2010高考數(shù)學(xué)文科試題及答案-全國(guó)卷1

1、中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷）文科數(shù)學(xué) ( 必修+選修) 本試卷分第i 卷( 選擇題 )和第卷 (非選擇題 ) 兩部分。第i 卷 1 至 2 頁(yè)。第卷3 至 4 頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第 i 卷注意事項(xiàng)：1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2每小題選出答案后，用2b 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效。 3第 i 卷共 12 小題，每小題

2、5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：如果事件a、 b互斥，那么球的表面積公式()()()pabpap b24sr如果事件a、 b相互獨(dú)立，那么其中 r表示球的半徑()()()pa bpap b球的體積公式如果事件a在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么334vrn次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件a恰好發(fā)生k次的概率其中 r 表示球的半徑()(1)(0,1, 2,)kknknnpkcppkn一、選擇題(1)cos 300(a)32 (b)-12 (c)12 (d) 321.c【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識(shí)【解析】1co s 300c

3、o s 36060co s 602(2) 設(shè)全集1, 2, 3, 4, 5u，集合1, 4m，1,3, 5n，則unmea.1, 3 b. 1, 5 c. 3, 5 d. 4, 52.c【命題意圖】本小題主要考查集合的概念、集合運(yùn)算等集合有關(guān)知識(shí)【解析】2, 3, 5ume，1,3, 5n，則unme1, 3, 52, 3, 5=3, 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/(3) 若變量,x y滿(mǎn)足約束條件1,0,20,yxyxy則2zxy的最大值為(a)4 (b)3 (c)2 (d)1 3.b 【命題意圖】本小題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力. 【解析】畫(huà)出可行域（如右圖）

4、，11222zxyyxz，由圖可知 ,當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(1,-1) 時(shí)， z 最大，且最大值為max12(1)3z. （4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列na ，123a a a=5，789a a a=10，則456a a a= (a) 52 (b) 7 (c) 6 (d) 424.a【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由 等 比 數(shù) 列 的 性 質(zhì) 知31231322()5a a aa aaa，37897988()a a aa aaa10, 所以132850a a, 所以13336456465528()()(

5、50)52a a aa aaaa a(5)43(1) (1)xx的展開(kāi)式2x的系數(shù)是(a)-6 (b)-3 (c)0 (d)3 5.a. 【命題意圖】本小題主要考查了考生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用， 以及能否區(qū)分展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力. 0 xy1oyxy20 xyx a 0:20lxy22a 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/【解析】134323422(1) (1)1464133xxxxxxxxx2x的系數(shù)是 -12+6=-6 (6) 直三棱柱111abca b c中，若90bac，1abacaa，則異面直線(xiàn)1b

6、a與1ac所成的角等于(a)30 (b)45 (c)60 (d)906.c【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱111abca b c的性質(zhì)、異面直線(xiàn)所成的角、異面直線(xiàn)所成的角的求法. 【解析】延長(zhǎng)ca 到 d，使得adac，則11ad a c為平行四邊形，1d a b就是異面直線(xiàn)1ba與1ac所成的角，又三角形1a d b為等邊三角形，0160d a b(7) 已知函數(shù)()| lg|fxx. 若ab且，()()fafb，則ab的取值范圍是(a)(1,) (b)1,)(c) (2,) (d) 2,)7.c【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時(shí)極易忽視a

7、 的取值范圍，而利用均值不等式求得a+b=12aa,從而錯(cuò)選d,這也是命題者的用苦良心之處. 【解析 1】因?yàn)閒(a)=f(b), 所以 |lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去 )，或1ba，所以 a+b=1aa又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2, 即 a+b 的取值范圍是 (2,+). 【解析2】由 0ab, 且f(a)=f(b) 得：0111abab，利用線(xiàn)性規(guī)劃得：0111xyxy，化為求zxy的取值范圍問(wèn)題，zxyyxz，2111yyxx過(guò)點(diǎn)1,1時(shí) z 最小為 2, (c) (2,)（8）已知1f、2f為雙曲線(xiàn)c:221xy的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在 c上，1fp2f=060

8、，中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/a b c d a1 b1 c1 d1 o 則12| |pfpf(a)2 (b)4 (c) 6 (d) 8 8.b【命題意圖】本小題主要考查雙曲線(xiàn)定義、幾何性質(zhì)、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力. 【解析 1】.由余弦定理得cos1fp2f=222121212|2 |pfpff fpfpf22221212121201212222221co s 60222pfpfpfpfpfpff fpfpfpfpf12| |pfpf4 【解析 2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：120220121260113co t1co t3

9、sin 6022222f p fsbpfpfpfpf12| |pfpf4 （9）正方體abc d-1111a b c d中，1bb與平面1ac d所成角的余弦值為（a）23（ b ）33（c）23（d）639.d 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線(xiàn)與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出d 到平面 ac1d的距離是解決本題的關(guān)鍵所在, 這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn) .【解析 1】 因?yàn)?bb1/dd1,所以b1b與平面 ac1d所成角和dd1與平面 ac1d所成角相等 ,設(shè)do 平面ac1d，由等體積法得11da cdda cdvv,即111133ac da c dsd

