2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第5講 數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和（解析版）

1、第5講 數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和高考預(yù)測(cè)一：等差等比公式法求和 1已知等比數(shù)列滿(mǎn)足：，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由【解析】解：（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由已知可得解得故（）若，則，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而若，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而故綜上，對(duì)任何正整數(shù)，總有故不存在正整數(shù)，使得成立2記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和已知（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求使得的的取值范圍【解析】解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列中，設(shè)其公差為，若，則，變形可得，即，若，則，則，（2）若，則，當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，有，變形可得，又由，即，則有，即，則有，

2、又由，則有，則有，綜合可得：的取值范圍是，高考預(yù)測(cè)二：裂項(xiàng)相消求和3已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（）若等差數(shù)列滿(mǎn)足，求，的通項(xiàng)公式；（）若_，求數(shù)列的前項(xiàng)和在；這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到第（）問(wèn)中，并對(duì)其求解【解析】解：（）設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得（舍負(fù)），代入得，；則，設(shè)數(shù)列的公差為，則；（）選擇：，則，選擇：，則，；選擇：由（）知；4為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求整數(shù)值【解析】解：（1），兩式相減，得，數(shù)列為常數(shù)列，所以（2）由（1）可得，令，則，數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得，5記為數(shù)列的前項(xiàng)和

3、已知，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，整理，得，解得，或（舍去）當(dāng)時(shí)，由，可得：，兩式相減，可得，整理，得，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）由（1）知，故6已知數(shù)列為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】解：由題設(shè)可得：，；由（）可得：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上，7已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】（1）證明：，又，數(shù)列為首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，；（2）解：由（1）可得：，即，又，當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，

4、也適合上式，高考預(yù)測(cè)三：錯(cuò)位相減求和8已知數(shù)列滿(mǎn)足為實(shí)數(shù)，且，且，成等差數(shù)列（）求的值和的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】解：（）數(shù)列滿(mǎn)足為實(shí)數(shù)，且，且，成等差數(shù)列，所以，即所以，由于，所以，解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（）由（）得：，所以，則，得，整理得9設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列 的首項(xiàng)為，公差為，由， 得解得，因此（2）由題意知：所以， ，兩式相減得整理得，所以數(shù)列 的前 項(xiàng)和10設(shè)等差數(shù)列的公差為前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為已知，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和【

5、解析】解：（1）由題設(shè)知：，解得：或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得，則，又，兩式相減可得：，整理得：高考預(yù)測(cè)四：分組求和11已知等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是120，前20項(xiàng)的和是440（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列的第2項(xiàng)和第5項(xiàng)分別是6和162，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)條件知：，解得：，；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)條件知：，解得：，所以其前項(xiàng)和為12已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，2，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】證明：當(dāng)時(shí)，整理得，是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列解：由得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得綜上，為奇數(shù)），為偶數(shù)）13設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列已知，（）求和的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列