初中數(shù)學(xué) 拋物線知識點(diǎn)歸納總結(jié)與經(jīng)典習(xí)題

1、拋物線經(jīng)典結(jié)論和例題y 2 = 2 px ( p > 0)y 2 = -2 px( p > 0)x 2 = 2 py ( p > 0)x 2 = -2 py( p > 0)拋yyyylll物oofxfoxfx線oxfl平面內(nèi)與一個定點(diǎn) f 和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn) f 叫定義做拋物線的焦點(diǎn)，直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線。 m mf =點(diǎn) m 到直線l 的距離范圍x ³ 0, y Î rx £ 0, y Î rx Î r, y ³ 0x Î r, y £ 0對稱性焦點(diǎn)(

2、p ,0)2關(guān)于 x 軸對稱( -p ,0)2(0, p )2關(guān)于 y 軸對稱(0, - p )2頂點(diǎn)離心率焦點(diǎn)在對稱軸上o(0,0)e =1準(zhǔn)線x = - p2x = p2y = - p2y = p2方程 頂點(diǎn)到準(zhǔn)準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。p21線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)p線的距離12焦半徑af = x + paf = -x + paf = y + paf = - y + pa(x , y )11121212焦 點(diǎn)弦長 ab(x + x12) + p-(x1+ x ) + p( y21+ y ) + p-( y21+ y ) + p2ya(x , y )11o fx焦點(diǎn)弦ab 的幾條性

3、質(zhì)b (x , y )22a(x , y )11b(x , y )以 ab 為直徑的圓必與準(zhǔn)線l 相切222若 ab 的傾斜角為a ，則 ab =psin2 a若 ab 的傾斜角為a ，則 ab =2 pcos2 ax x= p2y y= - p21 241 21+1= af + bf =ab= 2afbfaf · bfaf · bfp21. 直線與拋物線的位置關(guān)系直線，拋物線，消 y 得：（1） 當(dāng) k=0 時，直線l 與拋物線的對稱軸平行，有一個交點(diǎn)；（2） 當(dāng) k0 時，0，直線l 與拋物線相交，兩個不同交點(diǎn)； =0， 直線l 與拋物線相切，一個切點(diǎn)； 0，直線l 與

4、拋物線相離，無公共點(diǎn)。（3） 若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn),則直線與拋物線必相切嗎?（不肯定）2. 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線l ： y = kx + b拋物線聯(lián)立方程法：ì y = kx + b， ( p f 0)íî y2 = 2 pxÞ k 2 x2 + 2(kb - p)x + b2 = 0設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 a(x , y11) , b(x , y22) ，則有d0 ,以及 xf1+ x , x x21 2，還可進(jìn)一步求出切線y y = p(x + x )y y = - p(x + x )x x = p( y + y )x x =

5、 - p( y + y )方程000000003y + y12= kx1+ b + kx2+ b = k (x1+ x ) + 2b，2y y= (kx121+ b)(kx2+ b) = k 2 x x1 2+ kb(x1+ x ) + b22在涉及弦長，中點(diǎn)，對稱，面積等問題時，常用此法，比如a. 相交弦 ab 的弦長ab =x - x =1+ k 212=1+ k 2(x + x )2 - 4x x1+ k 2da121 2或ab =y - y =1+ 1k 21+ 1k 2( y + y )2 - 4 y y12121+ k 2da12b. 中點(diǎn) m (x , y00) , x=0x +

6、 x，12y20y + y=122點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 a(x , y11)， b(x , y22) ，代入拋物線方程，得y 2 = 2 px11y 2 = 2 px22將兩式相減，可得( y - y12)( y1+ y ) = 2 p(x21- x ) 所以2y - y12 =x - x2 py + ya. 在涉及斜率問題時， k=ab12122 py + y12b. 在 涉 及 中 點(diǎn) 軌 跡 問 題 時 ， 設(shè) 線 段 ab的 中 點(diǎn) 為 m (x , y )，00y - y2 p2 pp12=，即k= p ，x - x12y + y2 yy1200aby0同理，對于拋物線x2 = 2

