最新八級(jí)下冊勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納資料

1、學(xué)習(xí)資料八年級(jí)下冊勾股定理知識(shí)點(diǎn)和典型例習(xí)題D一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：H勾股定理EFb內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；Ac表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a ， b ，斜邊為 c ，那么 a 2b 2c2b .勾股定理的證明ac勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是bc圖形通過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理a常見方法如下：方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD，化簡可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與

2、小正方形面積的和為 S 41ab c22ab c2大正方形面積為B2S ( a b )2a22abb 2所以 a 2b 2c2方法三： S梯形1(ab)(a b) ， S梯形2S ADES ABE21ab1c2 ，化簡得證222 .勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在ABC 中，C90 ，則 cCGaBacbcabAaDcbcEabCa2b2 ，bc2a 2 ， ac2b 2 知道

3、直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a ， b ， c 滿足 a 2b2c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c 為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a 2b2 與較長邊的平方 c2 作比較，若它們相等時(shí)，以a ，b ， c 為三邊的三角形是直角三角形；否則，就不是直角三角形。定理中 a ， b ， c 及 a2b2c2 只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a ， b ， c 滿足a2c2b

4、2 ，那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即 a2b2c2 中， a ， b ， c 為正整數(shù)時(shí)， 稱 a ， b ，c 為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 ， 8,15,17 等用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù)：精品文檔學(xué)習(xí)資料22（ n 2, n為正整數(shù)）；22（ n 為正整數(shù)）；n1,2n,n 12n 1,2n2n,

5、2n 2n 1m2n2 ,2 mn,m2n 2 （ mn, m ， n 為正整數(shù)）勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題 在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)

6、誤的結(jié)論 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決常見圖形：CCCC30°BAADBADBABD二、 經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例 .在 ABC 中，C90已知 AC6， BC8求 AB 的長已知 AB17， AC 15，求 BC 的長分析：直接應(yīng)用勾股定理222abc解： ABAC2BC 210 BCAB2AC28題型二：利用勾股定理測量長度例題 1 如果梯子的底端離建筑物9 米，那么15 米長的梯子可以到達(dá)

7、建筑物的高度是多少米？解析： 這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，. 已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理2222222所以 AC=12.AC+BC=AB, 即 AC+9 =15 , 所以 AC=144,例題 2 如圖（ 8），水池中離岸邊D點(diǎn) 1.5米的 C 處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B 恰好落到 D 點(diǎn)，并求水池的深度AC.解析： 同例題1 一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2. 由題意可知 ACD中 , ACD=90° , 在 Rt ACD

8、中，只知道 CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：精品文檔學(xué)習(xí)資料解：如圖 2，根據(jù)勾股定理，222AC+CD=AD設(shè)水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.5 2=（ x+0.5 ） 2解之得 x=2.故水深為 2 米.題型三 ：勾股定理和逆定理并用例題 3 如圖 3，正方形 ABCD中， E是 BC邊上的中點(diǎn)， F 是 AB上一點(diǎn)，且 FB1 AB 那么 DEF是直角三角形4嗎？為什么？解析： 這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由 FB1

9、 AB 可以設(shè) AB=4a，那么 BE=CE=2a,AF=3a,BF= a, 那么在 Rt AFD 、Rt BEF4和 Rt CDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。 詳細(xì)解題步驟如下：解：設(shè)正方形 ABCD的邊長為 4a, 則 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a222222在 Rt CDE中， DE=CD+CE=(4 a) +( 2 a) =20a同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF中， EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且DEF=90° .注：

10、本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四 ：利用勾股定理求線段長度例題 4 如圖 4，已知長方形ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在邊 CD上取一點(diǎn) E，將 ADE折疊使點(diǎn) D 恰好落在 BC邊上的點(diǎn) F，求 CE的長 .解析： 解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。解：根據(jù)題意得Rt ADE Rt AEF AFE=90° , AF=10cm, EF=DE設(shè) CE=xcm，則 DE=EF=CD CE=8 x在 Rt ABF中由勾股定理得：222222，AB +BF =AF，即 8 +BF =10 BF=6cmCF=BC BF=10 6=4(cm)在

11、Rt ECF中由勾股定理可得：2222222 x=3(cm), 即 CE=3 cmEF =CE+CF，即 (8 x)=x +4 6416x+x =2+16注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題 5如圖 5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和 CD邊，他測得精品文檔學(xué)習(xí)資料AD=80cm， AB=60cm，BD=100cm， AD邊與 AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證AD邊與 CD邊是否垂直？解析： 由于實(shí)物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗(yàn)證。如圖4，矩形 ABCD表示桌面形狀，在AB上截取 AM=12cm,