10、osd d.設(shè) dd1=a, 則12211133sin 60(2)2222a c dsac adaa,21122a c dsad c da. 所 以1312333ac dac dsd dad oasa, 記dd1與 平 面ac1d所 成 角為, 則中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/13sin3d od d,所以6co s3. 【解析 2】 設(shè)上下底面的中心分別為1,oo；1o o與平面ac1d所成角就是b1b與平面ac1d所成角，111136co s1/32o oo o do d（10）設(shè)123log2,ln 2,5abc則（a）abc（b）bca (c) cab (d) cba10.c

11、 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對(duì)數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí)數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用. 【解析 1】 a=3log2=21lo g3, b=in2=21lo ge,而22lo g3lo g1e,所以 ab, c=125=15,而2252log4log3,所以 ca,綜上 cab. 【解析2】a=3log2=321lo g,b=ln2=21lo ge, 3221lo glo g2e，32211112lo glo ge；c=121115254， cab （11）已知圓o的半徑為1，pa 、pb為該圓的兩條切線(xiàn)，a、b為兩切點(diǎn)，那么papb的最小值為(a) 4

12、2 (b)32 (c) 422 (d)32211.d【命題意圖】 本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理，著重考查最值的求法判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力. 【解析 1】 如圖所示： 設(shè) pa=pb=x (0)x, apo= , 則apb=2，po=21x，21sin1x，| | cos 2papbpapb=22(12 sin)x=222(1)1xxx=4221xxx，令papby，則4221xxyx，即42(1)0 xy xy，由2x是實(shí)數(shù)，所以p a b o 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/2(1)41()0yy，2610yy，解得322y或

13、322y.故min()322papb.此時(shí)21x. 【解析 2】設(shè),0apb，2co s1 / tanco s2papbpapb2222221sin12 sincos22212 sin2sinsin22換 元 ：2s i n,012xx，112123223xxpapbxxx【解析 3】建系：園的方程為221xy，設(shè)11110(,),(,),(, 0)a xybxyp x，2211101110110,001aopaxyxxyxx xyx x22222222110011011022123223papbxx xxyxxxxx（12）已知在半徑為2 的球面上有a、b 、c、d四點(diǎn)，若ab=cd=2,

14、則四面體abcd的體積的最大值為(a) 233 (b)433 (c) 23 (d) 83312.b 【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線(xiàn)的距離, 通過(guò)球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力. 【解析】過(guò)cd作平面pcd ，使 ab 平面pcd,交 ab 與 p,設(shè)點(diǎn) p 到 cd的距離為h, 則有a b c d11222323vhh四 面 體,當(dāng)直徑通過(guò)ab與 cd的中點(diǎn)時(shí) ,22max22123h, 故m ax433v. 第卷注意事項(xiàng)：22210110111001,2papbxxyxxyxx 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/ 1答題前，考生先在答題

15、卡上用直徑0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 2第卷共2 頁(yè)，請(qǐng)用直徑0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效。 3.第卷共10 小題，共90 分。二填空題：本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分把答案填在題中橫線(xiàn)上 (注意：在試題卷上作答無(wú)效) (13) 不等式22032xxx的解集是 . 13.21,2xxx或【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法【解析】 :22032xxx20221021xxxxxx，數(shù)軸標(biāo)根得：21,2xxx或(14) 已知為第二象限的角，3s

16、in5a, 則tan 2 . 14.247【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號(hào)的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角的正切公式 ,同時(shí)考查了基本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技能. 【解析】因?yàn)闉榈诙笙薜慕? 又3sin5, 所以4cos5，sin3tancos4,所22 tan24tan (2)1tan7(15) 某學(xué)校開(kāi)設(shè)a類(lèi)選修課 3 門(mén)，b類(lèi)選修課4 門(mén)，一位同學(xué)從中共選3 門(mén)，若要求兩類(lèi)課程中各至少選一門(mén)，則不同的選法共有種.( 用數(shù)字作答 ) 15. a【命題意圖】本小題主要考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí), 以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想 . 【解析 1】:可分以下 2 種情況 :(1)a類(lèi)選修課選

17、1 門(mén),b 類(lèi)選修課選2 門(mén), 有1234c c種不同的選法 ;(2)a類(lèi)選修課選 2 門(mén),b 類(lèi)選修課選 1 門(mén), 有2134c c種不同的選法 . 所以不同的選法共有1234c c+2134181230c c種. 【解析 2】:33373430ccc(16) 已知f是橢圓c的一個(gè)焦點(diǎn)，b是短軸的一個(gè)端點(diǎn)， 線(xiàn)段b f的延長(zhǎng)線(xiàn)交c于點(diǎn)d， 且b f2fduuruur，則c的離心率為 . 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/16.33【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、 第二定義、 平面向量知識(shí)， 考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)” ，利

