方程在幾何題中的應(yīng)用

1、    方程在幾何題中的應(yīng)用    葉少梅【摘要】在數(shù)學(xué)教育活動中，大部分數(shù)學(xué)概念與教學(xué)知識之間存在著極為密切的聯(lián)系，為優(yōu)化教學(xué)活動，加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解，教師應(yīng)努力嘗試利用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識解決后續(xù)的數(shù)學(xué)問題，依靠既得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗幫助學(xué)生解答數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題。本文針對初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動展開論述，思考方程在幾何題教學(xué)活動中的應(yīng)用。【關(guān)鍵詞】方程   幾何題   應(yīng)用方程是基于西方數(shù)學(xué)理論發(fā)展而來的學(xué)習(xí)模塊，通過對方程的計算、對未知數(shù)的選擇，學(xué)生能夠在較短的時間內(nèi)明確掌握解題方向，并剔除其他信息對于教學(xué)活動的干擾，依靠

2、方程，對客觀學(xué)習(xí)問題做出回應(yīng)。但在以往的教學(xué)活動中，方程多應(yīng)用于抽象數(shù)字的計算當中，幫助學(xué)生利用方程解決幾何問題，這是一次極具代表性的數(shù)學(xué)嘗試。一、推理證明，解決面積問題方程從數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過方程，教師能夠幫助學(xué)生在所掌握的數(shù)學(xué)材料中提取新的可用知識，并根據(jù)數(shù)學(xué)問題的相關(guān)表述構(gòu)建全新的數(shù)學(xué)模型，促使問題中已知的、未知的題干信息構(gòu)成新的數(shù)量關(guān)系。在當前的初中數(shù)學(xué)教育活動中，方程的應(yīng)用極為廣泛，但大多以抽象數(shù)據(jù)的計算、數(shù)量關(guān)系的計算為核心任務(wù)，對于空間幾何問題的影響并不明顯，要將方程融合到幾何問題當中，教師應(yīng)明確把握方程問題與幾何問題的相同點、共同點，依靠兩種不同解題方式的相互輻射，重

3、新定義數(shù)學(xué)解題活動。方程思想從問題的數(shù)量關(guān)系入手，幾何問題則強調(diào)圖形的位置關(guān)系、大小關(guān)系，其差別較為明顯，利用方程解決幾何問題，其教學(xué)實質(zhì)等同于“數(shù)形轉(zhuǎn)化”，基于這一觀點，教師可將涉及到數(shù)字換算的數(shù)學(xué)問題提取出來，依靠方程建立新的數(shù)字關(guān)系，從而幫助學(xué)生解決幾何問題。以初中數(shù)學(xué)教材平行線及其判定的相關(guān)學(xué)習(xí)為例，在這一板塊的教學(xué)活動中，學(xué)生可能會接觸到圖形的折疊、變形，求面積問題，如圖所示：在這一幾何結(jié)構(gòu)中，圖形的形狀、邊長、角度等性質(zhì)在不斷改變，直接求解的難度較大，教師可利用方程發(fā)起推理證明活動，幫助學(xué)生梳理圖形之間的數(shù)量關(guān)系。在這一過程中，教師可幫助學(xué)生利用方程確定相關(guān)問題的數(shù)量關(guān)系，已知ad

4、=8，ab=4，根據(jù)所給圖形得出be=x，則ae=8-x，be=ed，進而列出解題方程式。在求解環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠利用等腰三角形的基本性質(zhì)、平行線的基本概念等數(shù)學(xué)知識確定相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，進而對方程進行求解，得出正確答案。與傳統(tǒng)的解題方法相比，其所應(yīng)用到的數(shù)學(xué)材料并不復(fù)雜，僅要求學(xué)生利用方程知識與已掌握的知識發(fā)起互動，對于學(xué)生來說，解題的開放性更強。二、主觀推測，解決思考問題在初中階段的幾何教學(xué)活動中，部分教學(xué)問題在提問時并沒有給出一個明確的思考目標，其要求學(xué)生計算最終的長度、面積，或?qū)D形是否全等等內(nèi)容進行判定，針對這類問題，其解題活動很容易受到學(xué)生主觀意識的干擾，如果學(xué)生能夠以積極的態(tài)度回應(yīng)相關(guān)

