傳球問題的探究性學(xué)習(xí)

1、傳球問題的採屯性學(xué)習(xí)山東省臨沐縣實驗中學(xué)李錦旭（276700 ）一 問題背景山東臨沂市2006年1月份高三模擬考試卷中有一道關(guān)于傳球問題的試題：三人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲 手中，則不同的傳球方法的種數(shù)是（）（a） 6（b） 8（c） 10（d） 16本題主要考查排列組合中的計數(shù)問題，當(dāng)時我校學(xué)生的得分情況并不理想：筆者所任 教班級為實驗班（學(xué)生的成績普遍較好），但是選擇正確答案（c）的僅為30%,其余選項基 本平均！進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)同學(xué)沒有明確的解題思路：有的根本就不理解題意；有 的只會使用列舉法進行直觀列舉，但不能按一定順序?qū)⑺星闆r一一窮

2、盡，有遺漏現(xiàn)象； 選（c）的同學(xué)中也有是蒙對的，其實并不真正理解題意；絕大多數(shù)同學(xué)沒有轉(zhuǎn)化問題的意 識，不能通過聯(lián)想已經(jīng)解決的熟悉問題來建立數(shù)學(xué)模型求解，表現(xiàn)出抽象思維的貧乏與薄 弱。事實上，對這種似乎是非常規(guī)性的問題，往往難以用常規(guī)題型的通常解法去順利解答; 我們有些老師做起來也不容易盡快找到切入點，評講時就難以點撥到位我感覺這是一道極 具思維訓(xùn)練價值的好題，值得深入研究，于是組織學(xué)生進行研究性學(xué)習(xí)。二分組討論多向求解師 （簡要介紹做題情況與試題特點后）這真是一道難題嗎？同學(xué)們能用所學(xué)過的相關(guān)知識與方法來求解嗎？（留給學(xué)生充分獨立思考、探索和自由交流討論的時空）1.將傳球路線一一列舉，進行直

3、觀求解:甲一乙一,內(nèi)將學(xué)生討論的結(jié)果歸類如下:生1考慮傳球次數(shù)不多， 可用枚舉法畫出詳細樹狀圖（圖1）,甲先 傳球給乙（上面的一條道路）到最后回到 甲手中，共有五種傳球方法；同理甲先傳 球給丙，由對稱性可知也有五種傳球方法; 故共有10種傳球方法.生2由于球開始和結(jié)束都在甲手中，因此球第一次傳出后及最后一次傳出前必須不在甲手中，不妨把乙、丙統(tǒng)稱為“非”（意為非甲），故 只要確定中間幾次傳球的情況即可傳球線路如圖2,圖中表示傳球方向，“t ”之上所附數(shù)字表示對應(yīng)于此步的傳球方法數(shù).甲所以，本題傳球的不同方法數(shù)是2xlx2xlxl + 2xlxlxlxl + 2xlxlx2x 1=10.2.與已有

4、知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系，廣泛聯(lián)想與想象，進行發(fā)散思維，建模求解：生3聯(lián)想到2003年新課程卷文科高考試題第16題：123456圖3將3種作物種植在并排的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種 植同一作物，不同的種植方法共有種.可以將本題進行等價轉(zhuǎn)化為涂色模型：相當(dāng)于給 圖3六個方格涂紅、黃、藍三種顏色，要求第1、6兩 格涂紅色，每個方格涂一種顏色，并且相鄰的兩個方格 涂不同的顏色的方法種數(shù).分類討論如下： 針對紅色還可涂在國或國當(dāng)中，分三種情況：（1）若國涂紅色，則那同只能涂黃、藍兩色，有盤種方法，而因只能選擇黃、藍 兩色之一，有力;種方法，由乘法原理知有種方法；（2）若國涂紅色，同理有4種

5、 方法；（3）回、國都不涂紅色，則只能在回、g選涂一種顏色，在回、國涂另一種顏色，有4； 種方法；綜上，共有2a；+=2x4+2=10種方法.生4改變問題的敘述形式，就成為很熟悉的排數(shù)模型：用1、2、3三個數(shù)字排成6位整數(shù)，要求首位和末位排1,且任意相鄰的兩個數(shù)碼不 相同，可以得到多少個不同的6位整數(shù)？（解略）三進一步採老師上述4位同學(xué)的4種解法都具有一定的代表性，如何將問題及其解答向一般情況推 廣，來進一步揭示問題的規(guī)律，認識問題的本質(zhì)呢？生5將此問題向一般情況引申，有推廣1甲乙丙三個人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過次傳 球后，球又回到甲手中，則不同的傳球方法有多少種？問題一

