高考數(shù)學一輪復(fù)習總教案：9.5　圓錐曲線綜合問題_20210103224752

1、淘寶店鋪：漫兮教育9.5圓錐曲線綜合問題典例精析題型一求軌跡方程【例1】已知拋物線的方程為x22y，f是拋物線的焦點，過點f的直線l與拋物線交于a、b兩點，分別過點a、b作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點m.(1)求證：l1l2；(2)求點m的軌跡方程.【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx.聯(lián)立消去y整理得x22kx10.設(shè)a的坐標為(x1，y1)，b的坐標為(x2，y2)，則有x1x21，將拋物線方程改寫為yx2，求導(dǎo)得yx.所以過點a的切線l1的斜率是k1x1，過點b的切線l2的斜率是k2x2.因為k1k2x1x21，所以l1l2.(2)直線l1的方

2、程為yy1k1(xx1)，即yx1(xx1).來源:同理直線l2的方程為yx2(xx2).聯(lián)立這兩個方程消去y得x2(xx2)x1(xx1)，整理得(x1x2)(x)0，注意到x1x2，所以x.此時yx1(xx1)x1(x1).由(1)知x1x22k，所以xkr.所以點m的軌跡方程是y.【點撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對應(yīng)關(guān)系了如指掌.【變式訓(xùn)練1】已知abc的頂點為a(5,0)，b(5,0)，abc的內(nèi)切圓圓心在

3、直線x3上，則頂點c的軌跡方程是()a.1b.1c.1(x3)d.1(x4)【解析】如圖，|ad|ae|8，|bf|be|2，|cd|cf|，所以|ca|cb|826，根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以a、b為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x3)，故選c.題型二圓錐曲線的有關(guān)最值【例2】已知菱形abcd的頂點a、c在橢圓x23y24上，對角線bd所在直線的斜率為1.當abc60°時，求菱形abcd面積的最大值.【解析】因為四邊形abcd為菱形，所以acbd.于是可設(shè)直線ac的方程為yxn.由得4x26nx3n240.因為a，c在橢圓上，所以12n2640，解得n.設(shè)a，c兩點坐

4、標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1x1n，y2x2n. 所以y1y2.因為四邊形abcd為菱形，且abc60°，所以|ab|bc|ca|.所以菱形abcd的面積s|ac|2.又|ac|2(x1x2)2(y1y2)2，所以s(3n216) (n).所以當n0時，菱形abcd的面積取得最大值4.【點撥】建立“目標函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.【變式訓(xùn)練2】已知拋物線yx21上有一定點b(1,0)和兩個動點p、q，若bppq，則點q橫坐標的取值范圍是

5、.【解析】如圖，b(1,0)，設(shè)p(xp，x1)，q(xq，x1)，由kbp·kpq1，得·1.所以xqxp(xp1)1.因為|xp1|2，所以xq1或xq3.來源:題型三求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題【例3】(2013浙江模擬)已知m1，直線l：xmy0，橢圓c：y21，f1，f2分別為橢圓c的左、右焦點.來源:(1)當直線l過右焦點f2時，求直線l的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓c交于a，b兩點，af1f2，bf1f2的重心分別為g，h.若原點o在以線段gh為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)因為直線l：xmy0經(jīng)過f2(，0)，所以，解得m22，又因為m1，所

6、以m.故直線l的方程為xy10.(2)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由消去x得2y2my10，則由m28(1)m280知m28，來源:且有y1y2，y1y2.由于f1(c,0)，f2(c,0)，故o為f1f2的中點，由2， 2，得g(，)，h(，)，|gh|2.設(shè)m是gh的中點，則m(，)，由題意可知，2|mo|gh|，即4()2()2，即x1x2y1y20.來源:來源:而x1x2y1y2(my1)(my2)y1y2(m21)().所以0，即m24.又因為m1且0，所以1m2.所以m的取值范圍是(1,2).【點撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考

7、查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2ay21的右支上存在三點a、b、c使abc為正三角形，其中一個頂點a與雙曲線右頂點重合，則a的取值范圍為.【解析】設(shè)b(m，)，則c(m，)(m1)， 又a(1,0)，由abbc得(m1)2(2)2，來源:所以a33(1)3，即a的取值范圍為(3，).來源:總結(jié)提高1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.2.最值問題的代數(shù)解法，是從動態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學問題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和