5、問題，向著“猜測”的方向不斷靠攏，其所提出的答案的合理性也能夠在一定程度上被保障。以初中數(shù)學(xué)教材三角形全等的判定的相關(guān)教學(xué)為例，針對該類問題，經(jīng)常會出現(xiàn)以下類型的推導(dǎo)題：兩個三角形放置在同一平面內(nèi)，每個三角形上都有一個點，當兩個點開始運動時，問何時兩個三角形能夠形成全等三角形？如下圖所示：這類問題中雖然給出了明確的數(shù)量關(guān)系，但如果只依靠學(xué)生的主觀推導(dǎo)，計算的壓力較大，且容易出現(xiàn)判斷錯誤，教師可利用方程對該類開放性較強的問題做出回應(yīng)，幫助學(xué)生更為積極的掌握解題方式。在解題活動中，教師可幫助學(xué)生確定兩個三角形形成全等三角形的數(shù)量關(guān)系：（1）ac=bq，ap=bp;（2）ac=pb，ap=bq，在不

6、同的全等關(guān)系下羅列對應(yīng)的方程組，依靠數(shù)量關(guān)系得出最終答案。傳統(tǒng)的教學(xué)方法要求學(xué)生獨立對cp、qb、pb等邊的長度進行計算，學(xué)生的運算壓力較大，很容易出現(xiàn)計算錯誤，而在方程組的協(xié)助下，其能夠直接擺脫無關(guān)變量對于問題的干擾，圍繞問題的著力點建立方程式，進而對方程問題做出回應(yīng)。三、數(shù)形結(jié)合，確定數(shù)學(xué)關(guān)系數(shù)形結(jié)合已經(jīng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的理想化方法，通過對數(shù)字材料的定向加工，教師能夠依靠直觀幾何圖形為學(xué)生創(chuàng)造觀察與思考的對象，從而實現(xiàn)抽象問題的具體化處理，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。但對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動來說，教學(xué)活動中所涉及到的相關(guān)知識以未知數(shù)的求值、位置關(guān)系的判定為主，在建立空間關(guān)系之

7、后，幾何圖形可能會對原本的數(shù)量關(guān)系產(chǎn)生干擾，基于這一特點，教師可利用方程轉(zhuǎn)化教學(xué)思路，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)思考問題。以初中數(shù)學(xué)教材全等三角形的相關(guān)學(xué)習(xí)為例，在這一板塊的教學(xué)活動中，可能會涉及到位置關(guān)系推導(dǎo)問題、相似三角形推導(dǎo)問題，在這一板塊，學(xué)生需要對角、邊的數(shù)量關(guān)系進行整理，從而根據(jù)所得的大量數(shù)據(jù)進行運算，然后才能得出正確答案，如下圖所示：在問題中，q是ab上不斷運動的點，p是oa上運動的點，二者的運動速度不同，問到運動多長時間后，兩個三角形成為相似三角形？在對這一問題進行解答時，教師可幫助學(xué)生圍繞p的運動時間、q的運動時間分別建立方程組，將對運動時間的求解轉(zhuǎn)化為對未知數(shù)的求解，縮小學(xué)生的解題范圍。通過導(dǎo)入時間t，利用二者的速度之差建立方程式，提高運算效率。在這一過程中，學(xué)生無需對客觀圖形進行推導(dǎo)，圖形作為載體給出數(shù)據(jù)，在利用方程解題的過程中，解題速度大幅提升。結(jié)語方程在幾何題中的應(yīng)用越來越常見，在利用方程幫助學(xué)生解決幾何問題時，教師應(yīng)將幾何概念與數(shù)字從問題中提取出來，依靠所給出的數(shù)學(xué)材料，重新確定數(shù)學(xué)關(guān)系，利用方程優(yōu)化解題方法?！緟⒖嘉墨I】1李國峰. 利用方程求解幾何問題j. 數(shù)理天地：初中版， 2016， 000（004）：p.