6、經(jīng)引向一般，上述4種具體解法就難以完全套用！但是可以受其方法的啟發(fā)-一- 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題背后的規(guī)律：生6設(shè)經(jīng)過次傳球后，球在甲手中的不同方法有心種，球不在甲手中的不同方 法有仇種，則有：=0,經(jīng)過”次傳球后共有2"種不同的傳球方法；經(jīng)過次傳球后球要么在甲手中，要么不在，可得2n = atbn；第-1次傳球后，球在甲手中，則下 一次必不在甲手中（甲傳出去有兩種可能）；第斤-1次傳球后，球不在甲手中，則下一次可 以傳到甲手中（乙可以傳給甲或丙，丙可以傳給甲或乙，各有兩種可能）；經(jīng)過"次傳球 后,球在甲手中有鑫種方法，等于第n-1次傳球后球不在甲手中的方法數(shù)仇，即an = bn

7、_., 且" +仇_ =2心.所以役“ （do這是此數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合® =0可得陽-斗=-（-二），于是數(shù)列«_斗是首項為-彳,公比為-1的等比數(shù)列,即解得色/+（,）” 2.評注：對g）式學(xué)生出現(xiàn)多種轉(zhuǎn)化方式，如變形為貓+抄斗即貓寺-掙弓則僚弓是以比以為首項的等比數(shù)列。233（b）由（i）式可得an+1 =t-an （ii）,兩式相減得%_%=2“二再分奇偶項求 解后合成即可。原題的解即為6/5 =10當(dāng)然，也可推知球不在甲手中有25 -10 = 22種方法；根據(jù)等 可能性，傳到乙、丙手中各有11種情況.近閱文1,正好是上述推廣1,所給解法是上述（a）,容

8、易看出：其法沒有生6的 解法簡捷！生7若從概率的等可能性和互斥角度來理解，下面的解法別有趣味：由于球由某人手中向下一個目標(biāo)傳遞有2種方法，經(jīng)過次傳球后共有2”種不同的傳 球方法，這些方法是等可能的，且任意兩種不同傳球是互斥的球在甲手中的不同方法有色 種，不在甲手中的不同方法有仇種，記石為經(jīng)“次傳球回到甲手中的事件，則pm = *， 呃）嶺，且呱） = 0,代（石）+呃）=1,臨）上篤3 （由仃h易得）. 1 1 1 1 1 1 整理為代（）-齊jh（g）-§），顯然是首項為一亍公比為一的 等比數(shù)列，即 詼）_$*><（*）心，解得詠）三+雖芻，由pm = 9得生8改進生3

9、的涂色模型，把圖3ait=t-pm =證|粘起來，并作推廣，如圖4： 梶球從甲開始，相當(dāng)于區(qū)域1只涂固定顏色（如紅色），現(xiàn)假設(shè)可任意涂色，則 區(qū)域1可有3種涂法，其它區(qū)域都各有2種 涂法，但區(qū)域與區(qū)域1有兩種情況：同色 與異色。同色相當(dāng)于合并，為異色正好為3%。故 3匕=32"“ 一 即色 + -1 = 2/,-1 （下略）評注：生6, 7, 8的解法均較為簡捷，建模意識強，確有創(chuàng)意！生9將此問題再推廣，可有推廣2甲乙丙丁四個人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過斤次傳球 后，球又回到甲手中，則不同的傳球方法有多少種？生10直觀列舉，歸納概括找規(guī)律：列出傳球的樹狀圖如圖1,

10、觀察此圖易得如下結(jié)論：次數(shù)甲乙丙t一次0111二次3222三次6777四次21202020五次60616161 觀察上表，可總結(jié)概括傳球規(guī)律：下一次某人的種數(shù)為他前邊另幾人傳球種數(shù)之和。 于是對于甲來說，其傳接球規(guī)律為次數(shù)經(jīng)h次傳球后回到甲手中的方法數(shù)*一次3】-(0 + 1)-(0 + 1)-(0 + 1)二次3?-(3-1)-(3-1)-(3-1)三次3'-(6 + 1)-(6 + 1)-(6 + 1)四次34-(21-1)-(21-1)-(21-1)五次3'-(60+1) (60 + 1) (60 + 1) 綜上可得結(jié)論:當(dāng)兀為偶數(shù)時，（色1）（色1）（色1）,即。=工三

11、當(dāng)n為奇數(shù)時，=3”a+1）（%+1）-a+1）,即=工于是有。丿+"3.“4評注：這位學(xué)生雖未給出證明，不是很嚴(yán)格，但能夠進行如上的直觀列舉，并借此較容 易地發(fā)現(xiàn)問題背后的規(guī)律，實己屬難得！生11由傳球規(guī)律可知：要使第宛次傳球后球回到甲手中，則第斤-1次傳球后球必 不在甲手中，易得an= -an_sn>2）.于是，進行迭代求解，有%嚴(yán)3心一3心+%2=當(dāng)為偶數(shù)時，an= 3心一 3n'2 一+ （-if3 32 + a2 =蘭空.綜上，有+(”3”4生12 (歸納一猜想一證明)3次傳球后，若球傳回甲手中，則第1, 2次接球的是 乙丙丁三人中的兩人，且有次序，故角二笛=

