2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第7節(jié) 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 教案 (2)

1、第七節(jié)正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用最新考綱能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題1仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1)圖1圖22方向角相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等3方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如b點(diǎn)的方位角為(如圖2)4坡度(又稱坡比)坡面的垂直高度與水平長度之比一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)從a處望b處的仰角為，從b處望a處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.(

2、)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系()(4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是.()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1如圖所示，設(shè)a，b兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在a所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)c，測出ac的距離為50 m，acb45°，cab105°后，就可以計(jì)算出a，b兩點(diǎn)的距離為 m.50由正弦定理得，又b30°，ab50(m)2.如圖，在山腳a測得山頂p的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到b，在

3、b處測得山頂p的仰角為60°，則山高h(yuǎn) 米a由題圖可得paq30°，baq15°，pab中，pab15°，又pbc60°，bpa(90°)(90°)30°，pba，pqpccqpb·sin asin a×sin 60°asin 15°a.3.如圖所示，d，c，b三點(diǎn)在地面的同一條直線上，dca，從c，d兩點(diǎn)測得a點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則a點(diǎn)離地面的高度ab .a由已知得dac30°，adc為等腰三角形，aca，所以在rtacb中，abac

4、·sinacba.考點(diǎn)1解三角形中的實(shí)際問題利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟(1)分析理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖(2)建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗(yàn)檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解(1)江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距 m.(2)如圖，高山上原有一條筆直的

5、山路bc，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道ac，小李在山腳 b處看索道ac，發(fā)現(xiàn)張角abc120°；從b處攀登400米到達(dá)d處，回頭看索道ac，發(fā)現(xiàn)張角adc150°；從d處再攀登800米可到達(dá)c處，則索道ac的長為 米(1)10(2)400(1)如圖，omaotan 45°30(m)，onaotan 30°×3010(m)，在mon中，由余弦定理得，mn10(m)(2)在abd中，bd400米，abd120°.因?yàn)閍dc150°，所以adb30°.所以dab180°120°30°30°

6、;.由正弦定理，可得，所以，得ad400(米)在adc中，dc800米，adc150°，由余弦定理得ac2ad2cd22·ad·cd·cosadc(400)280022×400×800×cos 150°4002×13，解得ac400(米)故索道ac的長為400米(1)實(shí)際測量中的常見問題(2)三角應(yīng)用題求解的關(guān)鍵是正確作圖(平面圖、立體圖)，并且條件對(duì)應(yīng)好(仰角，俯角、方向角等)1.一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在a處看到一個(gè)燈塔b在北偏東60°的方向上，行駛4 h后，船到達(dá)c處，看到

7、這個(gè)燈塔在北偏東15°的方向上，這時(shí)船與燈塔的距離為 km.30如圖，由題意知，bac30°，acb105°，b45°，ac60，由正弦定理得，bc30(km)2.如圖所示，位于a處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的b處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的c處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線cb前往b處救援，則cos 的值為 在abc中，ab40，ac20，bac120°，由余弦定理得bc2ab2ac22ab·ac·cos 120°2 800，得b

8、c20.由正弦定理，得，即sinacb·sinbac.由bac120°，知acb為銳角，則cosacb.由acb30°，得cos cos(acb30°)cosacbcos 30°sinacbsin 30°.考點(diǎn)2平面幾何中的解三角形問題與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交

9、叉使用公共條件，求出結(jié)果如圖，在平面四邊形abcd中，abc，abad，ab1.(1)若ac，求abc的面積；(2)若adc，cd4，求sincad.解(1)在abc中，由余弦定理得，ac2ab2bc22ab·bc·cosabc，即51bc2bc，解得bc，所以abc的面積sabcab·bc·sinabc×1××.(2)設(shè)cad，在acd中，由正弦定理得，即，在abc中，bac，bca，由正弦定理得，即，兩式相除，得，即4sin ，整理得sin 2cos .又因?yàn)閟in2cos21，所以sin ，即sincad.做題過程中，

10、要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題(2019·湖南衡陽第三次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形abcd中，0dab，ad2，ab3，abd的面積為，abbc.(1)求sinabd的值；(2)若bcd，求bc的長解(1)因?yàn)閍bd的面積sad×absindab×2×3sindab，所以sindab.又0dab，所以dab，所以cosdabcos .由余弦定理得bd，由正弦定理得sinabd.(2)因?yàn)閍bbc，所以abc，sindbcsincosabd.在bcd中，由正弦

11、定理可得cd.由余弦定理dc2bc22dc·bccosdcbbd2，可得3bc24bc50，解得bc或bc(舍去)故bc的長為.考點(diǎn)3與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題解三角形問題中，求解某個(gè)量(式子)的最值(范圍)的基本思路為：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大(1)(2019·安徽六安模擬)在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若，b4，則a

12、bc的面積的最大值為()a4b2c2d.(2)(2019·福建漳州二模)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3acos abcos cccos b，bc3，則a的最小值為()a1 b. c2 d3(1)a(2)b(1)在abc中，(2ac)cos bbcos c，(2sin asin c)cos bsin bcos c，2sin acos bsin ccos bsin bcos csin(bc)sin a，cos b，即b，由余弦定理可得16a2c22accos ba2c2ac2acac，ac16，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào)，abc的面積sacsin bac4.故選a.(2)

13、在abc中，3acos abcos cccos b，3sin acos asin bcos csin ccos bsin(bc)sin a，即3sin acos asin a，又a(0，)，sin a0，cos a.bc3，兩邊平方可得b2c22bc9，由b2c22bc，可得92bc2bc4bc，解得bc，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立，由a2b2c22bccos a，可得a2b2c2bc(bc)29×3，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立，a的最小值為.故選b.求解三角形中的最值、范圍問題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以

14、利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)注意題目中的隱含條件，如本例中銳角三角形的條件，又如abc，0a，bcabc，三角形中大邊對(duì)大角等1.在鈍角abc中 ，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，b為鈍角，若acos absin a，則sin asin c的最大值為()a.b.c1 d.bacos absin a，由正弦定理可得，sin acos asin bsin a，sin a0，cos asin b，又b為鈍角，ba，sin asin csin asin(ab)sin acos 2asin a12sin2a2，sin asin c的最大值為.2在abc中，b，b60°.(1)求abc周長l的范圍；(2)求abc面積最大值解(1)lac，b23a2c22accos 60°a2c2ac，(ac)23ac3，(ac)233ac3×2，ac2，當(dāng)僅僅當(dāng)ac時(shí)，取“”，又ac，2l3.(2)b23a2c2ac2acac，ac3，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，取“”，sabcacsin b×3×sin 60°，abc面積最大值為.教師備選例題設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分