7、py( p ¹ 0) ，若直線 l 與拋物線相交于 a、b 兩點(diǎn)，點(diǎn)m (x , y) 是弦 ab 的中點(diǎn)，則有k=1 + x2= 2x0= x0x00ab2 p2 pp（留意能用這個公式的條件： 1）直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)， 2）直線的斜率存在，且不等于零）4一、拋物線的定義及其應(yīng)用例 1、設(shè) p 是拋物線 y24x 上的一個動點(diǎn)(1) 求點(diǎn) p 到點(diǎn) a(1,1)的距離與點(diǎn) p 到直線 x1 的距離之和的最小值；(2)若 b(3,2)，求|pb|pf|的最小值例 2、設(shè) m(x0，y0)為拋物線 c：x28y 上一 點(diǎn)，f 為拋物線 c 的焦點(diǎn)，以 f 為圓心、|fm|為半

8、徑的圓和拋物線 c 的準(zhǔn)線相交，則 y0 的取值范圍是() a(0,2)b0,2c(2，)d2，)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)3例 3、拋物線 y22px(p>0)的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l，經(jīng)過 f 的直線與拋物線交于a、b 兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于 c 點(diǎn)，點(diǎn) a 在 x 軸上方，akl，垂足為 k，若|bc|2|bf|， 且|af|4，則akf 的面積是()3a.4 b3c4d8例 4、過拋物線 y22px(p>0)的焦點(diǎn) f 的直線交拋物線于點(diǎn) a、b，交其準(zhǔn)線 l于點(diǎn) c，若|bc|2|bf|，且|af|3 則此拋物線的方程為()3ay29xby29xcy2xdy23x22三、拋物

9、線的綜合問題例 5、已知過拋物線 y22px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為 2 2的直線交拋物線于 a(x1， y1)，b(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|ab|9.(1)求該拋物線的方程；(2)o 為坐標(biāo)原點(diǎn)， c 為拋物線上一點(diǎn)，若oc oa ob ，求的值5例 6、已知平面內(nèi)一動點(diǎn)p 到點(diǎn) f(1,0)的距離與點(diǎn) p 到 y 軸的距離的差等于 1. (1)求動點(diǎn) p 的軌跡 c 的方程；(2) 過點(diǎn) f 作兩條斜率存在且相互垂直的直線 l1，l2，設(shè) l1 與軌跡 c 相交于點(diǎn) a，b，l2 與軌跡 c 相交于點(diǎn) d，e，求ad · eb 的最小值例 7、已知點(diǎn) m(

10、1，y)在拋物線 c：y22px(p>0)上，m 點(diǎn)到拋物線 c 的焦點(diǎn) f1的距離為 2，直線 l：y xb 與拋物線 c 交于 a，b 兩點(diǎn)2(1) 求拋物線 c 的方程；(2) 若以 ab 為直徑的圓與 x 軸相切，求該圓的方程練習(xí)題1. 已知拋物線x2ay 的焦點(diǎn)恰好為雙曲線 y2x22 的上焦點(diǎn)，則a 等于(）a1b4c8d162. 拋物線 y4x2 上的一點(diǎn)m 到焦點(diǎn)的距離為 1，則點(diǎn) m 的縱坐標(biāo)是 ()17a. 16157b. c.161615d.163(2011·遼寧高考)已知 f 是拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，a，b 是該拋物線上的兩點(diǎn)，6|af|bf|3，則線

