最新復數知識點歸納學習資料

1、學習資料復數【知識梳理】一、復數的基本概念1、虛數單位的性質i 叫做虛數單位，并規(guī)定：i 可與實數進行四則運算；i 21 ；這樣方程x21 就有解了，解為 xi 或 xi2、復數的概念（ 1）定義：形如abi (a，b R)的數叫做復數，其中i 叫做虛數單位， a 叫做，b 叫做。全體復數所成的集合C 叫做復數集。復數通常用字母z 表示，即 zabi (a， b R )對于復數的定義要注意以下幾點： zabi (a， b R )被稱為復數的代數形式，其中bi 表示 b 與虛數單位 i 相乘復數的實部和虛部都是實數，否則不是代數形式（ 2）分類：滿足條件 (a， b 為實數 )abi 為實數 ?

2、 b 0復數的分類abi 為虛數 ? b 0a bi 為純虛數 ? a 0 且 b 0例題： 當實數 m 為何值時，復數(m5m6)(m23m)i 是實數？虛數？純虛數？二、復數相等abicdiac, bd (a,b, c,dR)精品文檔學習資料也就是說，兩個復數相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等注意： 只有兩個復數全是實數，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知(xy3)( x4)i0 求 x, y 的值三、共軛復數abi 與 cdi 共軛ac, bd( a,b,c,dR)_a2 b2za bi 的共軛復數記作z abi ，且 z z四、復數的幾何意義1、復平面的概念建立直角坐標系

3、來表示復數的平面叫做復平面，x 軸叫做實軸，y 軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數。2、復數的幾何意義復數 zabi 與復平面內的點Z (a,b) 及平面向量OZ(a,b) (a, bR) 是一一對應關系（復數的實質是有序實數對，有序實數對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量）相等的向量表示同一個復數例題：（ 1）當實數 m 為何值時，復平面內表示復數z ( m28m 15) ( m25m 14)i 的點位于第三象限；位于直線 y x 上（ 2）復平面內AB( 2,6) ，已知 CD/ AB ，求 CD 對應的復數3、復數的模：精品文檔學習資料向量

4、OZ 的模叫做復數zabi 的模，記作z 或 abi ，表示點(a, b) 到原點的距離，即zabia2b2 ， zz若 z1a bi ， z2c di ， 則z1 z2 表 示 (a, b)到 (c, d )的距離，即z1 z2(a c)2(bd)2例題： 已知 z2i ，求 z1i 的值五、復數的運算（ 1）運算法則：設z1 a bi， z2c di， a， b， c， d R z1z2abicdi(ac)(bd )i z1 z2(abi ) (cdi )(acbd )(bcad )i z1(abi )(abi )(cdi )(acbd )(bcad)iz2(cdi )(cdi ) (cd

5、i )c2d 2（ 2）幾何意義： 復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行的平行四邊形OZ1 ZZ2 可以直觀地反映出復數加減法的幾何意義，即OZ2， Z1Z2OZ2 OZ1.六、常用結論（ 1） i ， i 21 ， i 3i ， i 41求 i n ，只需將 n 除以 4 看余數是幾就是 i 的幾次例題： i 675（ 2） (1i) 22i ， (1i )22i（3）( 13 i )31， (13 i )312222.如圖給出OZ OZ1精品文檔學習資料【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1) 方程 x2 x 1 0 沒有解 .()(2) 復數

6、 z a bi(a， b R)中，虛部為bi.()(3) 復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小.()(4) 原點是實軸與虛軸的交點.()(5) 復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模.()【考點自測】1.(2015安·徽 )設 i 是虛數單位，則復數 (1 i)(1 2i) 等于 ()A.3 3iB. 1 3iC.3 iD. 1 i2.(2015課·標全國 )已知復數z滿足 (z 1)i 1 i，則 z 等于 ()A. 2iB. 2 iC.2 iD.2 i3.在復平面內，復數 6 5i， 2 3i 對應的點分別為 A， B.若

