2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第2課時 直線與橢圓的綜合問題 教案

1、第2課時直線與橢圓的綜合問題考點1直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程(2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程(3)當(dāng)0時，直線與橢圓相交；當(dāng)0時，直線與橢圓相切；當(dāng)0時，直線與橢圓相離1.若直線ykx1與橢圓1總有公共點，則m的取值范圍是()am1bm0c0m5且m1 dm1且m5d直線ykx1恒過定點(0,1)，則點(0,1)在橢圓1內(nèi)部或橢圓上，從而1，又m0，則m1，因為橢圓1中，m5.所以m的取值范圍是m1且m5，故選d.2過點m(4,4)作橢圓1的切線，切點n在第一象限，設(shè)橢圓的左焦點為f，則直線nf的斜率為 設(shè)n(x，y)，直線mn的斜率

2、為k.m(4,4)，則直線mn的方程為y4k(x4)，代入橢圓方程消去y，整理得(34k2)x28mkx(4m212)0，其中m4k4，由于相切，所以0，所以m24k23，所以解得k，代入求得切點n，所以直線nf的斜率為knf.3已知直線l：y2xm，橢圓c：1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓c：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點解將直線l的方程與橢圓c的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)24×9×(2m24)8m2144.(1)當(dāng)>0，即3<m<3時，方程有兩個不同的實數(shù)根，

3、可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解這時直線l與橢圓c有兩個不重合的公共點(2)當(dāng)0，即m±3時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解這時直線l與橢圓c有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓c有且只有一個公共點(3)當(dāng)<0，即m<3或m>3時，方程沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解這時直線l與橢圓c沒有公共點t2中求切點的橫坐標時，可直接使用求根公式x1x2(其中a，b分別是一元二次方程的二次項系數(shù)和一次項系數(shù))考點2直線與橢圓相交的弦長問題弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線與橢圓的

4、交點坐標為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab|(k為直線斜率)(3)若直線的斜率不存在，可直接求交點坐標，再求弦長(2018·北京高考改編)已知橢圓m：1(ab0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓m有兩個不同的交點a，b.(1)求橢圓m的方程；(2)若k1，求|ab|的最大值解(1)由題意得解得a，b1.所以橢圓m的方程為y21.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)由得4x26mx3m230，由題意知36m216(3m23)0，即2m2，此時x1x2，x1x2.所以|ab|.當(dāng)m0，即直線l過原點時，|ab|最大，最大值為.利用公式計

5、算直線被橢圓截得的弦長是在方程有兩個不同解的情況下進行的，不要忽略0.教師備選例題直線經(jīng)過橢圓1的左焦點，傾斜角為60°，與橢圓交于a，b兩點，則弦長|ab| .由題意知直線方程為y(x2)，代入橢圓方程消元整理得5x216x0，所以x0，或x，所以交點a(0,2)，b，所以|ab|.1.已知橢圓y21與直線yxm交于a，b兩點，且|ab|，則實數(shù)m的值為()a±1b± c.d±a由消去y并整理，得3x24mx2m220.由題意知16m212(2m22)0，即m.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由題意，得|ab|，解得m

6、77;1.2橢圓e：1(ab0)的左焦點為f1，右焦點為f2，離心率e，過f1的直線交橢圓于a，b兩點，且abf2的周長為8.(1)求橢圓e的方程；(2)若直線ab的斜率為，求abf2的面積解(1)由題意知，4a8，所以a2，又e，所以，c1，所以b22213，所以橢圓e的方程為1.(2)設(shè)直線ab的方程為y(x1)，由得5x28x0，解得x10，x2，所以y1，y2.所以sabf2c·|y1y2|1×.考點3弦中點問題處理中點弦問題常用的兩種方法(1)點差法設(shè)出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1x2，y1y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和