12、6二手；經(jīng)4次傳球后，若球傳回甲手中, 則有以下兩種情況：第2次沒有傳給甲：3x2x2 = 12,第2次傳給甲：3xlx3 = 9,故1o n3°+3務(wù)帕3"+(-1)"3=12 + 9 = 21=猜想:an =4"4證明用數(shù)學(xué)歸納法：(1) 當(dāng)n = 2時，由a2 = 2知結(jié)論成立；(2) 假設(shè)當(dāng)n = k時命題成立，即 3*+(-1產(chǎn)3側(cè)當(dāng)n = k + i時，傳第k4£ + 1次回到甲的手中，不管第£次是否傳到甲的手中，共有3*種方法。但事實上，第£次 不可能傳到甲的手中，而第k次傳到甲的手中的方法種數(shù)恰好為,于是3*

13、十（-1產(chǎn)343如1+(_)“3即猜想對n = k + i也成立。由(1) (2)兩步可知，猜想對任意hgtv*都成立。生13將此問題一般化，有推廣3 m (m>3)人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過次傳 球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方法的種數(shù)是多少？簡析 由上述“研究”過程作基礎(chǔ)，不難得到色=(_1)”+(_1)”5_1)牛皿 m并且出現(xiàn)了猜證法、建立遞推關(guān)系式at+an=(m-ya. =0)后用多種方法求色、 類似于生7的概率模型法等多種證法；這里摘取并不“簡捷”卻有趣味的幾種解法： 生14甲傳給非甲的情況共有加-1種，非傳給非有加-2種，非傳給甲只有1種, 如圖

14、：甲_心_非_加 j非>非_叱3_非一甲按照在這次傳球過程中甲總共觸球的次數(shù)進行分類，可有以下情況：(1) 甲共觸球2次即只有第一次傳出和最后一次接球(中間不接傳)，這時非與非共傳 球 一 2次，可得傳球次數(shù)為m = (m 一 l)(m- 2)i ；(2) 甲共觸球3次，即除首末兩次外，中間多了一次觸球機會，這相當(dāng)于用甲去替換其 中一個“非”，當(dāng)然，兩頭的“非”除外，而中間非與非之間共進行/1-2次相互傳球，所 以可以看成有-1個“非”在中間位置上，故甲可以替換的“非”有5-1)-2 = -3個, 即這時情況總數(shù)為n3 = cl(m- l)2(m - 2)心；(3) 甲共觸球4次，當(dāng)傳球

15、/i(/i > 6)次時，從斤-3個位置中選2個甲，但得排除甲兩 兩相鄰的情況兀-4種，故這時的情況數(shù)為c；3 -4) = c；4于是總數(shù)為 n4=cm-l)m-2y-6.所以，當(dāng)為奇數(shù)時，甲最多觸球竺次，這時總數(shù)為n”(加-1) 丁伽-2);2 2當(dāng)為偶數(shù)時，甲最多觸球也次，這時總數(shù)為nn=(m-iy.2于是，傳球的總方法種數(shù)為q” = “2 + + "“ =(加-1)(加-2)-2+ c*_3 （m - l）2（m - 2）i + c；_4 一i）3 （m- 2）“" + 住亠（加-1）4 （m- 2）小“l(fā)】-（w-1） 2 （加一 2）,"為奇數(shù) +

16、 +2(w-1)2,/?為偶數(shù)這個和式的通項公式為m = c：(z (加- i)"' (加-2)心如),k = 0,1,2,號奇)或字 s偶).jj可以證明，(略)m評注:生14的解法確實不夠簡捷，但卻提供了另一類解決此問題的思路，構(gòu)建的數(shù)列n& 也有一定的實用價值。生15采用逆推法并通過建立遞推關(guān)系式來求解：為方便于進行直觀地量化表述，將問題符號化：用兒表示甲，人2,去，表示另mt人，傳球過程可圖示如下：a2_al第一次傳球、a3第二次傳球、a2> amr ama2第n-l次傳球y a3第n次傳球a】a】t>a2第n-2次傳球、a2 r amam設(shè)第z(

