2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第6講 數(shù)列的綜合（解析版）

1、第6講 數(shù)列的綜合高考預(yù)測(cè)一：數(shù)列不等式的證明 1（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求證：【解析】解：（1）證明：，故不等式成立 （2）證明：，即2若為正整數(shù)），求證：不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立【解析】證明：即：不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立3已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（）求，的值，并寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：【解析】解：（）解：當(dāng)時(shí)，即，又，解得，由，可得，即，又，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，；（）證明：由（）得：，當(dāng)時(shí)，將上式對(duì)從1到求和，得，注意到：，將上式對(duì)從1到求和，得，所以經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，上式也成立4等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)均在函數(shù)且，均為常數(shù)）的圖象

2、上（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，記，證明：對(duì)任意的，不等式成立【解析】解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，且，所以時(shí)，是以為公比的等比數(shù)列，又，即，解得，的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知，因此，不等式為當(dāng)時(shí)，左式，右式，左式右式，所以結(jié)論成立假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，要證當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，只需證成立，只需證：成立，顯然成立，當(dāng)時(shí)，成立，綜合可知不等式成立5已知曲線，2，從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為，（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）證明：【解析】解：（1）設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，（負(fù)值舍去），可得，；（2）證明：，由，即為，即有，可得；由，設(shè)，由，可得，即，在，遞增，由，可得，即有，即，則6已知函數(shù)（）當(dāng)曲線

3、在，（1）處的切線與直線垂直時(shí)，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求證：【解析】解：，（2分）由題意可得（1），即解得，（3分）由知：（5分）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，（6分）故的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是（7分）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上；在區(qū)間上（8分）故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（9分）綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（10分）由及知：當(dāng)時(shí)，且即當(dāng)，時(shí)，恒有成立由知：；得，即（14分）7已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：，【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)

4、時(shí)，若時(shí)，有，若，時(shí)，有，則在上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)（2）由（1）知時(shí)，在上是增函數(shù)，而（1），不成立，故，又由（1）知的最大值為，要使恒成立，則即可，即，得（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有在恒成立，且在上是減函數(shù)，（1），即在，上恒成立，令，則，即，從而，則，8已知函數(shù)（1）求的極值；（2）求證：且【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，令，解得：，?dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在，是減函數(shù)，在處取得極大值，無極小值（2）證明：由（1），取，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，故故；9已知函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）求證：【解析】（本小題滿分12分）解：（）的定義域?yàn)?，?分）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；（2分）當(dāng)時(shí)，由解得；由解得；（4

5、分）所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（5分）（）證明：由（）得當(dāng)時(shí)，（1），即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（6分）所以，（7分），（9分）所以，（11分）即（12分）10設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有【解析】（）解：，當(dāng)時(shí)，由，得，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，上式顯然成立；（）證明：由（）知，當(dāng)時(shí)，原不等式成立當(dāng)時(shí)，原不等式亦成立當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，原不等式亦成立綜上，對(duì)一切正整數(shù)，有11已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且（1）求的解析式；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列，求證：【解析】解：（1）由，解之得，即；（2），由累加得，；（

6、3），當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，12已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，求的最小值【解析】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，且（1）所以當(dāng)時(shí)恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，這與矛盾；當(dāng)時(shí)令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即（a），若，則（a）（1），從而與矛盾；所以；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即；因?yàn)闉檎麛?shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，成立，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為313已知函數(shù)，（1），令，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明【解析】（1）解：函數(shù)，（1），聯(lián)立解得：令，兩邊取倒數(shù)可得：，變形為：，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為，（2）證明：，數(shù)列單調(diào)遞增，14

7、已知函數(shù)，數(shù)列滿足條件：，試比較與1的大小，并說明理由【解析】解：，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，于是由，得，由此猜想：以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間，上單調(diào)遞增知，即時(shí)，結(jié)論也成立由、知，對(duì)任意，都有即，15設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求；（2）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：【解析】證明：（1），時(shí)，相減可得，化為：，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為，化為：（2），數(shù)列的前項(xiàng)和為，16已知數(shù)列滿足：且，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，；故；（2）證明：當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證，故，故證畢17設(shè)二次函數(shù)滿足：的解集為；對(duì)任意都有成立數(shù)列滿足：，（1