11、段 ab 的中點(diǎn)到 y 軸的距離為()357a.4b1c.4d.44. 已知拋物線 y22px，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是( ) a相離b相交c相切d不確定5. 已知 f 為拋物線 y28x 的焦點(diǎn)，過 f 且斜率為 1 的直線交拋物線于 a、b兩點(diǎn)，則|fa|fb|的值等于()2a42b8c8d166. 在y2x2 上有一點(diǎn)p，它到a(1,3)的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)p 的坐標(biāo)是()a(2,1)b(1,2)c(2,1)d(1,2)7. 設(shè)拋物線 y28x 的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l，p 為拋物線上一點(diǎn)，pal，a 為垂足假如直線 af 的斜率為3，那么|pf|(

12、)a43b8c8d1638. 拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為 x2，拋物線的方程 （）ay28xby28xcy24xdy24x9 以拋物線x216y 的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為10. 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為 y 軸，拋物線上一點(diǎn) q(3，m)到焦點(diǎn)的距離是 5，則拋物線的方程為11. 已知拋物線 y24x 與直線 2xy40 相交于 a、b 兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為 f，那么| fa | | fb | .12. 過拋物線 y24x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 a(x1，y1)，b(x2， y2)兩點(diǎn)，7若 x1x26，那么 |ab|等于 13依據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

13、：(1) 拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線 16x29y2144 的左頂點(diǎn)；(2)過點(diǎn) p(2，4)14已知點(diǎn) a(1,0)，b(1，1)，拋物線 c：y24x，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn) a的動直線l 交拋物線c 于m，p 兩點(diǎn)，直線mb 交拋物線c于另一點(diǎn)q.若向量om與op 的夾角為4，求pom 的面積解析一、拋物線的定義及其應(yīng)用例 1、(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為 f(1,0)，準(zhǔn)線是 x1.由拋物線的定義知：點(diǎn) p 到直線 x1 的距離等于點(diǎn)p 到焦點(diǎn) f 的距離8于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn) p，使點(diǎn) p 到點(diǎn) a(1,1)的距離與點(diǎn) p 到f(1,0)的距離之和最小明顯，連結(jié)af 交曲線于

14、p 點(diǎn)，則所求的最小值為|af|， 即為5.(2) 如圖，自點(diǎn) b 作 bq 垂直準(zhǔn)線于 q，交拋物線于點(diǎn) p1，則|p1q|p1f|.則有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4.即|pb|pf|的最小值為 4.例 2、解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p，即p4，依據(jù)已 知只要|fm|>4 即可依據(jù)拋物線定|fm|y02 由 y02>4，解得 y0>2，故 y0 的取值范圍是(2，)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例 3、設(shè)點(diǎn) a(x1，y1)，其中 y1>0.由點(diǎn) b 作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為 b1.則有|bf|bb |；又|cb|2|fb|，因此有|cb|2|bb

15、|，coscbb|bb1|111 |bc| 1p22，cbb13.即直線 ab 與 x 軸的夾角為3.又|af|ak|x1 4，因此 y1114sin323，因此akf 的面積等于 |ak|·y ×4×2122343.例 4分別過點(diǎn) a、b 作 aa1、bb1 垂直于 l，且垂足分別為 a1、b1，由已知條件|bc|2|bf|得|bc|2|bb1|，bcb130°，又|aa1|af|3，|ac|2|aa1|6，|cf|ac|af|633，f 為線段 ac 的中點(diǎn)故點(diǎn)1312f 到準(zhǔn)線的距離為 p |aa | ，故拋物線的方程為 y 3x.22三、拋物線的

16、綜合問題p例 5、(1)直線 ab 的方程是y22(x )，與y22px 聯(lián)立，從而有 4x25px295pp20，所以：x1x2 4 ，由拋物線定義得：|ab|x1x2p9，所以 p4，從而拋物線方程是 y28x.(2)由 p4,4x25pxp20 可簡化為 x25x40，從而 x11，x24，y122，y242，從而 a(1，22)，b(4,42)；設(shè) oc(x3，y3)(1，22)(4,42)(41,4222) y238x3，即22(21)28(41)即(21)241.解得0，或2.例 6、 (1)設(shè)動點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有x12y2|x|1.化簡得y22x2|x|.當(dāng) x