12、在 AD上截取 AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長度？) ，連結(jié) MN，測量 MN的長度。222如果 MN=15,則 AM+AN=MN, 所以 AD邊與 AB邊垂直；如果 MN=a 15, 則 92 +122=81+144=225,a2 225, 即 92 +122 a2，所以 A 不是直角。例題 6 有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5 米的墻上，任何東西只要移至 5 米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5 米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析： 首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5 米還是腳先距離燈5 米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6 所示

13、， A 點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BC MN,BC AN當(dāng)頭（ B 點(diǎn)）距離A 有 5 米時(shí)，求BC的長度。已知AN=4.5 米 , 所以 AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4 米 . 即使要走到離門4 米的時(shí)候燈剛好打開。題型六 ：關(guān)于翻折問題如圖，矩形紙片ABCD的邊 AB=10cm，BC=6cm， E 為 BC 上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE 折疊，點(diǎn)B 恰好落在CD邊上的點(diǎn) G處，求 BE的長.變式：如圖， AD 是 ABC的中線， ADC=45°，把 ADC 沿直線 AD 翻折，點(diǎn) C 落在點(diǎn) C的位置， BC=4,求 BC 的長 .三、勾股定理練習(xí)題（一）、選擇題1、下

14、列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A： 4，5， 6B： 1，1， 2C：6，8，11D：5， 12， 232、在 Rt ABC中， C90°， a 12， b16，則 c 的長為 ( ) A：26 B： 18C ：20 D ：213、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P 的坐標(biāo)是 (3,4) ，則 OP的長為 ()A：3B ： 4C ：5D ： 74、在 Rt ABC中， C90°， B 45° ,c 10，則 a 的長為 () A：5B： 10C ：D ： 5505、已知 Rt ABC中， C=90°，若 a+b=14cm， c=10cm，則 Rt ABC

15、的面積是（）2B、 36cm22D、 60cm2A 、 24cmC、 48cm6、若等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，則底邊上的高為（）A、6B、7C、8D、97、已知，如圖長方形ABCD中， AB=3cm， AD=9cm，AED精品文檔BFC第 7 題學(xué)習(xí)資料將此長方形折疊，使點(diǎn)B 與點(diǎn) D重合，折痕為EF，則 ABE的面積為（2222） A 、 3cmB 、 4cmC 、 6cm D 、 12cm8、若 ABC中， AB13cm, AC15cm ，高 AD=12,則 BC的長為A 、14B、4C、14 或 4 D、以上都不對(duì)BC9、 如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則 A

16、BC是 （）（A）直角三角形(B) 銳角三角形 (C) 鈍角三角形(D) 以上答案都不對(duì)10、在一棵樹的10 米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20 米處的池A塘的 A 處。另一只爬到樹頂D 后直接躍到 A 處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹D高是（）A、 17B、 14C 、16D、15B（二）、填空題1、若一個(gè)三角形的三邊滿足c2a2b2 ，則這個(gè)三角形是。CA第 10題圖2、木工師傅要做一個(gè)長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為 60cm，對(duì)角線為 100cm，則這個(gè)桌面。（填“合格”或“不合格”）3、直角三角形兩直角邊長分別為3 和 4，則它斜邊上的高為

17、 _。4、如右圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，則正方形 A， B， C，D 的面積的和為。5、如右圖將矩形 ABCD沿直線 AE折疊 , 頂點(diǎn) D恰好落在 BC邊上 F 處 ,AD已知 CE=3,AB=8,則 BF=_。6、將一根長為 15 的筷子置于底面直徑為5 ，高為 12 的圓柱形水杯中，E設(shè)筷子露在杯子外面的長為h ，則 h 的取值范圍是 _ 。B第 6題圖CF（三）、解答題1、已知 ABC 的三邊分別為k2 1，2k， k2+1 （ k 1），求證： ABC 是直角三角形 .（ 9 分）如圖，在2、如圖，四邊形ABCD中

18、， AB 3cm， BC 4cm， CD 12cm， DA13cm，且 ABC 900 ，求四邊形ABCD的面積。（2 題圖）精品文檔學(xué)習(xí)資料3如圖，在Rt ABC中， ACB=90°， CDAB， BC=6， AC=8，AADD求 AB、 CD的長BCE（3 題圖）BFC（ 4題圖）4如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為 8cm， ?長 BC?為 10cm當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn) D 落在 BC邊上的點(diǎn)F 處（折痕為AE）想一想，此時(shí)EC有多長？ ?5如圖， A、 B 是筆直公路 l 同側(cè)的兩個(gè)村莊，且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是 300m和 500m，兩村莊之間的距離為 d( 已知 d2=400000m2) ，現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空?，使兩村到?？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？BAl（5 題圖）參考答案：（一） 、 、 A、9、A10、 D（二）、直角三角形、合格、 12、6 、（三）、提示：證（ k2 1）2+（2k ）2=（ k2+1） 522、解：連接 AC在 Rt ABC中，= 916 =5cmAB BC342 S ABC=2=6cm在 ACD中，+CD