最新復數(shù)知識點歸納學習資料

1、學習資料復數(shù)【知識梳理】一、復數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質(zhì)i 叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：i 可與實數(shù)進行四則運算；i 21 ；這樣方程x21 就有解了，解為 xi 或 xi2、復數(shù)的概念（ 1）定義：形如abi (a，b R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i 叫做虛數(shù)單位， a 叫做，b 叫做。全體復數(shù)所成的集合C 叫做復數(shù)集。復數(shù)通常用字母z 表示，即 zabi (a， b R )對于復數(shù)的定義要注意以下幾點： zabi (a， b R )被稱為復數(shù)的代數(shù)形式，其中bi 表示 b 與虛數(shù)單位 i 相乘復數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)，否則不是代數(shù)形式（ 2）分類：滿足條件 (a， b 為實數(shù) )abi 為實數(shù) ?

2、 b 0復數(shù)的分類abi 為虛數(shù) ? b 0a bi 為純虛數(shù) ? a 0 且 b 0例題： 當實數(shù) m 為何值時，復數(shù)(m5m6)(m23m)i 是實數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？二、復數(shù)相等abicdiac, bd (a,b, c,dR)精品文檔學習資料也就是說，兩個復數(shù)相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等注意： 只有兩個復數(shù)全是實數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知(xy3)( x4)i0 求 x, y 的值三、共軛復數(shù)abi 與 cdi 共軛ac, bd( a,b,c,dR)_a2 b2za bi 的共軛復數(shù)記作z abi ，且 z z四、復數(shù)的幾何意義1、復平面的概念建立直角坐標系

3、來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x 軸叫做實軸，y 軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。2、復數(shù)的幾何意義復數(shù) zabi 與復平面內(nèi)的點Z (a,b) 及平面向量OZ(a,b) (a, bR) 是一一對應關系（復數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對，有序?qū)崝?shù)對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量）相等的向量表示同一個復數(shù)例題：（ 1）當實數(shù) m 為何值時，復平面內(nèi)表示復數(shù)z ( m28m 15) ( m25m 14)i 的點位于第三象限；位于直線 y x 上（ 2）復平面內(nèi)AB( 2,6) ，已知 CD/ AB ，求 CD 對應的復數(shù)3、復數(shù)的模：精品文檔學習資料向量

4、OZ 的模叫做復數(shù)zabi 的模，記作z 或 abi ，表示點(a, b) 到原點的距離，即zabia2b2 ， zz若 z1a bi ， z2c di ， 則z1 z2 表 示 (a, b)到 (c, d )的距離，即z1 z2(a c)2(bd)2例題： 已知 z2i ，求 z1i 的值五、復數(shù)的運算（ 1）運算法則：設z1 a bi， z2c di， a， b， c， d R z1z2abicdi(ac)(bd )i z1 z2(abi ) (cdi )(acbd )(bcad )i z1(abi )(abi )(cdi )(acbd )(bcad)iz2(cdi )(cdi ) (cd

5、i )c2d 2（ 2）幾何意義： 復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行的平行四邊形OZ1 ZZ2 可以直觀地反映出復數(shù)加減法的幾何意義，即OZ2， Z1Z2OZ2 OZ1.六、常用結(jié)論（ 1） i ， i 21 ， i 3i ， i 41求 i n ，只需將 n 除以 4 看余數(shù)是幾就是 i 的幾次例題： i 675（ 2） (1i) 22i ， (1i )22i（3）( 13 i )31， (13 i )312222.如圖給出OZ OZ1精品文檔學習資料【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1) 方程 x2 x 1 0 沒有解 .()(2) 復數(shù)

6、 z a bi(a， b R)中，虛部為bi.()(3) 復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.()(4) 原點是實軸與虛軸的交點.()(5) 復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模.()【考點自測】1.(2015安·徽 )設 i 是虛數(shù)單位，則復數(shù) (1 i)(1 2i) 等于 ()A.3 3iB. 1 3iC.3 iD. 1 i2.(2015課·標全國 )已知復數(shù)z滿足 (z 1)i 1 i，則 z 等于 ()A. 2iB. 2 iC.2 iD.2 i3.在復平面內(nèi)，復數(shù) 6 5i， 2 3i 對應的點分別為 A， B.若