18、用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問(wèn)題的捷徑 . 【解析 1】如圖，22|bfbca, 作1d dy軸于點(diǎn) d1, 則由bf2fduuruur，得1|2|3o fbfd dbd,所以133|22d do fc, 即32dcx,由橢圓的第二定義得2233|()22accf deaca又由|2 |bffd, 得232,caaa33e【解析 2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式22221xyab，設(shè)22,dxy，f 分 bd所成的比為2，22223022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy，代入222291144cbab，33e三解答題：本大題共6 小題，共70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明

19、過(guò)程或演算步驟（17） （本小題滿(mǎn)分10 分） ( 注意：在試題卷上作答無(wú)效) 記等差數(shù)列na的前n項(xiàng)和為ns，設(shè)312s，且1232,1aaa成等比數(shù)列，求ns. (18)( 本小題滿(mǎn)分12 分)( 注意：在試題卷上作答無(wú)效) 已知a b cv的內(nèi)角a，b及其對(duì)邊a，b滿(mǎn)足cotcotabaabb，求內(nèi)角c(19)( 本小題滿(mǎn)分12 分) （ 注意：在試題卷上作答無(wú)效)xoybf1dd中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/投到某雜志的稿件，先由兩位初審專(zhuān)家進(jìn)行評(píng)審若能通過(guò)兩位初審專(zhuān)家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專(zhuān)家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專(zhuān)家的評(píng)審，則再由第三位專(zhuān)家進(jìn)行

20、復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審專(zhuān)家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用設(shè)稿件能通過(guò)各初審專(zhuān)家評(píng)審的概率均為0.5 ，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為0.3 各專(zhuān)家獨(dú)立評(píng)審 (i)求投到該雜志的1 篇稿件被錄用的概率； (ii)求投到該雜志的4 篇稿件中，至少有2篇被錄用的概率（20） （本小題滿(mǎn)分12 分） （注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖，四棱錐s-abcd中， sd底面 abcd ，ab/dc，addc ，ab=ad=1 ， dc=sd=2 ，e為棱 sb上的一點(diǎn)，平面edc平面 sbc . （）證明：se=2eb ；（）求二面角a-de-c 的大小 . （21）( 本小題滿(mǎn)分12 分) （注意：在試題卷上作

21、答無(wú)效）已知函數(shù)42()32(31)4fxaxaxx（i ）當(dāng)16a時(shí)，求()fx的極值 ; （ii ）若()fx在1,1上是增函數(shù)，求a的取值范圍中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/(22)( 本小題滿(mǎn)分12 分) （注意：在試題卷上作答無(wú)效）已知拋物線(xiàn)2:4cyx的焦點(diǎn)為f，過(guò)點(diǎn)(1, 0)k的直線(xiàn)l與c相交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn) a關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為d . （）證明：點(diǎn)f在直線(xiàn)bd上；（）設(shè)89f a f b，求bd k的內(nèi)切圓m的方程 . 三，解答題：接答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。(17) 解：（1）由am=a1+（n-1）d 及 a1=5，aw=9 得a1+2d=5 a1+9

22、d=-9 解得a1=9 d=-2 數(shù)列am 的通項(xiàng)公式為 an=11-2n。因?yàn)?sm=(n-5)2+25. 所以 n=5 時(shí), sm取得最大值。（18）解：（1）因?yàn)?ph 是四棱錐 p-abcd 的高。所以 ac ph又 ac bd,ph,bd都在平面 phd 內(nèi), 且 ph bd=h. 所以 ac 平面 pbd 故平面 pac 平面 pbd(2)由（1）知 sm=na1+n(n-1)2d=10n-n2 (2)因?yàn)?abcd 為等腰梯形， abcd,acbd,ab=6. 所以 ha=hb=3. 因?yàn)閍pb=adr=600 所以 pa=pb=6,hd=hc=1. 可得 ph=3. 等腰梯形

23、abcd 的面積為 s=12ac x bd = 2+3. .9 分中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道http:/所以四棱錐的體積為v=13x（2+3）x3=3233 .12分（19）解： （1）調(diào)查的 500位老年人中有 70 位需要志愿者提供幫助 ,因此該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為7014%500. 4 分(2) 22500(4 027030160)9.9 6720030070430k由于9.9 676.6 3 5所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān) . 8分（3）由于（ 2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年

24、人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時(shí) ,先確定該地區(qū)老年人中男,女的比例，再把老年人分成男 ,女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單反隨即抽樣方法更好. 12 分（20）解： （1）由橢圓定義知22f+f又2a b=a ffa b得l 的方程式為 y=x+c,其中 c= 1-b2,(2) 設(shè) a,(x1,y1),b(x1,y1)則 a,b 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組y=x+c x2+y2b2=1 化簡(jiǎn)得 (1+b2)x2+2cx+1-2b2=0 則 x1+x2=-2c1+b2.x1x2=1-2b21+b2（2）即21423xx. 則22421212222284(1)4(12)8()49(1)11bbbxxx xbbb解得22b. （21）解：（）12a時(shí)，21()(1)2xfxx ex，()1