得方程組：=3-2x-2y=0=4-4y-2y=0得唯一解：x= y=由a=-2，b=-2，c=-4，得到b2-ac=42-82=-4（22-2）.由題設(shè)>>0，故b2-ac<0，且a<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。x與y分別為甲、乙兩種魚的放養(yǎng)數(shù)。通過(guò)上例的分析我們看到利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。例3：廣告問(wèn)題。設(shè)某產(chǎn)品銷售單價(jià)為5萬(wàn)元，可變成本為每單位3.75萬(wàn)元。又設(shè)產(chǎn)品經(jīng)廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費(fèi)a有關(guān)系式x=200，求使產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大的廣告投入。解：依題意總收益函數(shù)為r=xp=5×200=1000.c（x）=3.75x+c（0）=3.75×200=750.于是利潤(rùn)函數(shù)為l=1000-750-c（0）-a=250-a-c（0）.令l'=-1=0的a*=1252=15625（萬(wàn)元），又l''=-a<0知a*為最優(yōu)的廣告投入，使利潤(rùn)最大。通過(guò)上例的分析我們看到利用極值可以求利潤(rùn)最大問(wèn)題，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。例4：人口問(wèn)題。maltlhus于18世紀(jì)末在研究了人口統(tǒng)計(jì)資料后，提出在人口的自然增