7、C 為線段 AB 的中點，則點C 對應的復數(shù)是 ()A.4 8iB.8 2iC.2 4iD.4 i4.已知 a， b R，i 是虛數(shù)單位 .若 a i 2bi，則 (a bi) 2 等于 ()A.3 4iB.3 4i C.4 3iD.4 3i5.已知 (1 2i) z 4 3i，則 z_.【題型分析】題型一復數(shù)的概念例 1(1)設 i 是虛數(shù)單位 .若復數(shù) z a103 i(a R)是純虛數(shù)，則a 的值為 ()A. 3B. 1C.1D.312z1為純虛數(shù)，則復數(shù)z1的虛部為 ()(2) 已知 a R，復數(shù) z 2 ai ， z 12i，若 z2z2精品文檔學習資料2A.1B.iC.5D.012

8、m 1)( m2 m 4)i( m R) ， z212”的()(3) 若 z (m 3 2i，則“ m 1”是“ zzA. 充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D. 既不充分又不必要條件引申探究1.對本例 (1)中的復數(shù)z，若 |z|10，求 a 的值 .z12.在本例 (2)中，若 z2 為實數(shù)，則a _.思維升華解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1) 復數(shù)的分類及對應點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式 )組即可 .(2) 解題時一定要先看復數(shù)是否為abi( a，b R)的形式，以確定實部和虛部.精品文檔學

9、習資料(1) 若復數(shù)z (x2 1) (x 1)i為純虛數(shù)， 則實數(shù)x的值為()A. 1B.0C.1D.1 或1(2)(2014浙·江 ) 已知i 是虛數(shù)單位，a， bR ，則“a b 1”是“ (a bi) 2 2i”的 ()A. 充分不必要條件C.充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件題型二復數(shù)的運算命題點 1復數(shù)的乘法運算例A.i2(1)(2015·北湖 )i 為虛數(shù)單位，B. iC.1i 607 的共軛復數(shù)為D. 1()(2)(2015北·京 ) 復數(shù)i(2 i) 等于 ()A.1 2iB.1 2iC. 1 2iD. 1 2i命題點 2復數(shù)

10、的除法運算例 3 (1)(2015湖·南 )已知1i2z 1 i(i 為虛數(shù)單位 ) ，則復數(shù) z 等于 ()A.1 iB.1 iC.1 iD. 1i(2)( 1 i)62 3i _.1 i3 2i精品文檔學習資料命題點 3復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合問題例 4 (1)(2015天·津 )i 是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1 2i)( a i) 是純虛數(shù)，則實數(shù)a 的值為 _.(2)(2014江·蘇 )已知復數(shù) z(5 2i) 2(i 為虛數(shù)單位 )，則 z 的實部為 _.命題點 4復數(shù)的綜合運算例 5(1)(2014 安·徽 )設 i 是虛數(shù)單位，z 表示復數(shù) z

11、 的共軛復數(shù) .若 z 1 i，則 z i ·z 等于 ()iA. 2B. 2iC.2D.2i(2) 若復數(shù) z 滿足 (3 4i)z |4 3i|，則 z 的虛部為 ()44A. 4B. 5C.4D.5思維升華復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略(1) 復數(shù)的乘法 .復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i 的看作一類同類項，不含i 的看作另一類同類項，分別合并即可.(2) 復數(shù)的除法 .除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i 的冪寫成最簡形式.(3) 復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題， 先利用復數(shù)的運算法則化簡， 一般化為 a bi(a，bR )的

12、形式，再結(jié)合相關定義解答 .(4) 復數(shù)的運算與復數(shù)幾何意義的綜合題 .先利用復數(shù)的運算法則化簡， 一般化為 abi( a，b R )的形式，再結(jié)合復數(shù)的幾何意義解答 .(5) 復數(shù)的綜合運算.分別運用復數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除， 后算加減，有括號要先算括號里面的.精品文檔學習資料(1)(2015 ·山東 )若復數(shù) z 滿足z i，其中 i 為虛1 i數(shù)單位，則 z 等于 ()A.1 iB.1 iC. 1 iD. 1 i(2) 1 i 2 016 _.1i 2 3 i2 2 016 _.(3)12 3i1i題型三復數(shù)的幾何意義例 6(1)(2014 重&

13、#183;慶 )實部為 2，虛部為1 的復數(shù)所對應的點位于復平面的()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2) ABC 的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1 ，z2， z3，若復數(shù) z 滿足 |z z1| |z z2| |z z3|，則 z 對應的點為 ABC 的 ()A. 內(nèi)心B. 垂心C.重心D. 外心思維升華因為復平面內(nèi)的點、向量及向量對應的復數(shù)是一一對應的，要求某個向量對應的復數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.精品文檔學習資料(1) 如圖，在復平面內(nèi)，點A 表示復數(shù)z，則圖中表示z 的共軛復數(shù)的點是()A. AB.BC.CD.D(2) 已知