7、C 為線段 AB 的中點，則點C 對應的復數是 ()A.4 8iB.8 2iC.2 4iD.4 i4.已知 a， b R，i 是虛數單位 .若 a i 2bi，則 (a bi) 2 等于 ()A.3 4iB.3 4i C.4 3iD.4 3i5.已知 (1 2i) z 4 3i，則 z_.【題型分析】題型一復數的概念例 1(1)設 i 是虛數單位 .若復數 z a103 i(a R)是純虛數，則a 的值為 ()A. 3B. 1C.1D.312z1為純虛數，則復數z1的虛部為 ()(2) 已知 a R，復數 z 2 ai ， z 12i，若 z2z2精品文檔學習資料2A.1B.iC.5D.012

8、m 1)( m2 m 4)i( m R) ， z212”的()(3) 若 z (m 3 2i，則“ m 1”是“ zzA. 充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D. 既不充分又不必要條件引申探究1.對本例 (1)中的復數z，若 |z|10，求 a 的值 .z12.在本例 (2)中，若 z2 為實數，則a _.思維升華解決復數概念問題的方法及注意事項(1) 復數的分類及對應點的位置都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式 )組即可 .(2) 解題時一定要先看復數是否為abi( a，b R)的形式，以確定實部和虛部.精品文檔學

9、習資料(1) 若復數z (x2 1) (x 1)i為純虛數， 則實數x的值為()A. 1B.0C.1D.1 或1(2)(2014浙·江 ) 已知i 是虛數單位，a， bR ，則“a b 1”是“ (a bi) 2 2i”的 ()A. 充分不必要條件C.充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件題型二復數的運算命題點 1復數的乘法運算例A.i2(1)(2015·北湖 )i 為虛數單位，B. iC.1i 607 的共軛復數為D. 1()(2)(2015北·京 ) 復數i(2 i) 等于 ()A.1 2iB.1 2iC. 1 2iD. 1 2i命題點 2復數

10、的除法運算例 3 (1)(2015湖·南 )已知1i2z 1 i(i 為虛數單位 ) ，則復數 z 等于 ()A.1 iB.1 iC.1 iD. 1i(2)( 1 i)62 3i _.1 i3 2i精品文檔學習資料命題點 3復數的運算與復數概念的綜合問題例 4 (1)(2015天·津 )i 是虛數單位，若復數(1 2i)( a i) 是純虛數，則實數a 的值為 _.(2)(2014江·蘇 )已知復數 z(5 2i) 2(i 為虛數單位 )，則 z 的實部為 _.命題點 4復數的綜合運算例 5(1)(2014 安·徽 )設 i 是虛數單位，z 表示復數 z

11、 的共軛復數 .若 z 1 i，則 z i ·z 等于 ()iA. 2B. 2iC.2D.2i(2) 若復數 z 滿足 (3 4i)z |4 3i|，則 z 的虛部為 ()44A. 4B. 5C.4D.5思維升華復數代數形式運算問題的常見類型及解題策略(1) 復數的乘法 .復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i 的看作一類同類項，不含i 的看作另一類同類項，分別合并即可.(2) 復數的除法 .除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i 的冪寫成最簡形式.(3) 復數的運算與復數概念的綜合題， 先利用復數的運算法則化簡， 一般化為 a bi(a，bR )的

12、形式，再結合相關定義解答 .(4) 復數的運算與復數幾何意義的綜合題 .先利用復數的運算法則化簡， 一般化為 abi( a，b R )的形式，再結合復數的幾何意義解答 .(5) 復數的綜合運算.分別運用復數的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除， 后算加減，有括號要先算括號里面的.精品文檔學習資料(1)(2015 ·山東 )若復數 z 滿足z i，其中 i 為虛1 i數單位，則 z 等于 ()A.1 iB.1 iC. 1 iD. 1 i(2) 1 i 2 016 _.1i 2 3 i2 2 016 _.(3)12 3i1i題型三復數的幾何意義例 6(1)(2014 重&

13、#183;慶 )實部為 2，虛部為1 的復數所對應的點位于復平面的()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2) ABC 的三個頂點對應的復數分別為z1 ，z2， z3，若復數 z 滿足 |z z1| |z z2| |z z3|，則 z 對應的點為 ABC 的 ()A. 內心B. 垂心C.重心D. 外心思維升華因為復平面內的點、向量及向量對應的復數是一一對應的，要求某個向量對應的復數時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可.精品文檔學習資料(1) 如圖，在復平面內，點A 表示復數z，則圖中表示z 的共軛復數的點是()A. AB.BC.CD.D(2) 已知