17、0 時，y24x；當(dāng)x<0 時，y0.所以，動點(diǎn) p 的軌跡 c 的方程為 y24x(x0)和 y0(x<0)(2)由題意知，直線 l1 的斜率存在且不為 0，設(shè)為 k，則 l1 的方程為 yk(x1)由ìïykx1íïîy24x，得 k2x2(2k24)xk20.(7 分)4設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1，x2 是上述方程的兩個實(shí)根，于是 x1x22k ，2x1x21.(8 分)1由于 l1l2，所以 l2 的斜率為k.設(shè) d(x3，y3)，e(x4，y4)，則同理可得x3x424k2，x3x41.(x11)(x

18、21)(x31)·(x41) x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1(11 分)4111(2k )11(24k2)184(k2k )84×2k2·k16.22212當(dāng)且僅當(dāng) k2k ，即 k±1 時， ad ·eb 取最小值 16.10p例 7 、(1)拋物線 y22px(p>0)的準(zhǔn)線為 x2，由拋物線定義和已知條件可知pp|mf|1( )1 2，解得 p2, 故所求拋物線c 的方程為 y24x.22ïì12(2)聯(lián)立íy2xb，消去 x 并化簡整理得 y8y8b0.ïîy24x依

19、題意應(yīng)有6432b>0，解得 b>2.設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 y1y 8，y ybq xyxx1x2，yy1y221 284.，設(shè)圓心( 0，0)，則應(yīng)用0202由于以 ab 為直徑的圓與x 軸相切，所以圓的半徑為 r|y0|4.又|ab|x1x22y1y2214y1y22所以|ab|2r5y1y224y1y256432b856432b8，解得 b .548所以 x1x22b2y12b2y24b16 5 ，2424則圓心 q 的坐標(biāo)為( 5 ，4)故所求圓的方程為(x 5 )2(y4)216.練習(xí)題：a1. 解析：依據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)，雙曲線

20、的上焦點(diǎn)為(0,2)，a依題意則有 2 解得 a8.4y12002. 解析：拋物線方程可化為x ，其準(zhǔn)線方程為y.設(shè) m(x ，y )，則由41611500拋物線的定義，可知y 1y .1616113. 解析：依據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段ab 中點(diǎn)到 y 軸的距離為：113152(|af|bf|) .42444. 解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為 ab，中點(diǎn)為 m，準(zhǔn)線 l，a1、b1 分別為a、b 在直12線l 上的射影，則|aa1|af|，|bb1|bf|，于是 m 到l 的距離d (|aa1|bb1|)11 (|af|bf|) |ab|半徑，故相切 22ìïyx2，5

21、. 解析：依題意f(2,0)，所以直線方程為 yx2 由íïîy28x，消去y 得x212x40.設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|fa|fb|(x12)(x22)|x1x2|(x1x2)24x1x21441682. 6解析：如圖所示，直線 l 為拋物線 y2x2 的準(zhǔn)線，f 為其焦點(diǎn)，pnl，an1l，由拋物線的定義知，|pf|pn|，|ap|pf|ap|pn|an1|，當(dāng)且僅當(dāng) a、p、n 三點(diǎn)共線時取等號p 點(diǎn)的橫坐標(biāo)與 a 點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同即為 1，則可排解 a、c、d.答案：b7. 解析：設(shè)拋物線 y28x 的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為l，p 為拋物線上一點(diǎn)，pal，a為垂足假如直線 af 的斜率為3，那么|pf|()a4 c83b83d168. 解析：由準(zhǔn)線方程 x2，可知拋物線為焦點(diǎn)在 x 軸正 ，半軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時得 p4，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為 y22px8x9. 解析：拋物線的焦點(diǎn)為 f(0,4)，準(zhǔn)線為 y4，則圓心為(0,4)，半徑 r8. 所以，圓的方程為 x2(y4)264.a10. 解析：設(shè)拋物線方程為 x2ay(a0)，則