17、l <i<n)次傳球時，球從人，每,，九手中傳出后，再經(jīng)過斤-，次傳球又回到人手中的不同傳球方式種數(shù)依次為九,a2 i, a3 i，,am i。由于第川次傳球后球要回到芻手中，所以第兀次傳球時球只能從仏，£，,九手 中傳出直接回到£手中，此時由上圖可知：a2,n = % = = 1，% = m - 1衛(wèi)2心=%一1 =，am,n- =加 一 2-(1)若n=2,由上圖知傳球次數(shù)n =m-l； (2)若n=3,由上圖知傳球次數(shù)n = (m-1) (m-2)； (3)若 a4,由于在第/(3 < / < ,1 - 1)次傳球時球可以從，每，",

18、”中任一 人手中傳出，且a2i=a3j所以當(dāng)3<i<n-1時由上圖可知=(m-lk，-+1。2,廠九+1 +(加一 2)。2陽由得 ali+l =(m- l)a2i+2 (3),把(3)代入(2)得 eg =(m- )a2i+2 +(m- 2)a2i+l（4）, 所以 血+。2+1 =（w 一l）（°2,i+i +。2+2）= - = m- 9a2,i+ +°2,i+2進而可得+ a2,i+ =（a2,n-2 +。2,”-1）（加 一 1）"心=（加 一 1）"二于是°2j =-6f2/+1（3 < i < h -1）

19、（5）又。2.”一1 =m-2,由（5）式遞推得a2,n_2 =（加 一 i）' 一（加 一 2） “_3 =（加 一 1）' 一（加 一 1）? + （加 一 2） 仏“-4 =（加 一 i）4 一 （加 一 03 + o-i）2 -（加 一 2）,。2,3 = a2,n-（n-3）=（加 _ 1）" ' _（加 _ 1）" " +'卜（_】）""（加 _ 2）=（尬-1）_3 -（m - i）*" * （加 _ 1）-5* （_）-4（加 _ ）*（_）“-3又由上圖知，由人第一次傳球經(jīng)過比次傳球后

20、球又回到人手中的不同傳球方法種數(shù) n等于球從人2,去，4加之一手中第二次傳出后，再經(jīng)過兀-2次傳球，球又回到人手中 的不同傳球方法種數(shù)的和，即n = a22 + a32 + + am 2,而a22 =a32 = - = am29于是 得 n = qn 1）勺,2 = （/7? 一 l）°i.3 + （斤1 一 2）勺.j =（冊 一 1）（加 一 1）2.4 +（m 一 2）6f2 3 j/! 2=（m - 1）（/? 一 1）（。2.3 +。2.4）一。2.3 j =（加一 1）（加 一 1）（加 一 d"" 一 （m-iy +（_1嚴(yán)（也_1）上式對n = 2

21、,3也成立，因此所求總傳球數(shù)為n =（加_1）”+（_1）“（加_1）評注：生15采用逆推法并通過引入二元符號建立遞推關(guān)系式進行嚴(yán)密地推導(dǎo)，思路 新穎別致，充分體現(xiàn)了其深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。生16借鑒生3、生8的方法建立涂色模型如圖4：加個人- >m種不同顏色, 傳斤次球在個彼此相連的區(qū)域1, 2, 3,，n內(nèi)涂色，且任何相鄰的2個區(qū) 域涂不同色。則可將推廣3改述為推廣3'用m（m > 2）種不同的顏色，給圖4中斤個區(qū)域1,2,丿涂色，要求任意2個 相鄰區(qū)域涂不同顏色，且規(guī)定區(qū)域1只涂一種指定顏色（如紅色），則不同的涂色方法有多 少種？簡析 可以推測 man = （m -1）”

22、+ （1）“ （m -1）.事實上，假設(shè)區(qū)域1不固定只涂一種顏色，可任意選涂，記符合要求的涂色方法為（= man）種，則區(qū)域1有加種涂法，其它區(qū)域均各有加-1種涂法。分成兩類：是區(qū) 域斤與區(qū)域1涂同色，相當(dāng)于將這2個區(qū)域合并成1個區(qū)域共料-1個區(qū)域，這樣符合要求 的涂色種數(shù)為a”；是區(qū)域n與區(qū)域1涂不同色，則有每種，故有 a/. + 41 = 1）a_i, k = 2,3, ,«.于是（-1）4-（-1）"人歸=-m（l- m）1-1，令k = 3,求和得（_1）"九_%=工（_1）“4_（_1）14（ = _加工（1_肋2=（1_加）"_（1_加）2,«=3由 a2 = m（m -1） # an = m -1）,? + （-1 gn _ a»_ = （m _ 1）" + （_1）“ （m _ 1）注：2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題：如圖5,在 正六邊形的6個區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一區(qū)域種同 一種植物，相鄰的2個區(qū)域種不同植物。現(xiàn)有4種不同 植物可供選擇，則有種栽法。是推廣 3'的特例：人=(4 一 1)