14、z 是復數， z 2i 、 z 均為實數 (i 為虛數單位 )，且復數 (z ai) 2 在復平面內對應的點在第一2 i象限，求實數a 的取值范圍 .【思想與方法】解決復數問題的實數化思想典例已知 x， y 為共軛復數，且(xy)2 3xyi 4 6i，求 x， y.思維點撥(1) x， y 為共軛復數，可用復數的基本形式表示出來；精品文檔學習資料(2) 利用復數相等，將復數問題轉化為實數問題.溫馨提醒(1) 復數問題要把握一點，即復數問題實數化，這是解決復數問題最基本的思想方法.(2) 本題求解的關鍵是先把x、 y 用復數的基本形式表示出來，再用待定系數法求解.這是常用的數學方法 .(3)

15、本題易錯原因為想不到利用待定系數法，或不能將復數問題轉化為實數方程求解.【方法與技巧】1.復數的代數形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數化的過程.2.復數 z abi( a，b R )是由它的實部和虛部唯一確定的，兩個復數相等的充要條件是復數問題轉化為實數問題的主要方法.對于一個復數z a bi(a， b R)，既要從整體的角度去認識它，把復數看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認識.3.在復數的幾何意義中，加法和減法對應向量的三角形法則，其方向是應注意的問題，平移往往和加法、減法相結合.【失誤與防范】1.判定復數是實數，僅注重虛部等于0 是不夠的，還

16、需考慮它的實部是否有意義.2.兩個虛數不能比較大小.3.注意復數的虛部是指在abi(a， b R )中的實數b，即虛部是一個實數.【鞏固練習】1.(2015福·建 )若 (1 i) (2 3i) a bi(a， b R， i 是虛數單位 )，則 a，b 的值分別等于 ()A.3 ， 2B.3,2C.3，3D. 1,42.設 z1 i，則 |z|等于 ()1 i精品文檔學習資料123A.2B. 2C. 2D.23.(2015 課·標全國 )若 a 為實數，且 (2 ai)(a 2i) 4i，則 a 等于 ()A. 1B.0C.1D.24.若 i 為虛數單位，圖中復平面內點Z

17、表示復數z，則表示復數z 的點是 ()1 iA. EB.FC.GD.H5.(2014江·西 ) z 是 z 的共軛復數，若z z 2， (z z )i 2(i為虛數單位 )，則 z 等于 ()A.1 iB. 1 iC. 1 iD.1 i6.(2015江·蘇 )設復數 z 滿足 z2 3 4i(i 是虛數單位 )，則 z 的模為 _.3 bi abi(a，b 為實數， i 為虛數單位 )，則 a b_.7.若 1 i8.復數 (3 i)m (2 i)對應的點在第三象限內，則實數m 的取值范圍是 _.9.計算： (1) 1 i 2 i1 2i2 3 1 i1 i21 i2； (

18、4)1 3ii3；(2)； (3)1 i1 i.2i3 i 2精品文檔學習資料13 (10 a222 (2a 5)i，若 z 1 2是實數，求實數a 的值 .10.復數 z a 5)i， z 1 a z【能力提升】11.復數 z1， z2 滿足 z1 m (4 m2)i ，z2 2cos ( 3sin )i( m， ， R)，并且 z1 z2，則 的取值范圍是 ()A. 1,1B. 9，1C. 9，7D. 9， 71616161 in 1 in*12.設 f(n) 1 i1 i(n N)，則集合 f(n) 中元素的個數為 ()A.1B.2C.3D.無數個13.已知復數 z x yi，且 |z 2|y的最大值為 _.3，則 xa 1 i在復平面內對應的點在直線x y 0 上，則 a 的值為 _.14.設 a R，若復數 z1 i215.若 12i 是關于 x 的實系數方程x2 bxc 0 的一個復數根，則b _， c _.【鞏固練習參考答案】21A.2.B.3.B.4.D.5.D.6.5.7.3.8.m<3.精品文檔學習資料 1 i2 i3 i9.解(1)i3 i 1 3i.1 2i 2 3 1 i 3 4i 3 3iii 2 i1 2i.(2)2i2 i2 i5 5 51i1 i1 i1 i1 i 1 i(3) 1 i 2