7、直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率(2)根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解(1)在橢圓1中，以點m(1,2)為中點的弦所在直線方程為 (2)(2019·南寧模擬)已知橢圓1(ab0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點坐標是m(4,1)，則橢圓的離心率e .(1)9x32y730(2)(1)設(shè)弦的兩端點為a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入橢圓方程得兩式相減得0，所以，即，因為x1x22，y1y24，所以，故該直線方程為y2(x1)，即9x32y730.(2)設(shè)直線xy50與橢圓1相交于a(x1，y1)，b(x2，y2

8、)兩點，因為ab的中點m(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直線ab的斜率k1.由兩式相減得0，所以·，所以，于是橢圓的離心率e.用點差法求參數(shù)的值(或范圍)時，要檢驗直線與橢圓是否相交1.已知橢圓y21，過點p的直線與橢圓相交于a，b兩點，且弦ab被點p平分，則直線ab的方程為()a9xy50 b9xy40cx9y50 dx9y40c設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有兩式作差得(y2y1)(y2y1)0，因為x2x11，y2y11，kab，代入后求得kab，所以弦所在的直線方程為y，即x9y50.2焦點為f(0,5)，并截直線y2x1所得弦的中點的橫坐標是的橢圓的標

9、準方程為 1設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)，直線被橢圓所截弦的端點為a(x1，y1)，b(x2，y2)由題意，可得弦ab的中點坐標為，且，.將a，b兩點坐標代入橢圓方程中，得兩式相減并化簡，得·2×3，所以a23b2，又c2a2b250，所以a275，b225，故所求橢圓的標準方程為1.考點4橢圓與向量的綜合問題解決橢圓與向量有關(guān)問題的方法(1)將向量條件用坐標表示，再利用函數(shù)、方程知識建立數(shù)量關(guān)系(2)利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相關(guān)的等量關(guān)系(3)利用向量運算的幾何意義轉(zhuǎn)化成圖形中位置關(guān)系解題(2019·長春模擬)已知橢圓c的兩個焦點為f1(1,0)，f2(1,0)，且

10、經(jīng)過點e.(1)求橢圓c的標準方程；(2)過f1的直線l與橢圓c交于a，b兩點(點a位于x軸上方)，若2，求直線l的斜率k的值解(1)設(shè)橢圓c的方程為1(ab0)，由解得所以橢圓c的標準方程為1.(2)由題意得直線l的方程為yk(x1)(k0)，聯(lián)立整理得y2y90，則1440，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，則34k28，解得k±，又k0，所以k.解答本題應(yīng)注意：(1)根據(jù)2，確定y1與y2的關(guān)系，從而確定直線與橢圓方程聯(lián)立消去x；(2)根據(jù)y12y2得到y(tǒng)1y2y2，(y1y2)2y，從而y1y22(

11、y1y2)2；(3)也可以根據(jù)求出y1，y2，再利用y1y2求解教師備選例題已知橢圓c：1(ab0)，e，其中f是橢圓的右焦點，焦距為2，直線l與橢圓c交于點a，b，線段ab的中點橫坐標為，且(其中1)(1)求橢圓c的標準方程；(2)求實數(shù)的值解(1)由橢圓的焦距為2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，橢圓c的標準方程為1.(2)由，可知a，b，f三點共線，設(shè)點a(x1，y1)，點b(x2，y2)若直線abx軸，則x1x21，不符合題意；當(dāng)ab所在直線l的斜率k存在時，設(shè)l的方程為yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判別式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0，x1x22×，k2.將k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.(2019·保定模擬)設(shè)點p在以f1(2,0)，f2(2,0)為焦點的橢圓c：1(ab0)上(1)求橢圓c的方程；(2)經(jīng)過f2作直線m交橢圓c于a，b兩點，交y軸于點m.若1，2，且121，求1與2的值解(1)因為點p在以f1(2,0)，f2(2,0)為焦點的橢圓c：1(ab0)上，所以2a2，所以a.又因為c2，所以b