14、z 是復數(shù)， z 2i 、 z 均為實數(shù) (i 為虛數(shù)單位 )，且復數(shù) (z ai) 2 在復平面內(nèi)對應的點在第一2 i象限，求實數(shù)a 的取值范圍 .【思想與方法】解決復數(shù)問題的實數(shù)化思想典例已知 x， y 為共軛復數(shù)，且(xy)2 3xyi 4 6i，求 x， y.思維點撥(1) x， y 為共軛復數(shù)，可用復數(shù)的基本形式表示出來；精品文檔學習資料(2) 利用復數(shù)相等，將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.溫馨提醒(1) 復數(shù)問題要把握一點，即復數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復數(shù)問題最基本的思想方法.(2) 本題求解的關鍵是先把x、 y 用復數(shù)的基本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學方法 .(3)

15、本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.【方法與技巧】1.復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.2.復數(shù) z abi( a，b R )是由它的實部和虛部唯一確定的，兩個復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法.對于一個復數(shù)z a bi(a， b R)，既要從整體的角度去認識它，把復數(shù)看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認識.3.在復數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應向量的三角形法則，其方向是應注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.【失誤與防范】1.判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0 是不夠的，還

16、需考慮它的實部是否有意義.2.兩個虛數(shù)不能比較大小.3.注意復數(shù)的虛部是指在abi(a， b R )中的實數(shù)b，即虛部是一個實數(shù).【鞏固練習】1.(2015福·建 )若 (1 i) (2 3i) a bi(a， b R， i 是虛數(shù)單位 )，則 a，b 的值分別等于 ()A.3 ， 2B.3,2C.3，3D. 1,42.設 z1 i，則 |z|等于 ()1 i精品文檔學習資料123A.2B. 2C. 2D.23.(2015 課·標全國 )若 a 為實數(shù)，且 (2 ai)(a 2i) 4i，則 a 等于 ()A. 1B.0C.1D.24.若 i 為虛數(shù)單位，圖中復平面內(nèi)點Z

17、表示復數(shù)z，則表示復數(shù)z 的點是 ()1 iA. EB.FC.GD.H5.(2014江·西 ) z 是 z 的共軛復數(shù)，若z z 2， (z z )i 2(i為虛數(shù)單位 )，則 z 等于 ()A.1 iB. 1 iC. 1 iD.1 i6.(2015江·蘇 )設復數(shù) z 滿足 z2 3 4i(i 是虛數(shù)單位 )，則 z 的模為 _.3 bi abi(a，b 為實數(shù)， i 為虛數(shù)單位 )，則 a b_.7.若 1 i8.復數(shù) (3 i)m (2 i)對應的點在第三象限內(nèi)，則實數(shù)m 的取值范圍是 _.9.計算： (1) 1 i 2 i1 2i2 3 1 i1 i21 i2； (

18、4)1 3ii3；(2)； (3)1 i1 i.2i3 i 2精品文檔學習資料13 (10 a222 (2a 5)i，若 z 1 2是實數(shù)，求實數(shù)a 的值 .10.復數(shù) z a 5)i， z 1 a z【能力提升】11.復數(shù) z1， z2 滿足 z1 m (4 m2)i ，z2 2cos ( 3sin )i( m， ， R)，并且 z1 z2，則 的取值范圍是 ()A. 1,1B. 9，1C. 9，7D. 9， 71616161 in 1 in*12.設 f(n) 1 i1 i(n N)，則集合 f(n) 中元素的個數(shù)為 ()A.1B.2C.3D.無數(shù)個13.已知復數(shù) z x yi，且 |z 2|y的最大值為 _.3，則 xa 1 i在復平面內(nèi)對應的點在直線x y 0 上，則 a 的值為 _.14.設 a R，若復數(shù) z1 i215.若 12i 是關于 x 的實系數(shù)方程x2 bxc 0 的一個復數(shù)根，則b _， c _.【鞏固練習參考答案】21A.2.B.3.B.4.D.5.D.6.5.7.3.8.m<3.精品文檔學習資料 1 i2 i3 i9.解(1)i3 i 1 3i.1 2i 2 3 1 i 3 4i 3 3iii 2 i1 2i.(2)2i2 i2 i5 5 51i1 i1 i1 i1 i 1 i(3) 1 i 2