2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第08講對數(shù)與對數(shù)函數(shù) （講）原卷版

1、 第08講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析【課標(biāo)解讀】1. 理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運(yùn)算，會用換底公式.2理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.3.了解對數(shù)函數(shù)的變化特征. 【備考策略】1.對數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算；2.對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，如比較函數(shù)值的大??；3.圖象過定點(diǎn)；4.底數(shù)分類討論問題.【核心知識】知識點(diǎn)一 對數(shù)的概念如果axn(a>0，且a1)，那么x叫做以a為底n的對數(shù)，記作xlogan，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù).知識點(diǎn)二 對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：alogann；logaabb(

2、a>0，且a1).(2)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a1，m>0，n>0，那么loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)；logammnlogam(m，nr，且m0).(3)換底公式：logbn(a，b均大于零且不等于1).知識點(diǎn)三 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，)值域：r當(dāng)x1時(shí)，y0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x

3、<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)知識點(diǎn)四 反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對稱.【特別提醒】1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab；(2)logambnlogab.其中a>0，且a1，b>0，且b1，m，nr.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限

4、.【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一對數(shù)的化簡與求值例1【2020·全國卷】已知55<84，134<85設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則aa<b<cbb<a<ccb<c<adc<a<b【方法技巧】1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.abnblogan(a>0，且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)

5、注意互化.【舉一反三】(2021·杭州市七校聯(lián)考)計(jì)算：若alog43，則2a2a_【變式探究】(2021·北京二中高三月考)在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/l，記作h)和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/l，記作oh)的乘積等于常數(shù)1014.已知ph值的定義為phlgh，健康人體血液的ph值保持在7.357.45之間，那么健康人體血液中的可以為(參考數(shù)據(jù)： lg 20.30，lg 30.48)()a b c d高頻考點(diǎn)二 對數(shù)函數(shù)圖象及其應(yīng)用例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y，yloga(x)(a0，且

6、a1)的圖象可能是()abc d【方法技巧】(1)識別對數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)a以1為分界：當(dāng)a1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，是減函數(shù)注意對數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(1,0)，且以y軸為漸近線(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解【變式探究】（2021·湖北武漢模擬）已知函數(shù)f (x)關(guān)于x的方程f (x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_高頻考點(diǎn)三 比較對數(shù)值的大小例3【2020·全國卷】若2x2y<3x3y，則aln(yx+1)>0bln(yx+1)<0cln|xy|>0dln|xy|<0【舉一

7、反三】【2019·天津卷】已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()abcd【方法技巧】（1）若對數(shù)值同底數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較（2）若對數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較（3）若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較【變式探究】【2019·全國卷】已知，則（ ）abcd高頻考點(diǎn)四 解簡單的對數(shù)不等式例4.（2021·山東菏澤模擬）設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a(1，0)(0，1) b(，1)(1，)c(1，0)(1，) d(，1)(0，1)【方法技巧】解決此類問題時(shí)應(yīng)注

8、意兩點(diǎn)：(1)真數(shù)大于0；(2)底數(shù)a的值【變式探究】（2021·廣東湛江一中模擬） 若loga(a21)loga2a0，則a的取值范圍是_高頻考點(diǎn)五 對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例5.（2021·河北衡水中學(xué)模擬）若函數(shù)f (x)log2(x2ax3a)在區(qū)間(，2上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a(，4) b(4,4c(，4)2，)d4,4)【方法技巧】解決此類問題有以下三個(gè)步驟：(1)求出函數(shù)的定義域；(2)判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進(jìn)行分類討論；(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性【變式探究】（2021